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2025广东版数学中考专题
第三章 函数
3.1 平面直角坐标系与函数初步
基础练
1．[2024广州一模，]点位于第（ ）象限（ ）
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】D
2．[2024湖南长沙，]在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3．[2024佛山一模，]在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4．[2024河北，]在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】B
5．[2023东莞一模，]将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器的底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯中水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6．[2024汕头二模，]在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是____________.
【答案】
7．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是________.
【答案】
8．[2024佛山二模，]在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的点的坐标是____________．
【答案】
9．[2023佛山一模，]点与点在同一平面直角坐标系中．
（1） 若点位于第四象限，求的取值范围；
（2） 若点与点关于轴对称，求线段的长度．
【解析】
（1） 点位于第四象限，解得，的取值范围是.
（2） 点与点关于轴对称，且，解得，（舍），，，，即线段的长度为8．
提升练
10．[2024深圳二模，]如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至点停止，动点以的速度自点出发沿运动至点停止，若点、同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图象如图2所示，则图象中的值为 （ ）
图1 图2
A. 1 B. 1.2 C. 1.6 D. 2
【答案】B
【解析】设正方形的边长为，则，，
当点在上运动时，，
,
当时，有最大值，
即，解得（舍负），
.
当点在上运动时，
，
当时，,即.
11．[2024深圳二模，]如图，在中， ，与矩形的一边都在直线上，其中，，，且点与点重合．将沿直线向右平移，直到点与点重合为止．记点平移的距离为，与矩形重叠区域面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当经过点D时，如图1所示,
图1
,,
，
， ,
；
当经过点D时，如图2所示,
图2
，，，
.
①当时，无重叠部分，故;
②当时，如图3所示,
图3
此时， ，
，
；
③当时，如图4所示,
图4
过作于，此时，， ，，
，，
易知四边形是矩形，
，
；
④当时，如图5所示，
与，分别交于点，，
与交于点，与交于点，过点作于点，
图5
， ，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
易得，
，
;
⑤当时，易知.
故选D.
12．[2023甘肃武威，]如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
【答案】C
13．[2024湖北武汉，]如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称.若点,,, ,,都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加，则的值是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】D
【解析】这20个点的横坐标从0.1开始依次增加，
，
函数的图象关于点中心对称，
，， ，，
，
，,，
将代入，
得，
.
14．[2024河北，]平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度.
若“和点”按上述规则连续平移16次后，到达点,则点的坐标为（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】方法一：当点的横、纵坐标之和为6时，例如的坐标为或，其横、纵坐标之和除以3先余0，再余1，然后余2，之后余1、余2循环，所以当点坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点；当点坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点，排除选项C.
当点的横、纵坐标的和为8时，例如的坐标为或或，其横、纵坐标之和除以3先余2，再余1，然后余2、余1循环，所以当点坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点；当点坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点；当点坐标为时，按上述规则连续平移16次后，到达点，排除选项B.故选项D正确.
当点的坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点，排除选项A.故选D.
方法二：由题述规律可得，当余数为1时，将会出现余1、余2循环；当余数为2时，将会出现余2、余1循环.因为的横、纵坐标之和除以3的余数为2，所以由平移至会左移7次，上移8次，所以.若经过上移得到，则，余数为0，与题述的余数为0时右移矛盾，所以不符合题意；若经过右移得到，则，余数为0，与题述的余数为0时右移相符，所以符合题意；若经过左移得到，则，余数为2，与题述的余数为2时左移相符，所以符合题意.所以点的坐标为或.
15．[2024湖南，]在平面直角坐标系中，对于点,若,均为整数，则称点为“整点”,特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”为“超整点”.已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若点为“整点”,则点的个数为3个
C. 若点为“超整点”,则点的个数为1个
D. 若点为“超整点”,则点到两坐标轴的距离之和大于10
【答案】C
【解析】点在第二象限，
解得，
故选项A中说法不正确，不符合题意.
若点为“整点”，
则为整数，
又，
的值可以取，，0，1，
当时，，，此时点；
当时，，，此时点；
当时，，，此时点；
当时，，，此时点.
“整点”有4个，
故选项B中说法不正确，不符合题意.
根据“超整点”的定义得，仅当时，点是“超整点”，
故选项C中说法正确，符合题意.
当点为“超整点”时，点到两坐标轴的距离之和为，
故选项D中说法不正确，不符合题意.
16．[2024广州二模，]如图1，点从的顶点出发，沿着的方向运动，到达点后停止．设点的运动时间为，的长度为，图2是关于的函数图象，其中点是曲线部分的最低点，则的面积是____________.
图1 图2
【答案】
【解析】作，如图，
当点运动到点处时，，即，
当点运动到点处时,对应题图2中的点，此时，即，
当点到点处时，，即，
在中，，
在中，，
．
17．[2023深圳联考，]某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小红根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
（1） 经过测量，得出了和的几组对应值，如表.
米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88
在和这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数.
（2） 在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象.
（3） 结合表格数据和函数图象，解决问题：
① 桥墩露出水面的高度为____米;
② 公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船,为安全起见，公园要在水面上的，两处在左侧）设置警戒线，并且，要求游船能从，两点之间安全通过，则处到桥墩的距离至少为____米．（精确到0.1米）
【答案】（1） ；
（3） ① 0.88
② 0.7
【解析】
（2） 如图.
（3） 详解：设，把,,代入得，解得，对称轴为直线，令，则，解得（舍去）或．处到桥墩的距离至少为0.7米.
18．[2024深圳模拟，]某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数的图象、性质进行探究，探究过程如下，请补充完整．
（1） 下表是与的几组对应值．
… 0 1 2 3 4 …
… …
__________，________．
（2） 在平面直角坐标系中，描出相应的点，画出函数的图象．
（3） 函数性质探究：
观察函数图象，写出该函数图象的一条性质：__________________________________________________．
（4） 综合应用：
结合函数的图象，写出不等式的解集：________________________.
【答案】（1） ；
（3） 当时，随的增大而增大.
（4） 或．
【解析】
（2） 令，则，当时，，当时，.函数的图象如图1所示.
图1
（4） 详解：当时，，联立得解得当时，，联立得解得点和是两个函数图象的交点，由图2可得，当时，或.
图2
3.2 一次函数
基础练
1．[2024广州二模，]下列各点在函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2024广州二模，]正比例函数的图象经过点，则此图象一定经过点 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．[2023广州一模,]代数式有意义时，直线一定不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
4．[2023山西，]一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
5．[2024广州一模，]关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象过点
B. 其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到
C. 随着的增大而增大
D. 图象经过第一、二、四象限
【答案】D
6．[2024河源一模，]在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ）
A.
B. 随的增大而增大
C. 当时，
D. 关于，的方程组的解为
【答案】C
【解析】由图象得，，所以，故A不符合题意；
由图象得随的增大而减小，故B不符合题意；
由图象得当时，，故C符合题意；
由图象得的解为故D不符合题意．
7．[2024吉林长春，]已知直线（、是常数）经过点,且随的增大而减小，则的值可以是________________.（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【解析】解题关键
本题考查了一次函数的图象及性质，牢记“时，随 的增大而增大；时，随 的增大而减小”是解题的关键.
8．[2024江门调研，]将一次函数的图象沿轴向下平移3个单位长度后，得到新的图象对应的函数解析式为____________.
【答案】
9．[2024广州一模，]已知点，在直线上，且，则____（填“ ”“ ”或“”）
【答案】
10．[2024北京，]在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
（1） 求,的值；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.
【解析】
（1） 将代入，得，解得，将，代入函数中，得,解得.
（2） .详解：,，两个一次函数的解析式分别为,.由题意知，当时，直线在直线和直线的上方，画出图象如图： 由图象得，当直线与直线平行时符合题意，当直线与轴的夹角大于直线与轴的夹角时也符合题意， 当，直线在直线和直线的上方时，，的取值范围为.
11．[2024陕西，]我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是,行驶了后，从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示.
（1） 求与之间的关系式；
（2） 已知这辆车的“满电量”为,求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.
【解析】
（1） 设，将，代入，得解得.
（2） 令，则，.答：该车的剩余电量占“满电量”的.
12．[2023中山一模，]某超市以每千克40元的价格购进一批菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1） 求与之间的函数关系式；
（2） 若超市想要获利2 400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
【解析】
（1） 设与之间的函数关系式为，将，代入，得解得与之间的函数关系式为．
（2） 根据题意得，整理得，解得，.又 要让顾客获得更大实惠，．答：这种菠萝蜜每千克应降价12元 ．
提升练
13．[2024佛山一模，]古秤是人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一．如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的质量，称重时，秤钩所挂物的质量为，秤砣（质量固定）到秤纽的水平距离为．下表中为若干次称重时记录的数据：
1 2 3 4 5 6
0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
当为时，对应的水平距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
14．[2024深圳二模，]寒冷的冬天，在大风的加持下，人们会感觉格外冷，这种因风引起的，使体感温度较实际气温低的现象被称作风寒效应．风寒指数是对风寒效应的度量．当温度为时，风寒指数与风速的关系如图所示，若风速大于10，则风寒指数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
15．[2023湖北武汉，]皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中，分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数.在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点.已知，，，则内部的格点个数是（ ）
A. 266 B. 270 C. 271 D. 285
【答案】C
【解析】,,
,
线段的解析式为.
线段上的格点有19个（不含点A、B）.
，， 线段的解析式为,
线段上的格点有10个（含点B，不含点），
, 线段上的格点有31个（含点，A）.
.
由皮克定理得，解得.
16．[2022陕西，]下图是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数.下面表格中是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值.
输入 … 0 2 …
输出 … 2 6 16 …
根据以上信息，解答下列问题：
（1） 当输入的值为1时，输出的值为______；
（2） 求，的值；
（3） 当输出的值为0时，求输入的值.
【解析】（1） 8.
（2） 将，代入，得解得
（3） 令，由，得，，不合题意，舍去.由，得，.
输出的值为0时，输入的值为.
17．[2024广州一模，]某车间甲、乙两台机器共生产9 200个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工150个零件，如图是未生产零件的个数与乙机器工作时间（天）之间的函数图象．
（1） 乙机器每天加工____个零件，甲机器维修了______天；
（2） 求甲机器出现故障及维修好后，未生产零件的个数与乙机器工作时间（天）之间的函数关系式．
【答案】（1） 250；8
【解析】
（2） ①当时，设与之间的函数关系式为，把，代入，得解得；②当时，设与之间的函数关系式为,把，代入，得解得.综上所述，甲机器出现故障及维修好后，未生产零件的个数与乙机器工作时间（天）之间的函数关系式为
18．[2024吉林长春，]区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时.汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示.
（1） 的值为________;
（2） 当时，求与之间的函数关系式；
（3） 通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
【答案】（1）
【解析】
（2） 设当时，与之间的函数关系式为，则解得.
（3） 当时，，减速前的速度为（千米/时），，该辆汽车减速前没有超速.
19．[2024北京，]小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）.在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来.新水杯（记为2号杯）示意图如图.
当1号杯和2号杯中都有水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：）和2号杯的水面高度（单位：）,部分数据如下：
0 40 100 200 300 400 500
0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
（1） 补全表格（结果保留小数点后一位）.
（2） 通过分析数据，发现可以用函数刻画与,与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象.
（3） 根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
① 当1号杯和2号杯中都有水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为____（结果保留小数点后一位）；
② 在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为____（结果保留小数点后一位）.
【答案】（1） 1.0
（3） ① 1.2
② 8.6
【解析】
（1） 详解：设关于的函数关系式为，由表格数据得，解得，.当时，，.
（2） 如图.
3.3 反比例函数
基础练
1．[2023广州一模，]若反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．[2024重庆A卷，]已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. B. 3 C. D. 6
【答案】C
3．[2024佛山三模，]若点，，都在双曲线上，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4．[2024佛山二模，]阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球.”这句话精辟地阐明了一个物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则它的动力和动力臂之间的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
5．[2024河北，]节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电度，则能使用天.下列说法错误的是（ ）
A. 若,则 B. 若,则
C. 若减小，则也减小 D. 若减小一半，则增大一倍
【答案】C
6．[2024广州一模，]已知一次函数的图象经过点，正比例函数的图象不经过第三象限，则反比例函数的图象位于（ ）
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
【答案】D
【解析】正比例函数的图象不经过第三象限，，
又一次函数的图象经过点，即经过第三象限，，
反比例函数的图象位于第二、四象限．
7．[2024惠州二模，]根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该物体承受的压强的值为 ____．
【答案】400
8．[2024北京，]在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和,则的值是______.
【答案】0
9．[2024佛山一模，]如图，点是平面直角坐标系的原点．平行四边形的顶点在
反比例函数的图象上．若点，点，则的值为________．
【答案】
【解析】四边形是平行四边形，
，，
，
，又，
，
点在反比例函数的图象上，．
10．[2023东莞二模,]反比例函数、在第一象限内的图象如图所示，过图象上的任意一点，作轴的平行线交的
图象于点，交轴于点，若，则的值为__．
【答案】10
【解析】由题意得，
根据反比例函数系数的几何意义知，,
,,
又,.
11．[2024佛山三模，]如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点，与轴相交于点.
（1） 求直线与双曲线的表达式；
（2） 点为双曲线上的任意一点，若，求点坐标．
【解析】
（1） 直线过点，，，直线的表达式为，双曲线过点，，双曲线的表达式为.
（2） 把代入得，即点的坐标为，，，，，当点的纵坐标为3时，，，当点的纵坐标为时，，，点的坐标为或．
提升练
12．[2024山东滨州，]点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则,,0的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】反比例函数中，，
反比例函数图象分布在第一、三象限，
，
点在第三象限的图象上，点在第一象限的图象上，
.
一题多解
选择题常用取特殊值法排除错误选项，如令，再令，,得出，的值，再进行判断.
13．[2024广州一模，]如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. 5 B. 6 C. D.
【答案】C
【解析】如图，作，轴于点，
点D的坐标为，
，，，
，
点坐标为，
.
将菱形向右平移个单位长度，得到点的坐标为．
代入，得，解得.
14．[2024广州二模，]如图，点是反比例函数的图象上的一个动点，连接，过点作，并且使，连接，当点在反比例函数图象上移动时，点也在反比例函数的图象上移动，则的值为 （ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，如图，
，
，
,
，
，
，
，
,
，
，
，，
即,.
由题图可知,．
15．[2023深圳质检，]如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移得到线段，反比例函数的图象经过点．若在平移过程中，线段扫过的面积为2，则的值为______.
【答案】3
【解析】分别过点、作轴，轴，垂足分别为点、，延长交轴于点，则四边形、四边形和四边形都是矩形，
由平移的性质知，，，
，
轴，轴，
，
，
，
线段扫过的面积为2，
四边形的面积为2，
，
反比例函数的图象经过点，，
，
反比例函数的图象经过点，.
16．[2024江苏扬州，]如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为,点在反比例函数的图象上，轴于点, ,将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为________.
【答案】
【解析】如图,过点作轴于点，设.
由翻折可知, ,
, ,
又轴，,
,,
点的坐标为,
,
,,
点与点在反比例函数的图象上,
,
解得,（舍），
.
17．[2023佛山一模，]如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点.
（1） 求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2） 在轴上找一点，使的值最大，求的最大值及点的坐标；
（3） 直接写出当时，的取值范围．
【解析】
（1） 把代入，可得，反比例函数的解析式为.把代入，可得，．把，代入，可得解得一次函数的解析式为.
（2） 一次函数的解析式为，令，则，令,则，一次函数的图象与轴的交点为，点的坐标为，当为一次函数的图象与轴的交点时，取得最大值，为的长..的最大值为，此时点的坐标为.
（3） 或．
18．[2024广州二模，]如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转 得到．
（1） 反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
（2） 求的面积．
【解析】
（1） 点的坐标是，点的坐标是，，，点为中点，，将绕着点逆时针旋转 得到，，反比例函数的图象经过点，，该反比例函数的表达式为.
（2） 作轴于，如图.
， ， ，，，，，，，，，，，，过作轴于，.
19．[2024江苏盐城，]小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图.
请根据图中信息，求：
（1） 反比例函数表达式；
（2） 点坐标.
【解析】
（1） 由题图可知点的坐标为，设反比例函数的表达式为，将代入，得，，反比例函数的表达式为.
（2） 如图，过点作轴于点，轴于点，
易知,,设点的坐标为，则，，， 矩形直尺对边平行，， ，,,即，或，点在第二象限，，，点的坐标为．
20．[2024广州二模，]设函数，函数（，，是常数，，）．
（1） 若函数和函数的图象交于点，点.
① 求函数，的表达式；
② 当时，比较与的大小（直接写出结果）．
（2） 若点在函数的图象上，点先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值．
【解析】
（1）① 把代入，得，解得，函数的表达式为，把代入，得，把，代入，得解得函数的表达式为.
② .
（2） 由平移可得点坐标为，，解得，的值为1．
21．[2024广州一模，]已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，且一次函数的图象与轴、轴相交于点、点.
（1） 求一次函数和反比例函数的解析式.
（2） 点为直线上的动点，过作轴的垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答（若两题均选择，则只批改第①题）：
①连接，若，求的值；
②点在点上方时，判断关于的方程的解的个数．
【解析】
（1） 把代入，得，，反比例函数的解析式为.把代入,得，，把，代入得 解得一次函数的解析式为.
（2） 若选择①：如图,
在中，令得，令得，，，为直线上的动点，，则，，，，，解得或,当时，,,,,,;当时，,,,，，.综上所述，的值为.
若选择②：观察图象可知，点在点上方时，或.
ⅰ.当时，方程为一元一次方程，只有一个实数根.
ⅱ.当时，方程为一元二次方程，，当，且时，，，，此时方程有两个不相等的实数根；
当时，，，此时方程有两个相等的实数根；
当时，，，，此时方程无实数根；
当时，，，，此时方程有两个不相等的实数根.
综上所述，当且或时，方程有两个解；当或时，方程有一个解；当时，方程有0个解．
微专题一 反比例函数系数的几何意义
1．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是6，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，，设与轴交于点，
轴，点A在双曲线上，点B在双曲线上，
，，，
，．
2．如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点,，与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点,连接,.若四边形的面积为3,则（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，
点，均在反比例函数的图象上，，
矩形的顶点B在反比例函数的图象上，
，
，，.
3．[2023广西]如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，.若，则的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】由题意知.
，.
设,则,
,,
.
，即.
4．如图，、是双曲线上的点，分别过点、作轴和轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为______.
【答案】8
【解析】如图，点、是双曲线上的点，
，
，
.
5．如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为，.若四边形的面积为6，，则的值为 ______．
【答案】3
【解析】如图，延长交轴于，连接，
由题意知，，
，，
，，
，
．又,.
6．[2023江苏连云港]如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点.若矩形的面积是6，，则________.
【答案】
【解析】作轴于，
矩形的面积是6，
的面积是3，
，，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，，
.
3.4 二次函数
基础练
1．[2023佛山模拟，]抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
【答案】B
2．[2024广州二模，]已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列选项中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
3．[2024惠州二模，]将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
4．[2024广州一模，]抛物线的部分如图所示，对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标是____________.
【答案】
5．[2024吉林长春，]若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是__________.
【答案】
6．[2024广州一模，]若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为____________________（用“”连接）.
【答案】
7．[2024广州一模，]如图，已知抛物线经过和两点，如果点与在此抛物线上，那么____.（填“”“”或“”）
【答案】
8．[2023福建，]已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由题意可知抛物线的对称轴为直线.
、在对称轴两侧，
或
解得，
点在对称轴右侧，点在对称轴左侧.
，，
，
解得，
.
9．[2024佛山二模，]如图，菱形的边长为2，点在轴的负半轴上，抛物线过点，若，则________.
【答案】
【解析】过点作轴交轴于点，
菱形的边长为2，
，
，，
，，
，
.
把代入，
，.
10．[2023佛山模拟，]已知抛物线的解析式为（是常数）.
（1） 若抛物线与轴只有一个公共点，求的值；
（2） 为该抛物线上一点，当取得最大值时，求点的坐标.
【解析】
（1） 根据题意得，解得，.
（2） 为该抛物线上一点，， .，当，即时，取得最大值，此时，故点的坐标是.
11．[2023江门一模，]某商店销售一款耳机，每件进价为30元，经过试销发现，该耳机每天的销售量（件）与每件售价（元）之间满足如下关系：.
（1） 求该商店销售这款耳机每天获得的利润（元）与之间的函数关系式.
（2） 每件售价定为多少元时，该商店每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解析】
（1） 依题意得.
（2） ，，当时，取得最大值，最大值为225.答：当每件耳机售价定为45元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润是225元．
12．[2023佛山二模，]如图，某小区居民计划利用长为米的篱笆，再借助外墙围成一个矩形花园.设矩形的边长为米，面积为平方米.
（1） 若，墙长为50米，求与之间的关系式，并指出的取值范围.
（2） 在（1）的条件下，矩形的面积能达到800平方米吗？说明理由.
（3） 若外墙足够长，则当与满足什么关系时，篱笆围出的面积最大？最大面积是多少平方米？
【解析】
（1） 当时，根据题意知米，米，，又，，，与之间的关系式为.
（2） 能，理由如下：令，解得，又，当为20时，矩形的面积为800平方米.
（3） 根据题意得，，当时，取得最大值，最大值为，当时，篱笆围出的面积最大，最大面积为平方米．
13．[2024佛山一模，]如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，连接，，其中，.
（1） 求抛物线的解析式及的长；
（2） 点是线段上一动点，若，求点的坐标.
【解析】
（1） 把，分别代入得解得抛物线解析式为.当时，，解得，，，.
（2） 设直线的解析式为，把，分别代入得解得直线的解析式为.设，，，，解得，.
5·3 提升练
14．[2023江门一模，]如图，已知抛物线开口向上，与轴的一个交点为，对称轴为直线.下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】抛物线开口向上，
，
抛物线与轴交点在轴负半轴上，，
，，，
故A选项中结论正确，不符合题意；
抛物线与轴有两个交点，
，，
故B选项中结论正确，不符合题意；
由图象可得，当时，，
，
故C选项中结论错误，符合题意；
，，
故D选项中结论正确，不符合题意.
15．[2023佛山模拟，]已知抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示，为常数.
0 1
2 6
给出下列说法：①抛物线开口向上；②抛物线顶点坐标为；③抛物线与轴交点为；④抛物线与轴有两个交点；⑤抛物线的对称轴在轴右侧.以上说法正确的是 （ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ②④⑤
【答案】C
【解析】把，，分别代入，得解得
抛物线的解析式为.
，抛物线开口向下，故①错误；
，
抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，故②错误，⑤正确；
当时，，抛物线与轴的交点坐标为，故③正确；
，
抛物线与轴有两个交点，故④正确.
16．[2024广州一模，]已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】二次函数的图象开口向上，，
，，
，
的图象位于第二、四象限，
抛物线与轴相交于正半轴，
，，
的图象经过第一、二、四象限，
故D正确.
17．[2024湖北武汉，]抛物线（，，是常数，）经过，两点，且.下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于的一元二次方程无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则.
其中正确的是____（填写序号）.
【答案】②③④
【解析】（，，是常数，）经过，两点，且，
对称轴为直线，，
，，
，故①错误.
，
，即，两点之间的距离大于1.
又，
时，.
若，则，故②正确.
当时，抛物线解析式为，
把代入，
得，
.
，整理得，
.
，
当时，，即，
此时，
若，则关于的一元二次方程无实数解，故③正确.
，
抛物线开口向下，
，，
中点的横坐标，
点离直线较远，
总有，
对称轴与直线重合或在直线左侧，，
解得，故④正确.
18．[2024山东烟台，]已知二次函数的与的部分对应值如下表：
1 5
0 5 9 5
下列结论：①；②关于的一元二次方程有两个相等的实数根；③当时，的取值范围为；④若点，均在二次函数图象上，则；⑤满足的的取值范围是或.
其中正确结论的序号为____.
【答案】①②④
【解析】由和时，知图象的对称轴为直线，易知抛物线开口向下，由表格作出如图所示的抛物线.
由图象可知，，，
，故①正确；
抛物线顶点为，则抛物线与直线有一个公共点，
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故②正确；
由图象可知当时，的取值范围为，故③错误；
，
点，关于对称轴直线对称，
，故④正确；
根据图象的对称性可知抛物线过点，
直线经过点和，在同一直角坐标系中作出该直线，由图象可知⑤中的取值范围是或，故⑤错误.
综上，正确的结论为①②④.
19．[2024山东济宁，]某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.
（1） 求这段时间内与之间的函数解析式.
（2） 在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
【解析】
（1） 设一次函数解析式为，由题图知一次函数图象过点，， 解得.
（2） 在中，令，解得，由题意得，设商场获得的利润为元，由题意得，，，当时，随的增大而增大，当时，有最大值，最大值为，当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是7920元.
20．[2024江西，]如图，一小球从斜坡点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离（米）与小球飞行的高度（米）的变化规律如下表：
0 1 2 4 5 6 7 …
0 6 8 …
（1） ① ____，____；
② 小球的落点是，求点的坐标.
（2） 小球飞行高度（米）与飞行时间（秒）满足关系：.
① 小球飞行的最大高度为____________________________米；
② 求的值.
【答案】（1）① 3；6
（2） ① 8（填“”亦可）.
【解析】
（1）② 设，将代入，得，解得，，即.将代入，得，解得（舍），，将代入，得，点的坐标是.
（2）② 图象的顶点纵坐标为8，，解得，.当时，，，，不成立，.
21．[2024深圳联考，]根据以下素材，探索完成任务.
设计拱桥景观灯的悬挂方案
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面.据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高
图1 图2
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部到水面的距离不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布
图3
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的方案所需的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标
【解析】任务1：
以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则抛物线顶点为，且过点，
图1
设抛物线的表达式为，
把代入得，
，
抛物线的函数表达式为.
任务2：
该河段水位再涨达到最高，灯笼底部到水面的距离不小于，灯笼长，
悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标的最小值是.
当时，，
解得或，
悬挂点的横坐标的取值范围是.
任务3：
方案一：如图2（坐标系的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼.
图2
，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼，则，
顶点一侧最多悬挂3盏灯笼.
挂满灯笼后成轴对称分布，
共可挂7盏灯笼，
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为.
方案二：如图3（坐标系的横轴），
图3
从顶点两侧开始悬挂灯笼，由题意得正中间两盏灯笼到对称轴的距离为，
若顶点一侧悬挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼，则，
顶点一侧最多悬挂4盏灯笼.
挂满灯笼后成轴对称分布，
共可挂8盏灯笼，
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为.（答出一种即可）
22．[2024广州二模，]已知抛物线.
（1） 当时，求抛物线与轴的交点坐标.
（2） 若，抛物线与轴有两个不同的交点、（点在点的左侧），与轴交于点，过点作直线轴，点是直线上的一动点，点是轴上的一动点，且.
① 当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求的值.
② 取的中点，是否存在的最小值为？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.
【解析】
（1） 当时，，当时，，解得，，抛物线与轴的交点坐标为，.
（2） ① 抛物线与轴有两个不同的交点、（点在点的左侧），与轴交于点，当时，，解得，，，，，抛物线关于直线对称，，，，，解得（舍去正值）.
② 存在.连接，，由是的中点，为直角三角形，得，根据题意得，点在以点为圆心，为半径的圆上，由，，得，，在中，．当，即时，点在线段上时取最小值，最小值为，解得；当，即时，点落在线段的延长线上时取最小值，最小值为，解得.当的值为或时，的最小值是.
23．[2024东莞三模，]在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，为抛物线上第一象限内一点.
备用图
（1） 求抛物线的函数表达式；
（2） 求面积的最大值；
（3） 过点作，垂足为点，求线段长的取值范围；
（4） 若点为，为线段上一点，且四边形是平行四边形，直接写出点的坐标.
【答案】（4） .
【解析】
（1） 令，得，点的坐标为.抛物线与轴交于点，，设，将代入，得，解得， .该抛物线的函数表达式为.
（2） 如图，过点作轴于点，交于点，
设直线的解析式为，，， 解得直线的解析式为.设点，则点，，，当时，的面积最大，最大值为2.
（3） 由（2）得直线的解析式为，点，点，.在中，，，.，，，当时，取得最大值，最大值为，.
（4） 如图，点为，为线段上一点，且四边形是平行四边形，
，，设，则，,,解得,．
微专题二 二次函数的图象与系数、、的关系
1．[2024广州二模]二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交轴于点，有如下结论：①；②；③若点，都在该函数的图象上，则；④关于的不等式的解集为或.其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的交点为，
，
，故①正确；
时，，
，
，
即，故②正确；
点到直线的距离小于点到直线的距离，且抛物线开口向上，
，故③错误；
抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，
抛物线经过点，
即抛物线与直线相交于点，，
当或时，，
关于的不等式的解集为或，故④正确．
2．如图，抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为.下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，；⑤当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确结论的个数为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】抛物线交轴于，，抛物线的对称轴为直线，
，，故①正确.
由题意得消去得，，故②错误.
抛物线开口向上，对称轴是直线，当时，二次函数有最小值，
当时，，
，故③正确.
当是等腰直角三角形时，
，，，.设点D坐标为，则，
解得或.
点D在轴下方，
点D的坐标为.
设二次函数解析式为，将代入得，
，解得，故④正确.
由题意可得，，，
，当是等腰三角形时，只有两种情况，故的值有2个，故⑤错误.
综上所述，正确的结论有3个.
3．如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限内的动点，当的面积最大时，，.其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】抛物线与轴交于点，，
其对称轴为直线，即，，故①正确.
抛物线开口向下，，
，
抛物线交轴于正半轴，，
，故②错误.
由题意得（为任意实数），（为任意实数），故③错误.
设所在直线的解析式为，
.将，代入，得，
抛物线解析式为，直线的解析式为.
过点作轴交于点，如图所示，
，，
，
，
，
，当时，的面积最大，故④错误.
4．下图是二次函数的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和点之间，则下列结论：
①；
②；
③；
④一元二次方程有两个互异实数根.
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】抛物线与轴的一个交点在点和之间，
且抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在点和之间.
当时，，即，①正确；
抛物线的对称轴为直线，即，
，②错误；
抛物线的顶点坐标为，
，
，
③正确；
抛物线与直线有两个公共点，
一元二次方程有两个互异的实数根，④正确.
5．如图，二次函数的图象经过点和，对称轴为直线，下列5个结论：
①；②；③；④；⑤.
其中正确的结论为__.（只填序号）
【答案】②④
【解析】抛物线开口向上，.
抛物线的对称轴为直线，
，，，
③错误.
抛物线与轴的交点在轴下方，.
，①错误.
当时，，
，即，②正确.
当时，，，
又，
，即，
④正确.
当时，函数值最小，
当时，，
，⑤错误.
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2025广东版数学中考专题
第三章 函数
3.1 平面直角坐标系与函数初步
基础练
1．[2024广州一模，]点位于第（ ）象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
2．[2024湖南长沙，]在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．[2024佛山一模，]在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024河北，]在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．[2023东莞一模，]将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器的底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯中水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．[2024汕头二模，]在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是____________.
7．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是________.
8．[2024佛山二模，]在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的点的坐标是____________．
9．[2023佛山一模，]点与点在同一平面直角坐标系中．
（1） 若点位于第四象限，求的取值范围；
（2） 若点与点关于轴对称，求线段的长度．
提升练
10．[2024深圳二模，]如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至点停止，动点以的速度自点出发沿运动至点停止，若点、同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图象如图2所示，则图象中的值为 （ ）
图1 图2
A．1 B．1.2 C．1.6 D．2
11．[2024深圳二模，]如图，在中， ，与矩形的一边都在直线上，其中，，，且点与点重合．将沿直线向右平移，直到点与点重合为止．记点平移的距离为，与矩形重叠区域面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
12．[2023甘肃武威，]如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
13．[2024湖北武汉，]如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称.若点,,, ,,都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
14．[2024河北，]平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度.
若“和点”按上述规则连续平移16次后，到达点,则点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
15．[2024湖南，]在平面直角坐标系中，对于点,若,均为整数，则称点为“整点”,特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”为“超整点”.已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若点为“整点”,则点的个数为3个
C．若点为“超整点”,则点的个数为1个
D．若点为“超整点”,则点到两坐标轴的距离之和大于10
16．[2024广州二模，]如图1，点从的顶点出发，沿着的方向运动，到达点后停止．设点的运动时间为，的长度为，图2是关于的函数图象，其中点是曲线部分的最低点，则的面积是____________.
图1 图2
17．[2023深圳联考，]某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小红根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
（1） 经过测量，得出了和的几组对应值，如表.
米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88
在和这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数.
（2） 在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象.
（3） 结合表格数据和函数图象，解决问题：
① 桥墩露出水面的高度为____米;
② 公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船,为安全起见，公园要在水面上的，两处在左侧）设置警戒线，并且，要求游船能从，两点之间安全通过，则处到桥墩的距离至少为____米．（精确到0.1米）
18．[2024深圳模拟，]某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数的图象、性质进行探究，探究过程如下，请补充完整．
（1） 下表是与的几组对应值．
… 0 1 2 3 4 …
… …
__________，________．
（2） 在平面直角坐标系中，描出相应的点，画出函数的图象．
（3） 函数性质探究：
观察函数图象，写出该函数图象的一条性质：__________________________________________________．
（4） 综合应用：
结合函数的图象，写出不等式的解集：________________________.
3.2 一次函数
基础练
1．[2024广州二模，]下列各点在函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024广州二模，]正比例函数的图象经过点，则此图象一定经过点 （ ）
A． B． C． D．
3．[2023广州一模,]代数式有意义时，直线一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．[2023山西，]一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
5．[2024广州一模，]关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点
B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到
C．随着的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
6．[2024河源一模，]在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ）
A．
B．随的增大而增大
C．当时，
D．关于，的方程组的解为
7．[2024吉林长春，]已知直线（、是常数）经过点,且随的增大而减小，则的值可以是________________.（写出一个即可）
8．[2024江门调研，]将一次函数的图象沿轴向下平移3个单位长度后，得到新的图象对应的函数解析式为____________.
9．[2024广州一模，]已知点，在直线上，且，则____（填“ ”“ ”或“”）
10．[2024北京，]在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
（1） 求,的值；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.
11．[2024陕西，]我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是,行驶了后，从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示.
（1） 求与之间的关系式；
（2） 已知这辆车的“满电量”为,求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.
12．[2023中山一模，]某超市以每千克40元的价格购进一批菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1） 求与之间的函数关系式；
（2） 若超市想要获利2 400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
提升练
13．[2024佛山一模，]古秤是人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一．如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的质量，称重时，秤钩所挂物的质量为，秤砣（质量固定）到秤纽的水平距离为．下表中为若干次称重时记录的数据：
1 2 3 4 5 6
0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
当为时，对应的水平距离为（ ）
A． B． C． D．
14．[2024深圳二模，]寒冷的冬天，在大风的加持下，人们会感觉格外冷，这种因风引起的，使体感温度较实际气温低的现象被称作风寒效应．风寒指数是对风寒效应的度量．当温度为时，风寒指数与风速的关系如图所示，若风速大于10，则风寒指数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．[2023湖北武汉，]皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中，分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数.在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点.已知，，，则内部的格点个数是（ ）
A．266 B．270 C．271 D．285
16．[2022陕西，]下图是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数.下面表格中是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值.
输入 … 0 2 …
输出 … 2 6 16 …
根据以上信息，解答下列问题：
（1） 当输入的值为1时，输出的值为______；
（2） 求，的值；
（3） 当输出的值为0时，求输入的值.
17．[2024广州一模，]某车间甲、乙两台机器共生产9 200个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工150个零件，如图是未生产零件的个数与乙机器工作时间（天）之间的函数图象．
（1） 乙机器每天加工____个零件，甲机器维修了______天；
（2） 求甲机器出现故障及维修好后，未生产零件的个数与乙机器工作时间（天）之间的函数关系式．
18．[2024吉林长春，]区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时.汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示.
（1） 的值为________;
（2） 当时，求与之间的函数关系式；
（3） 通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
19．[2024北京，]小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）.在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来.新水杯（记为2号杯）示意图如图.
当1号杯和2号杯中都有水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：）和2号杯的水面高度（单位：）,部分数据如下：
0 40 100 200 300 400 500
0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
（1） 补全表格（结果保留小数点后一位）.
（2） 通过分析数据，发现可以用函数刻画与,与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象.
（3） 根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
① 当1号杯和2号杯中都有水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为____（结果保留小数点后一位）；
② 在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为____（结果保留小数点后一位）.
3.3 反比例函数
基础练
1．[2023广州一模，]若反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024重庆A卷，]已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
3．[2024佛山三模，]若点，，都在双曲线上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．[2024佛山二模，]阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球.”这句话精辟地阐明了一个物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则它的动力和动力臂之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2024河北，]节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电度，则能使用天.下列说法错误的是（ ）
A．若,则 B．若,则
C．若减小，则也减小 D．若减小一半，则增大一倍
6．[2024广州一模，]已知一次函数的图象经过点，正比例函数的图象不经过第三象限，则反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
7．[2024惠州二模，]根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该物体承受的压强的值为 ____．
8．[2024北京，]在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和,则的值是______.
9．[2024佛山一模，]如图，点是平面直角坐标系的原点．平行四边形的顶点在
反比例函数的图象上．若点，点，则的值为________．
10．[2023东莞二模,]反比例函数、在第一象限内的图象如图所示，过图象上的任意一点，作轴的平行线交的
图象于点，交轴于点，若，则的值为__．
11．[2024佛山三模，]如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点，与轴相交于点.
（1） 求直线与双曲线的表达式；
（2） 点为双曲线上的任意一点，若，求点坐标．
提升练
12．[2024山东滨州，]点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则,,0的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
13．[2024广州一模，]如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
14．[2024广州二模，]如图，点是反比例函数的图象上的一个动点，连接，过点作，并且使，连接，当点在反比例函数图象上移动时，点也在反比例函数的图象上移动，则的值为 （ ）
A．2 B． C．4 D．
15．[2023深圳质检，]如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移得到线段，反比例函数的图象经过点．若在平移过程中，线段扫过的面积为2，则的值为______.
16．[2024江苏扬州，]如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为,点在反比例函数的图象上，轴于点, ,将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为________.
17．[2023佛山一模，]如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点.
（1） 求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2） 在轴上找一点，使的值最大，求的最大值及点的坐标；
（3） 直接写出当时，的取值范围．
18．[2024广州二模，]如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转 得到．
（1） 反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
（2） 求的面积．
19．[2024江苏盐城，]小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图.
请根据图中信息，求：
（1） 反比例函数表达式；
（2） 点坐标.
20．[2024广州二模，]设函数，函数（，，是常数，，）．
（1） 若函数和函数的图象交于点，点.
① 求函数，的表达式；
② 当时，比较与的大小（直接写出结果）．
（2） 若点在函数的图象上，点先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值．
21．[2024广州一模，]已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，且一次函数的图象与轴、轴相交于点、点.
（1） 求一次函数和反比例函数的解析式.
（2） 点为直线上的动点，过作轴的垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答（若两题均选择，则只批改第①题）：
①连接，若，求的值；
②点在点上方时，判断关于的方程的解的个数．
微专题一 反比例函数系数的几何意义
1．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点,，与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点,连接,.若四边形的面积为3,则（ ）
A．3 B． C． D．
3．[2023广西]如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，.若，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，、是双曲线上的点，分别过点、作轴和轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为______.
5．如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为，.若四边形的面积为6，，则的值为 ______．
6．[2023江苏连云港]如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点.若矩形的面积是6，，则________.
3.4 二次函数
基础练
1．[2023佛山模拟，]抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
2．[2024广州二模，]已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024惠州二模，]将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
4．[2024广州一模，]抛物线的部分如图所示，对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标是____________.
5．[2024吉林长春，]若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是__________.
6．[2024广州一模，]若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为____________________（用“”连接）.
7．[2024广州一模，]如图，已知抛物线经过和两点，如果点与在此抛物线上，那么____.（填“”“”或“”）
8．[2023福建，]已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是____________.
9．[2024佛山二模，]如图，菱形的边长为2，点在轴的负半轴上，抛物线过点，若，则________.
10．[2023佛山模拟，]已知抛物线的解析式为（是常数）.
（1） 若抛物线与轴只有一个公共点，求的值；
（2） 为该抛物线上一点，当取得最大值时，求点的坐标.
11．[2023江门一模，]某商店销售一款耳机，每件进价为30元，经过试销发现，该耳机每天的销售量（件）与每件售价（元）之间满足如下关系：.
（1） 求该商店销售这款耳机每天获得的利润（元）与之间的函数关系式.
（2） 每件售价定为多少元时，该商店每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
12．[2023佛山二模，]如图，某小区居民计划利用长为米的篱笆，再借助外墙围成一个矩形花园.设矩形的边长为米，面积为平方米.
（1） 若，墙长为50米，求与之间的关系式，并指出的取值范围.
（2） 在（1）的条件下，矩形的面积能达到800平方米吗？说明理由.
（3） 若外墙足够长，则当与满足什么关系时，篱笆围出的面积最大？最大面积是多少平方米？
13．[2024佛山一模，]如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，连接，，其中，.
（1） 求抛物线的解析式及的长；
（2） 点是线段上一动点，若，求点的坐标.
提升练
14．[2023江门一模，]如图，已知抛物线开口向上，与轴的一个交点为，对称轴为直线.下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
15．[2023佛山模拟，]已知抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示，为常数.
0 1
2 6
给出下列说法：①抛物线开口向上；②抛物线顶点坐标为；③抛物线与轴交点为；④抛物线与轴有两个交点；⑤抛物线的对称轴在轴右侧.以上说法正确的是 （ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②④⑤
16．[2024广州一模，]已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为 （ ）
A． B．
C． D．
17．[2024湖北武汉，]抛物线（，，是常数，）经过，两点，且.下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于的一元二次方程无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则.
其中正确的是____（填写序号）.
18．[2024山东烟台，]已知二次函数的与的部分对应值如下表：
1 5
0 5 9 5
下列结论：①；②关于的一元二次方程有两个相等的实数根；③当时，的取值范围为；④若点，均在二次函数图象上，则；⑤满足的的取值范围是或.
其中正确结论的序号为____.
19．[2024山东济宁，]某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.
（1） 求这段时间内与之间的函数解析式.
（2） 在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
20．[2024江西，]如图，一小球从斜坡点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离（米）与小球飞行的高度（米）的变化规律如下表：
0 1 2 4 5 6 7 …
0 6 8 …
（1）
① ____，____；
② 小球的落点是，求点的坐标.
（2） 小球飞行高度（米）与飞行时间（秒）满足关系：.
① 小球飞行的最大高度为____________________________米；
② 求的值.
21．[2024深圳联考，]根据以下素材，探索完成任务.
设计拱桥景观灯的悬挂方案
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面.据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高
图1 图2
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部到水面的距离不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布
图3
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的方案所需的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标
22．[2024广州二模，]已知抛物线.
（1） 当时，求抛物线与轴的交点坐标.
（2） 若，抛物线与轴有两个不同的交点、（点在点的左侧），与轴交于点，过点作直线轴，点是直线上的一动点，点是轴上的一动点，且.
① 当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求的值.
② 取的中点，是否存在的最小值为？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.
23．[2024东莞三模，]在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，为抛物线上第一象限内一点.
备用图
（1） 求抛物线的函数表达式；
（2） 求面积的最大值；
（3） 过点作，垂足为点，求线段长的取值范围；
（4） 若点为，为线段上一点，且四边形是平行四边形，直接写出点的坐标.
微专题二 二次函数的图象与系数、、的关系
1．[2024广州二模]二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交轴于点，有如下结论：①；②；③若点，都在该函数的图象上，则；④关于的不等式的解集为或.其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为.下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，；⑤当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限内的动点，当的面积最大时，，.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下图是二次函数的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和点之间，则下列结论：
①；
②；
③；
④一元二次方程有两个互异实数根.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，二次函数的图象经过点和，对称轴为直线，下列5个结论：
①；②；③；④；⑤.
其中正确的结论为__.（只填序号）
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