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2025广东版数学中考专题
第七章 图形的变换与尺规作图
7.1 图形的轴对称、平移和旋转
基础练
1．[2024广州一模，]下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
2．[2024广州一模，]如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
3．[2024湖北，]如图，点的坐标是，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设旋转后点A的对应点为，过点A和点分别作轴的垂线，垂足分别为B，C，
点A的坐标为，
，.
由旋转得，，
，
，
，，
点的坐标为.
4．[2023东莞一模，]如图，把绕点逆时针旋转得到，点恰好落在斜边上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在斜边上，
，，
.
故选B.
5．[2024佛山二模，]如图，教室内地面上有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】与地面的夹角为，
，
箕面绕点A旋转的度数为.
6．[2024广州二模，]如图，在中，，.点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点，若点刚好落在边上，，，则的长为____.
【答案】9
【解析】由题意得在中，，，，
，
.
7．[2024山东滨州，]一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为__.
【答案】75
【解析】在题图2中，，，
，
，
.
8．[2024佛山三模，]如图，将（顶点都在网格的格点上）分别按下列要求进行变换并画出变换后的图形：
（1） 向上平移3个单位；
（2） 绕点顺时针旋转.
【解析】
（1） 如图，即为所求.
（2） 如图，即为所求.
提升练
9．[2023广州调研，]如图，在平面直角坐标系中，，，点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动了8.5秒后停止.直线上有一动点，轴上有一动点，当的值最小时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，作点关于直线的对称点，作点C关于轴的对称点，连接，分别交直线，轴于点D，，此时的值最小，最小值为线段的长.
，，
，.
点C从出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动了8.5秒后停止，，
，的纵坐标为，易得，，
点与点关于直线对称，.
设所在直线的解析式为，
解得
所在直线的解析式为.当时，，
点的坐标为.
10．[2024广州一模，]如图，绕点逆时针旋转，得到（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），此时，点恰好落在边上，则的度数为__________.
【答案】
【解析】由旋转可知，
，，
.
四边形是平行四边形，
，，
.
11．[2023湖北黄冈，]如图，已知点，点在轴正半轴上，将线段绕点顺时针旋转到线段，若点的坐标为，则________.
【答案】
【解析】如图，将绕点顺时针旋转，得到，延长交轴于点，
在中，，则，.
过点作轴于点，
则，，
，
在直角三角形中，.
12．[2024山东烟台，]如图，在中，，，，为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为____________.
【答案】
【解析】由翻折得，
是的中点，
，
即点的运动轨迹是以点为圆心，以长为半径的圆弧.
如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，交圆于，则，此时到边的距离最小，最小值为的长，即此时面积的值最小.
在中，，
，
，
，
，，
，
面积的最小值为.
13．[2024江苏盐城，]如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到.连接，当时，________.
【答案】
【解析】，，，
点是的中点，
，
，
将绕点旋转得到，，
如图，过点作于点，
，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
.
方法总结
在几何图形中求线段的长，有时可以把问题抽象为解直角三角形的数学问题.因为三角形 不是直角三角形，所以可通过添加辅助线 构造直角三角形来解决.
14．[2024广州一模，]如图，已知正方形的边长为2，为的中点，是边上的一个动点，连接，将沿折叠得，连接，则的取值范围是________________.
【答案】
【解析】如图1，当点与点重合时，的值最大，
图1
正方形的边长为2，
，
由折叠得，
的最大值为2；
如图2，连接，
图2
为的中点，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
的取值范围是.
15．[2024广州二模，]如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与，重合），折痕为，若，，则点到的距离为________.
【答案】
【解析】作于，
由折叠的性质可知，，
由题意得，，
四边形是菱形，
，，
为等边三角形，
.
设，则，
在中，，，
在中，，
即，
解得，
.
16．[2023广州二模，]如图，四边形为矩形，，，点，分别为边，上的动点，且，连接，，分别将和沿，翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，当点，均落在矩形的同一条对角线上时，的长为____________.
【答案】3或
【解析】①当点，均落在矩形的对角线上时，如图，
四边形为矩形，，，
，.
根据折叠的性质可得，，
，
，
即，
，
；
②当点，均落在矩形的对角线上时，如图，设交于点，
四边形为矩形，，，
，，，
.
根据折叠的性质可得，，
，
又，
，
，
，
，．
综上，当点，均落在矩形的同一条对角线上时，的长为3或．
17．[2023广州一模，]如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后与重合，点在轴上，连接，若反比例函数的图象与所在直线仅有一个公共点.
（1） 求所在直线和反比例函数的解析式；
（2） 把沿所在直线翻折得到，设线段与反比例函数的图象交于点，求的面积.
【解析】
（1） ，，，，，将绕点顺时针旋转后与重合，，，.设所在直线的解析式为，将代入，得，解得，所在直线的解析式为，令，整理得，反比例函数的图象与所在直线仅有一个公共点，，解得，反比例函数的解析式为.
（2） 由题意可知，四边形是菱形，，点的纵坐标为4，把代入，得，，，，.
18．[2024广州二模，]如图，在矩形中，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为秒.
（1） 若.
① 当点落在上时，求此时的值.
② 是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（2） 当点不与重合时，直线与直线相交于点，当时，结论“”成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由.
【解析】
（1）① 如图，当点落在上时，
四边形是矩形，，，，，，，，，.
② 存在.如图，当点在线段上，点在线段上时，
四边形是矩形，，，.由对称可知，，，在中，，，.如图，当点在线段的延长线上，点在的延长线上时，
在中，，，在中，，，解得.综上所述，满足条件的的值为2或6.
（2） 成立，理由如下：如图，当时，
，，，由对称可知，，又，，，，即四边形是正方形.如图，当时，设，
，，，，，.由对称的性质可知，，,.
7.2 视图与投影
基础练
1．[2023清远一模，]我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．[2024吉林长春，]南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）
图① 图② 图③
A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 右视图
【答案】B
3．[2024湖南，]如图，该纸杯的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
4．[2023深圳二模，]将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．[2024东莞三模，]下面四个立体图形中，主视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6．[2024佛山二模，]鲁班锁是一种广泛流传于古代民间的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，从正面看到的平面图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
7．[2024广州一模，]一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
主视图 左视图 俯视图
A. B.
C. D.
【答案】D
8．[2023深圳一模，]如图所示的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
9．[2024惠州二模，]随着我国的发展与强大，中国文化与世界各国文化的交流与融合进一步加强．为了增进世界各国人民对中国语言和文化的了解，我国在世界各国建立孔子学院，推广汉语，传播中华文化．同时，各国学校之间的交流活动也逐年增加．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁、义、礼、智、信、孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（ ）
A. 仁 B. 义 C. 智 D. 信
【答案】A
【解析】正方体的平面展开图中，
“仁”与“礼”所在面是相对面，
“义”与“信”所在面是相对面，
“孝”与“智”所在面是相对面.
提升练
10．[2024山东烟台，]下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】A
【解析】取走①时，左视图为，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意；
取走②时，左视图为，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
取走③或④时，左视图均为，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C、D不符合题意.
11．[2023深圳二模，]小颖和小明用若干个相同的小正方体搭几何体，通过两人的对话，我们可以判断他们共同搭的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A，主视图与小颖的描述不同，且主视图和左视图不一样，故不符合题意；
对于B，只有5个小正方体，故不符合题意；
对于C，主视图和左视图不一样，故不符合题意；
对于D，主视图和左视图一样，且主视图及小正方体的个数均与小颖的描述相同，故符合题意.
12．[2023佛山一模，]用一平面去截下列几何体，其截面可能是矩形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】圆锥不可能得到矩形截面，能得到矩形截面的几何体有圆柱、长方体、四棱柱，共3个.
13．[2024江西，]如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
【答案】B
【解析】如图所示，共2种方法.
14．[2023河北，]如图1，一个的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至少还需再放这样的正方体（ ）
图1 图2
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】由正面观察几何体，原小正方体所在位置为左后位置，则至少需在原小正方体的正上方添加一个小正方体、在平台的右前位置添加一个小正方体，才可满足题目要求，所以平台上至少还需再放2个这样的小正方体.
7.3 尺规作图
基础练
1．[2024深圳二模，]如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若， ，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】， ，
，
由作图的步骤可知，直线是线段的垂直平分线，
， ，
．
2．[2024深圳二模，]如图，在中， ， ，以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，过点和两弧的交点作射线，交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过D作于，
在中， ， ，
，
由作图得平分，
，
.
3．[2024阳江二模，]如图，在中， ，按以下步骤作图：①以为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点.若，，则线段的长为________．
【答案】
【解析】由作法得平分，
过点作于，如图，则，
在中，，，
，
即，，
.
4．[2024东莞三模，]如图，在中，，是的角平分线．
（1） 作的平分线，交于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2） 求证：．
【解析】
（1） 如图所示．
（2） 证明：，，是的平分线，是的平分线，，，，，．
5．[2024佛山二模，]如图，在中，
（1） 尺规作图：作的平分线交于点，在上取点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，连接，求证：四边形是菱形．
【解析】
（1） 如图，和点即为所求．
（2） 证明：四边形为平行四边形，，．为的平分线，，，．，，四边形为平行四边形．， 四边形为菱形．
6．[2024惠州二模，]已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接．
（1） 尺规作图：以为顶点在矩形内部作，交线段于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2） 求证：四边形为平行四边形
【解析】
（1） 如图所示，即为所求.
（2） 证明：四边形为矩形，，，， ，.在和中， ，，，即，四边形为平行四边形．
7．[2024茂名一模，]如图，在中，．
（1） 作的垂直平分线，交于点，交于点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2） 在（1）的条件下，连接，若的周长是，求的长．
【解析】
（1） 如图所示.
（2） 是的垂直平分线，，的周长是，，，．
5·3 提升练
8．[2024惠州联考，]如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线，与交于点，连接.若，直线恰好经过点，则的长为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由作法得垂直平分，
，，
四边形为菱形，
，，
，，
在中，,
在中，.
9．[2024深圳联考，]如图，在中，， ，以点为圆心，为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由作图可知，，为的平分线，
．
，
，
，．
， ，
，
，
，
，
，，
故A选项结论正确，不符合题意.
，
，
，
，
，，
，
故B，C选项结论正确，不符合题意.
， ，
，
故D选项结论不正确，符合题意．
10．[2024深圳模拟，]如图，在中， ， ．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得__ ．
【答案】25
【解析】由作图痕迹得垂直平分，平分，
，，
，
，
，
，
．
11．[2024广州二模，]如图，是等边三角形，．
（1） 尺规作图：将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2） 求证：四边形是菱形；
（3） 连接，交于点，过点的直线交线段于点，当是等腰三角形时，求的长．
【解析】
（1） 如图，即为所求.
（2） 证明：由作图过程可知，，是等边三角形，，， 四边形是菱形.
（3） 如图，分两种情况讨论：
①当时，是等边三角形， ， 四边形是菱形，， ，，，，；
②当时， ， ， ，是等边三角形，，.综上所述，当是等腰三角形时，的长为或3．
12．[2024广州一模，]如图，在中，是钝角．
（1） 尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出，使其过、两点，交于点，连接.（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）所作的图中，若，，．
① 求证：是的切线；
② 求弦的长．
【解析】
（1） 如图，，点，即为所求.
（2） ① 证明：连接，是的直径， ， ，，， ，， ， ，，是的半径，是的切线.
② ，，，,，，，，，.设，则，在中，由勾股定理得，（负值舍去），.
13．[2024韶关二模，]如图，在平面直角坐标系中，点、关于轴对称，已知点、.
（1） 请写出点的坐标：____________；
（2） 在轴上找一个点，使得的值最小；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（3） 在（2）的基础上，求出点的坐标．
【答案】（1）
【解析】
（2） 如图，点即为所求（作法不唯一）.
（3） 设直线的解析式为，，，解得 直线的解析式为.令，可得,.
14．[2024深圳二模，]如图，在中， ，点是边上的一点且.
（1） 实践与操作：以为直径作，交于点.
（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2） 推理与计算：在（1）的条件下，延长交于点，连接，．
① 求证：；
② 若，，求的半径．
【解析】
（1） 如图所示.
（2） ① 证明：是的直径， ，，，. ， ， ，，，，.
② ，，，.设，则，，，，，，,的半径为5．
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第七章 图形的变换与尺规作图
7.1 图形的轴对称、平移和旋转
基础练
1．[2024广州一模，]下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024广州一模，]如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．[2024湖北，]如图，点的坐标是，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．[2023东莞一模，]如图，把绕点逆时针旋转得到，点恰好落在斜边上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．[2024佛山二模，]如图，教室内地面上有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．[2024广州二模，]如图，在中，，.点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点，若点刚好落在边上，，，则的长为____.
7．[2024山东滨州，]一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为__.
8．[2024佛山三模，]如图，将（顶点都在网格的格点上）分别按下列要求进行变换并画出变换后的图形：
（1） 向上平移3个单位；
（2） 绕点顺时针旋转.
提升练
9．[2023广州调研，]如图，在平面直角坐标系中，，，点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动了8.5秒后停止.直线上有一动点，轴上有一动点，当的值最小时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．[2024广州一模，]如图，绕点逆时针旋转，得到（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），此时，点恰好落在边上，则的度数为__________.
11．[2023湖北黄冈，]如图，已知点，点在轴正半轴上，将线段绕点顺时针旋转到线段，若点的坐标为，则________.
12．[2024山东烟台，]如图，在中，，，，为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为____________.
13．[2024江苏盐城，]如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到.连接，当时，________.
14．[2024广州一模，]如图，已知正方形的边长为2，为的中点，是边上的一个动点，连接，将沿折叠得，连接，则的取值范围是________________.
15．[2024广州二模，]如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与，重合），折痕为，若，，则点到的距离为________.
16．[2023广州二模，]如图，四边形为矩形，，，点，分别为边，上的动点，且，连接，，分别将和沿，翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，当点，均落在矩形的同一条对角线上时，的长为____________.
17．[2023广州一模，]如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后与重合，点在轴上，连接，若反比例函数的图象与所在直线仅有一个公共点.
（1） 求所在直线和反比例函数的解析式；
（2） 把沿所在直线翻折得到，设线段与反比例函数的图象交于点，求的面积.
18．[2024广州二模，]如图，在矩形中，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为秒.
（1） 若.
① 当点落在上时，求此时的值.
② 是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（2） 当点不与重合时，直线与直线相交于点，当时，结论“”成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由.
7.2 视图与投影
基础练
1．[2023清远一模，]我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024吉林长春，]南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）
图① 图② 图③
A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．右视图
3．[2024湖南，]如图，该纸杯的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．[2023深圳二模，]将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．[2024东莞三模，]下面四个立体图形中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
6．[2024佛山二模，]鲁班锁是一种广泛流传于古代民间的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，从正面看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
7．[2024广州一模，]一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
主视图 左视图 俯视图
A． B．
C． D．
8．[2023深圳一模，]如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
9．[2024惠州二模，]随着我国的发展与强大，中国文化与世界各国文化的交流与融合进一步加强．为了增进世界各国人民对中国语言和文化的了解，我国在世界各国建立孔子学院，推广汉语，传播中华文化．同时，各国学校之间的交流活动也逐年增加．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁、义、礼、智、信、孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（ ）
A．仁 B．义 C．智 D．信
提升练
10．[2024山东烟台，]下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）
A．① B．② C．③ D．④
11．[2023深圳二模，]小颖和小明用若干个相同的小正方体搭几何体，通过两人的对话，我们可以判断他们共同搭的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
12．[2023佛山一模，]用一平面去截下列几何体，其截面可能是矩形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．[2024江西，]如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
14．[2023河北，]如图1，一个的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至少还需再放这样的正方体（ ）
图1 图2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.3 尺规作图
基础练
1．[2024深圳二模，]如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若， ，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．[2024深圳二模，]如图，在中， ， ，以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，过点和两弧的交点作射线，交于点，则（ ）
A． B． C． D．
3．[2024阳江二模，]如图，在中， ，按以下步骤作图：①以为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点.若，，则线段的长为________．
4．[2024东莞三模，]如图，在中，，是的角平分线．
（1） 作的平分线，交于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2） 求证：．
5．[2024佛山二模，]如图，在中，
（1） 尺规作图：作的平分线交于点，在上取点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，连接，求证：四边形是菱形．
6．[2024惠州二模，]已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接．
（1） 尺规作图：以为顶点在矩形内部作，交线段于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2） 求证：四边形为平行四边形
7．[2024茂名一模，]如图，在中，．
（1） 作的垂直平分线，交于点，交于点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2） 在（1）的条件下，连接，若的周长是，求的长．
提升练
8．[2024惠州联考，]如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线，与交于点，连接.若，直线恰好经过点，则的长为 （ ）
A． B． C． D．
9．[2024深圳联考，]如图，在中，， ，以点为圆心，为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．[2024深圳模拟，]如图，在中， ， ．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得__ ．
11．[2024广州二模，]如图，是等边三角形，．
（1） 尺规作图：将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2） 求证：四边形是菱形；
（3） 连接，交于点，过点的直线交线段于点，当是等腰三角形时，求的长．
12．[2024广州一模，]如图，在中，是钝角．
（1） 尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出，使其过、两点，交于点，连接.（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）所作的图中，若，，．
① 求证：是的切线；
② 求弦的长．
13．[2024韶关二模，]如图，在平面直角坐标系中，点、关于轴对称，已知点、.
（1） 请写出点的坐标：____________；
（2） 在轴上找一个点，使得的值最小；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（3） 在（2）的基础上，求出点的坐标．
14．[2024深圳二模，]如图，在中， ，点是边上的一点且.
（1） 实践与操作：以为直径作，交于点.
（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2） 推理与计算：在（1）的条件下，延长交于点，连接，．
① 求证：；
② 若，，求的半径．
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