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2025广东版数学中考专题
第四章 三角形
4.1 角、相交线与平行线
基础练
1．[2024佛山一模，]两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”.为了便于记忆,同学们可用双手表示“三线八角”（两根大拇指代表被截直线,两根食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（ ）
A. 同位角 B. 同旁内角 C. 内错角 D. 对顶角
【答案】A
2．[2024广州一模，]如图，，若 ，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．[2024佛山一模，]如图，直线、被直线所截.若， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4．[2024佛山一模，]与互为余角.若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．[2024东莞一模，]如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（ ）
A. 中线 B. 中位线 C. 高线 D. 角平分线
【答案】D
6．[2024佛山三模，]如图，直线，直角三角尺如图放置， ，若 ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
7．[2024广州二模，]如图，，点在的延长线上.若 ，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
，
，
.
8．[2024茂名一模，]如图，直线，直线，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线，，
，
直线，
..
9．[2024珠海一模，]光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图， , ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，，光线在空气中也平行，
，.
,，
，.
.
10．[2023惠州一模，]如图，， ， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，，
，
.
11．[2024东莞三模，]如图，把一把含有 角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上，如果 ，那么的度数是________.
【答案】
12．[2024广州一模,]如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，已知 , ,则的度数是________.
【答案】
13．[2024江苏连云港，]如图，直线,直线, ,则__ .
【答案】30
【解析】 直线，直线，
，，
，
.
提升练
14．[2023佛山二模，]阅读以下尺规作图的步骤：
（1）作射线，在射线上截取线段；
（2）分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、；
（3）作直线交于点；
（4）在直线上截取线段；
（5）连接，.
则可以说明的依据是（ ）
A. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C. 等腰三角形“三线合一”
D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
15．[2023深圳二模，]某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间.某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，若将图1抽象成图2的数学问题：， ， ，则的大小是（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】延长交于点，
，
，
.
16．[2022河北，]要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量.两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：
方案Ⅰ ①作一直线，交，于点，； ②利用尺规作； ③测量的大小即可.
图1
方案Ⅱ ①作一直线，交，于点，； ②测量和的大小； ③计算即可.
图2
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行
【答案】C
【解析】对于方案Ⅰ，
，，
根据两直线平行，内错角相等可得直线与所夹锐角等于，故方案Ⅰ可行.
对于方案Ⅱ，直线与所夹锐角、、是三角形的三个内角，故方案Ⅱ可行.
17．[2024深圳模拟，]我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当时，的度数为（ ）
图① 图②
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，
，
，
，
，
，
.
18．[2024云南,]已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3,则点到直线的距离为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】C
【解析】因为是等腰底边上的高，所以平分.根据角平分线的性质可得点到直线，的距离相等，所以点到直线的距离为3，故选C.
19．[2023广东模拟，]【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的锐角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则.
图1
（1） 【初步应用】如图2，有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线，若 ，证明：；
图2
（2） 【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若，则为多少度？
图3
【答案】
（1） 证明：，
，
，，
，
，，
，
.
（2） 如图，过点作，
，，
，
，
，，
.
同理，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
.
微专题三 角平分线模型
1．如图，在中，平分,于点，连接，若的面积为3，的面积为4，则的面积为______.
【答案】1
【解析】如图，延长交于点.
平分,,
,.
在与中，
，
,,
,.
.
2．如图，在中，点是和的平分线的交点，点，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点， ，则的度数为______________.（用含的代数式表示）
【答案】
【解析】是和的平分线的交点，
，，， ，
.
和的平分线交于点，
，，
，
.
3．如图，，，三点在一条直线上，在同侧作、，使得，分别平分，，过点作的平分线交于点.
（1） 已知 ，求的度数；
（2） 若，，求线段的长；
（3） 在（2）的条件下，若，求线段的长．
【答案】
（1） ，分别平分，，，.
，
，
.
（2） ，，，，
，，
，，
，，
.
（3） 延长交于，作于，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，平分，
，
，
，
，
，
.
4．如图1，的平分线与的外角的平分线交于点.
图1 图2
（1） 若 ，则________；若 ，则________；若 ，则________.
（2） 根据以上求解的过程，你发现与之间有什么关系？如果有关系，写出你的发现过程；如果没有，请说明理由.
（3） 如图2，在中， ，延长到，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，以此类推，的大小是________.
【答案】（1） ；；
（2） .
由三角形外角的性质得，，
的平分线与的外角的平分线交于点，
，，
，.
（3） .
4.2 三角形及其全等
基础练
1．[2024河北，]观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线
【答案】B
2．[2024湖南长沙，]如图，在中，点,分别是,的中点，连接.若,则的长为__.
【答案】24
3．[2024惠州二模，]一副三角尺如图叠放在一起，则图中 的度数是__________.
【答案】
【解析】如图，
由题意得，，
是的外角，
.
4．[2023广州二模，]在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值．则____度.
【答案】240
【解析】如图，是等边三角形，，
，，.
5．[2024广州一模，]如图，在四边形中，平分和.求证：，.
证明平分和，
，，
在和中，
.
，.
6．[2024云南，]如图，在和中，,,.
求证：.
证明,
，
即.
在和中，
.
7．[2023东莞一模，]如图，，相交于点，且，.延长到，延长到，使得，连接，.
求证：.
证明，，
，
在与中，
，
，
．
8．[2024江苏盐城，]已知：如图，点、、、在同一条直线上，,.
若_____________，则.
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号）,使结论成立，并说明理由.
【答案】
①（或③）.
选择①：
理由：，，
，，
在和中，
，
，.
选择③：
理由：，，
在和中，
，
，.
9．[2024广州一模，]已知：如图，在中， ，过点作，垂足为.在射线上截取，过点作，交的延长线于点.
求证：.
证明，
，
，
，
，
，，
.
在和中，
，
．
提升练
10．[2023深圳二模，]如图，四边形的对角线和相交于点．若 ，且，，，则的长为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】过D作交的延长线于，，
，，，
又，
，
，.
在中，，设，则，
，
解得，（舍去），
.
11．[2024广州一模，]如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，四边形的面积为60，，则中，边上的高为__________.
【答案】
【解析】，分别是和的高，
，
是的角平分线，
，
，
，
，的面积的面积，
四边形的面积为60，
，
，
，
，
中，边上的高.
12．[2023湖北黄冈，]下图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中，，连接，,若与的面积相等，则______.
【答案】3
【解析】由题意可知，，
.
由与的面积相等，得，
即，
整理得，
，.
.
13．[2023深圳模拟，]如图，在中， ，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交、于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点，若，，则的长为__.
【答案】20
【解析】过点作于，
由作图知平分，
，
，
，
.
，，
，
.设，
在中，由勾股定理得，
，
解得，即，
.
14．[2024河北，]如图，的面积为2，为边上的中线，点,,,是线段的五等分点，点,,是线段的四等分点，点是线段的中点.
（1） 的面积为______；
（2） 的面积为______.
【答案】（1） 1
（2） 7
【解析】
（1） 点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，，，，为边上的中线，，.
（2） 连接,,，点，，，是线段的五等分点，，.点，，是线段的四等分点，.点是线段的中点，，易证.，...，，，...的面积为.
15．[2024江门调研，]如图，在中， ，为的平分线.
（1） 尺规作图：过点作的垂线，交于点;（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2） 在（1）的条件下，求证：.
【答案】
（1） 如图，即为所求.
（2） 证明：为的平分线，为的垂线，，
，，.
在和中，
，
，
.
16．[2024山东烟台，]在等腰直角中, ,,为直线上任意一点，连接.将线段绕点按顺时针方向旋转 得线段,连接.
【尝试发现】
图1 图2
（1） 如图1，当点在线段上时，线段与的数量关系为______________;
【类比探究】
（2） 当点在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明;
【联系拓广】
（3） 若,，请直接写出的值.
【答案】（1） .
（2） 补全图形如图2..
证明：过点作 直线于点.
图2
由题意知，，
.
，
.
，，
.
，.
，.
，.
， .
.
（3） 或.
【解析】
（1） 详解：如图1，作交的延长线于点，
图1
由题意得, ,,，,，,，，， ，.
（3） 详解：连接.当点在点左侧时，由（2）得,，,.在中，由勾股定理得,,.当点在点右侧时，如图3，同理易证，
图3
,，.在中，由勾股定理得,,.故或.
微专题四 全等三角形模型
1．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图是一个“”字形框架，其中，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间时同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为________．
【答案】18或28
【解析】设，则，,，与全等可分两种情况.
①当，时，
，解得，
；
②当，时，
，解得，
.
综上，或．
2．如图，，，，则的面积为____．
【答案】9
【解析】过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
.
3．如图，正方形与正方形的边长分别为1和，一开始，边与边共线，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为．在旋转过程中，连接、、、，四边形面积的最大值是____________．
【答案】
【解析】连接，相交于点，设与交于点，
四边形，四边形都是正方形，
，，，
，
，
，
，，
，，，
，
，
当长度取最大值时，四边形的面积最大.
,当时，，
四边形面积的最大值.
4．如图，在正方形中，是对角线上一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，，．下列结论：
①若，则；
②；
③若，则；
④若，，则.
其中正确的结论是____.（填序号）
【答案】①②④
【解析】四边形是正方形，
，，，
，
，
.
由旋转得，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
.
当时，，
，，
，
，故①正确；
是等腰直角三角形，
，，
在中，，
，
，故②正确；
当时，
，
在中，，
，故③错误；
过点作，垂足为，
，，
，
在中，，故④正确.
5．如图,在锐角中,,点,分别是边,上的动点,连接交直线于点.若,且,,求的度数.
【解析】如图,在上取点,使,连接.
在和中,
.
,,
.
,,
,
.
,
且,
.
6．在正方形中,为上一点,点在上,点在上,且,垂足为点.
（1） 如图1,当点与点重合时,求证:.
图1
（2） 将图1中的向上平移,使得为的中点,此时与相交于点.
图2
① 依题意补全图2;
② 用等式表示线段,,之间的数量关系,并证明.
【解析】
（1） 证明:四边形是正方形，,..,垂足为点,,,.，即.
（2） ① 补全图形如图所示.
② .证明:如图,连接,,.
为的中点,且,. 四边形是正方形，,.,.,，，，. ， ， ..由（1）知,，.
4.3 等腰三角形与直角三角形
基础练
1．[2024陕西，]如图，在中，,是边上的高，是的中点，连接,则图中的直角三角形共有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
2．[2023佛山一模，]如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点.若，，则的长度为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】C
3．[2023东莞一模，]如图，在中，，平分，且，，点为的中点，则的值为（ ）
A. 5 B. 5.8 C. 6 D. 6.5
【答案】A
【解析】，平分，
，，
，
点为的中点，
.
4．[2024佛山一模，]在中，，过点作于点，若,则____.
【答案】7
5．[2024深圳模拟，]如图，在中，点是边上的一点．若，，则的度数为________．
【答案】
【解析】，
，
，
，
，，
．
6．[2024云浮一模，]如图，在中，，，过点作于点，则____.
【答案】9.6
【解析】如图，过点作于，
，，
，
，
，
，
．
7．[2023深圳二模，]如图，在中，，．用尺规作射线，与交于点．当时，的长是____．
【答案】8
【解析】在中，，，，
，
由作图得，
，
.
8．[2024佛山二模，]已知：如图，点在内部，连接，，.若，，求证：.
证明 ：如图，延长交于点，
，，
，，
，
.
9．[2024惠州模拟，]某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图1所示，发射杆始终平分同一平面内两条固定轴所成的，且，，发射中心能沿着发射杆滑动，、为橡皮筋．
图1
（1） 证明：；
（2） 在由图2中的等边变成直角的过程中，发射中心向下滑动的距离是多少？
图2
【解析】
（1） 证明：平分，，在和中， ，.
（2） 是等边三角形，且，，在中，，，，.答：发射中心向下滑动的距离是．
提升练
10．[2024安徽，]如图，在中，,点在的延长线上，且,则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作于点，
，,,,
,是等腰直角三角形，
.
在中，，.
11．[2024福建，]小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点,分别是底边,的中点，.下列推断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知,,.
,分别是,的中点,
,,
.
,
,
,即,故A说法正确.
,
,
无法证明,故B说法错误.
,点,分别是底边,的中点，
，故C说法正确.
,
，即，故D说法正确.
12．[2024四川南充，]如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.在正方形中，.下列三个结论：①若，则;②若的面积是正方形面积的3倍，则点是的三等分点；③将绕点逆时针旋转得到,则的最大值为.其中正确的结论是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】根据，
设，则，
，
，,，
，
，，故①正确.
若的面积是正方形面积的3倍，
则，
，整理得，
解得或（舍去），，
点是的三等分点,故②正确.
将绕点A逆时针旋转得到，
，
点在以为直径的半圆上，
取的中点，连接,，
则，
，
根据可知,当点，,B共线时，取得最大值，为，故③正确.
故选D.
13．[2024深圳二模，]如图，中，，，，一束光线从上的点沿垂直于的方向射出，需经镜面，反射后，照射到上的“探测区”上，已知，，则的长的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，，，
．
．
， ，，，.
，
．
．
．
由光的反射可得，
，．
．
．
．
①当点与点重合时，
，
.
.
.
.
.
②当点与点重合时，
，，
．
．
．
.
.
.
.
14．[2024陕西，]如图，在中，,是边上一点，连接，在的右侧作，且，连接.若，，则四边形的面积为__.
【答案】60
【解析】，
，
，
，
，
即平分，
过点作于点，于点，
则，
，，且，
，
四边形的面积，
，
，
设，则，
由勾股定理，得，
，
解得，
，
，
四边形的面积为60.
15．[2024广东一模,]如图，中，是边的中点，点、分别在、上，且，，若，，则的长为____．
【答案】3
【解析】，
，
，
，
，，
,
点是的中点，
，
、分别是、边的中点，
，
．
16．[2023深圳模拟，]如图，在中，，，．若、是边上的两个动点，以为边的等边的顶点在内部或边上，则等边的周长的最大值为________．
【答案】
【解析】如图，
当点与点重合，点在上时，的边长最大，周长也最大，
，，
，
,,
，
.
在中，,
，
在中，,
，
,的周长的最大值为．
17．[2023江苏苏州，]如图,,.过点作,延长到,使，连接,.若,则________.（结果保留根号）
【答案】
【解析】过点作于，
在中，，
，.
设，，则，.
在中，，即，
在中，，即，
，得，即，解得，（舍去），.
18．[2024深圳二模，]已知，，，点在上，作，直线交于，交延长线于，连接，，，则的长为________．
【答案】
【解析】连接、，如图所示.
，，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，，
，
可证，
，，
，
，
，
，
，
，
点为的中点，点为的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
在中，，，
，
.
19．[2024佛山三模，]综合与实践
【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边长的平方和等于第三边长的平方的三角形是直角三角形，这个命题正确吗？
【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3、4、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
【动手操作】如图，三条线段、、的长度比满足，某数学小组利用这三条线段，设计了如下作图步骤，对上述问题进行了验证：
①作线段；
②以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧,两弧相交于一侧的点;
③连接，，得到.
（1） 根据作图步骤，完成作图（要求：保留作图痕迹）；
【问题解决】
（2） 由三条线段的长度比可知，（1）中的三边满足，请你证明：边长满足的是直角三角形．
【解析】
（1） 根据题意，即为所求.
（2） 证明：作直角三角形，使，，，
，，，在和中， ，，边长满足的是直角三角形．
20．[2024山东滨州，]【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在中，若,,则有;
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得,即知.若把①中的替换为,还能推出吗
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出,并分别提供了不同的证明方法.
小军
证明：分别延长,至,两点，使得……
小民
证明：，
与 均为直角三角形，根据勾股定理，得……
【问题解决】
（1） 完成①的证明；
（2） 把②中小军、小民的证明过程补充完整.
【解析】
（1） 证明：,,垂直平分,,.
（2） 小军的证明过程：如图，分别延长，至，两点，使得，，连接，.
,,即.,垂直平分,,,,是的一个外角，,同理,.小民的证明过程：，与均为直角三角形，由勾股定理得,,,,，即,，垂直平分，,.
21．[2024广州一模，]如图，在等腰直角三角形中，，点在边的延长线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，为的中点．
（1） 求的长；
（2） 连接，，请猜想与的数量和位置关系，并证明你的结论；
（3） 在（2）的条件下，若点为中点，连接，，求的最小值．
【解析】
（1） 在等腰直角三角形中，，.
（2） 猜想：，.
证明：连接，
为等腰三角形，,将线段绕点逆时针旋转得到线段，，，是等腰直角三角形，，，，三点共线，为的中点，，，，，，，，，四点共圆，，，.
（3） 过点作于点，连接，
，，，，四点共圆，，，，，作点关于的对称点，连接，，当点在上时，，此时取得最小值，是等腰直角三角形，是的中点，，，，，,又，点在上，且为中点.，在中，，即的最小值为.
4.4 图形的相似
基础练
1．[2024重庆A卷，]若两个相似三角形的相似比是,则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2024佛山二模，]《墨子·天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积为（ ）
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】C
3．[2024佛山一模，]如图，点、分别在、边上，，．若，则的长为（ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 9
【答案】D
4．[2024江苏连云港，]下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
甲 乙 丙 丁
A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁
【答案】D
【解析】判断两个图形是不是相似图形，关键看两点：（1）形状相同；（2）大小不一定相等.根据图形易看出甲、丁形状相同，符合相似形的定义，故选D.
5．[2024湖南，]如图，在中，点,分别为边,的中点.下列结论中，错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】点D，分别为边，的中点，是的中位线，
，.
故A、C选项不符合题意.
，.
故B选项不符合题意.
，
，
则.
故D选项符合题意.
6．[2023佛山二模，]如图，与位似，位似中心为点，若的周长与的周长之比为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】与位似，位似中心为点，
，，
的周长与的周长之比为，
，
．
7．[2024广州一模，]在中，点为的中点，连接，交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】四边形是平行四边形，，，
，,
点为的中点，，
.
8．[2024山东滨州，]如图，在中，点,分别在边,上.添加一个条件使，则这个条件可以是______________________________.（写出一种情况即可）
【答案】（答案不唯一）
9．[2024云南，]如图，与交于点,且.若,则________.
【答案】
【解析】,,.
10．[2023东莞一模,]在阳光下，高为的旗杆在地面上的影长为，同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为，则这座建筑物的高度为__．
【答案】30
【解析】设这座建筑物的高度为，由题意得,
解得，
这座建筑物的高度为．
11．[2024江苏扬州，]物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像.设,，小孔到的距离为,则小孔到的距离为__.
【答案】20
【解析】设小孔到的距离为，
由题意可得，
则，．
12．[2024河源一模，]如图，在中，点、分别在、上，连接，若，，，求的长．
【解析】，
,
，,
，
，即,
.
13．[2024东莞一模，]如图所示,在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为,,.
（1） 以原点为位似中心,在第三象限画出使得它与的位似比为（点、、分别与点、、对应）;
（2） 在（1）的条件下,写出点、的坐标.
【解析】
（1） 如图所示，即为所求.
（2） ，.
提升练
14．[2024广州二模，]如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为.点、、在轴上，若正方形的边长为6，则点的坐标为____________．
【答案】
【解析】正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为.
，
，
，
，，
．
15．[2024湖北，]如图，由三个全等的三角形（,,）与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形.连接并延长交于点,若,则（1）的度数是________;（2）的长是________.
【答案】；
【解析】，
.
为等边三角形，
， ，
， .
作交的延长线于点.
易知，
，
，
，
易知 ，，，
，即，
.
16．[2024深圳联考，]在中， ，，，点在边上，，连接，过点作于点，且的延长线交边于点，则________．
【答案】
【解析】作交的延长线于点，
则，
，，，
，
，
，
，
，
，
于点，
，
，
，
，
.
17．[2024江苏苏州，]如图，中， ,,,点,分别在,边上，,连接,将沿翻折，得到，连接,.若的面积是面积的2倍，则________.
【答案】
【解析】，
设，则，
沿翻折得到，
，，
过作于，设与相交于，
则 ，
又，
，
，
，，，
，
，，则，
是等腰直角三角形，
，则 ，
，
在和中，
，
，
，
，
，
的面积是的面积的2倍，
，
则，
解得，（舍去），
则．
18．[2023珠海一模，]如图，已知点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．
（1） 求证：；
（2） 若，，且，求的值．
【解析】
（1） 证明：四边形是菱形，，，在和中， ，.
（2） ，，，，，，，,，且，．
19．[2024四川成都，]如图，在中， ,为斜边上一点，以为直径作,交于,两点，连接,,.
（1） 求证：;
（2） 若,,,求的长和的直径.
【解析】
（1） 证明：是的直径，，又，，，.
（2） 由（1）可知，，，，，，，， , ,,,,,,,,,,,,,，在中，，，解得，,,,，即的直径是.
微专题五 相似三角形模型
1．如图，在平行四边形中，为上一点，且，与相交于点，，则（ ）
A. 9 B. 12 C. 27 D. 36
【答案】D
【解析】 四边形是平行四边形，，.
，，.
，，
，
.
，
，
，
，
.
2．[2023湖北黄冈]如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，,再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点,,则的长为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】设与交于点，与交于点,连接，
由题意可得平分，即，， .易证垂直平分，，，又，，.，，， ，，
，，
，解得. ， ，.
，，，，解得..
3．如图，已知等腰的顶角的大小为 ，点为边上的动点（与、不重合），将绕点沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接.给出下列结论：
①;
②;
③当时，的面积取得最小值.
其中正确的结论有____（填结论对应的序号）.
【答案】①②③
【解析】①由旋转知，
,
，
，
又，
，故①正确.
②由①得，，即，
又,
，故②正确.
③由②得，
，
即当取最小值时，取得最小值，此时为中边上的高，
为等腰三角形，
，故③正确.
4．如图所示,在等腰三角形中,,点,在线段上,点在线段上,且,.
求证:
（1） ;
（2） .
【解析】
（1） ,,,,即，在和中， ,.
（2） ,,,又,,，，，，，，，又，,，即.
4.5 解直角三角形
基础练
1．[2024云南，]如图，在中，若 ,,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．[2024广州一模，]在中， ，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3．[2023广州一模,]如图，在中，是斜边上的高， ，则下列比值中不等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4．[2024佛山三模,]一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为，则它的宽为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
5．[2024广西，]如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 ,则重合部分构成的四边形的周长为________.
【答案】
【解析】根据题意可得四边形为平行四边形，根据两张纸条宽度均为可得平行四边形的四条边都相等，所以平行四边形为菱形.过点作，垂足为，由题意可得 ，，
，，
四边形的周长为.
6．[2024佛山一模，]如图1是路灯维护工程车，图2是其工作示意图，作业平台底部与支撑平台平行，米．当 ， 时，作业平台底部到支撑平台的距离是____________米．
图1 图2
【答案】
【解析】过点作，如图，过点作于点，交于点，
，
是等腰直角三角形， ，
米，
，
，
米，
，，
，
， ，
，
，，
米，
米，
即作业平台底部到支撑平台的距离是米．
7．[2024江苏盐城，]如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升至距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为 ,再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为 ,则教学楼的高度约为__.（精确到,参考数据：,,）
【答案】17
【解析】如图，延长交的延长线于点，则 ，
由题意知，
在中，，
即，
，
，
， ，
，
.
8．[2024佛山二模，]6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是________．
【答案】
【解析】由题意，知，.
，．
.
9．[2024佛山三模，]如图，在中， ， ．当时，求的长（说明：解题中如果需要作辅助线，请用尺规作图法作出辅助线，保留作图痕迹，不用写作法）.
【解析】过点作的垂线，垂足为，
,
.
在中，,
即,
.
同理可得，.
在中，,
即,
，
.
10．[2024佛山三模，]如图，为测量佛山电视塔的高度，某兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶处测得塔尖处的仰角为 ，塔底处的俯角为 ，若建筑物的高为68米，求电视塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，）
【解析】过点作，垂足为，
由题意得米，
在中， ，
（米），
在中， ，
米，
（米）.
答：电视塔的高度约为238米．
11．[2024佛山一模，]“醒狮”是国家级非物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴采摘悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”．如图，舞狮者站在梅花桩上，与“生菜”放置点的水平距离为1.1米， ．已知该舞狮者的“采摘距离”为1.43米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．
（参考数据：，，）
【解析】该舞狮者能“采青”成功.
理由：过点作，垂足为，
由题意得米，
在中， ，
（米），
米米，
该舞狮者能“采青”成功．
12．[2024佛山二模，]人字梯主要用于登高作业.如图是人字梯完全打开后的示意图，其中点,为梯子的着地点,, ，点可看作是人字梯最上层踏板,,求点到地面的距离.（结果精确到,参考数据: ,,,）
【解析】连接，过点作，垂足为，
,
， ，
,
.
在中,,
,
点到地面的距离约为.
提升练
13．[2023东莞一模，]如图，点、、都在格点上，则的正切值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】延长至点C，连接，
设正方形网格的边长为1，
则，，，
,
为直角三角形， ,.
14．[2024广州一模，]如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行到达点时拍到树顶点，仰角为 ；小静沿着坡度的斜坡步行到达点时拍到树顶点，仰角为 ，那么这棵木棉树的高度约为（ ）（结果精确到）（参考数据：，，）
A. 22 B. 21 C. 20 D. 19
【答案】C
【解析】过点C作，垂足为D，过点C作，垂足为，
由题意得，，，,
斜坡的坡度，
，
设，则，
在中，，
，
，解得，
，，
设，
，
在中， ，
，
在中， ，
，
，，
解得，
，
这棵木棉树的高度约为．
15．[2024广州一模，]如图，在塔前的平地上选择一点，由点看塔顶的仰角是，在点和塔之间选择一点，由点看塔顶的仰角是.若测量者的眼睛距离地面的高度为，， ， ，则塔的高度大约为（参考数据：，）（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，由题意得，
，，
，，
设，
则，
在中，，即，
解得，
塔的高度大约为．
16．[2023浙江杭州，]第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1 700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形（,,,）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，,连接.设 , ,若正方形与正方形的面积之比为, ，则（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】设，.
， ，
，
即，
，整理得.
，
，
，
.
17．[2024山东烟台，]根据收集的素材，探索完成任务.
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明.某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装
素材二 某市位于北半球,太阳光线与水平线的夹角为 ,冬至日时， ;夏至日时, ,,,,,,,,,,,
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射.现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板.已知两楼间距为54米，甲楼共11层,乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线
问题解决
任务一．确定使用数据
要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择____日（填冬至或夏至）时,为________（填 , , , 中的一个）进行计算
任务二．探究安装范围
利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器
【答案】任务一： 冬至；
【解析】
任务二： 如图，过点作于点.
，，， 四边形为矩形.米，.在中， ，（米）.（米），（米）.（米）.（层）， 乙楼中一层和二层不能安装该品牌太阳能热水器.
18．[2024广州二模，]小亮同学将一辆自行车水平放在地面上，如示意图，车把头下方处与坐垫下方处的连线平行于地面水平线，处为齿盘的中轴，点到地面的距离为的长，测得， ，.
（1） 求的长度（结果保留整数）.
（2） 若的长为，坐垫中轴顶端与点的距离为．根据小亮同学身高比例，到地面的距离在至之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出小亮同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．
（参考数据：，，，）
【解析】
（1） 延长交于点，
由题意得，在中，， ，，，在中， ，，，的长度约为.
（2） 过点作于，
， ，在中，，，，，到地面的距离，根据小亮同学身高比例，到地面的距离为至之间时，骑乘该自行车最舒适，小亮同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度．
19．[2024江苏苏州，]图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆,活动杆可绕点旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知,,.
图① 图② 图③
（1） 如图②,当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）;
（2） 如图③，当活动杆绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度 ,且（为锐角）时,求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）.
【解析】
（1） 过点作，垂足为，
由题意知 ，又，四边形为矩形.，，，，，，在中，， 可伸缩支撑杆的长度为.
（2） 过点作，交的延长线于点，交于点，
由题意知四边形为矩形，，， ， 在中，，，，，，，，，，，在中，， 此时可伸缩支撑杆的长度为．
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2025广东版数学中考专题
第四章 三角形
4.1 角、相交线与平行线
基础练
1．[2024佛山一模，]两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”.为了便于记忆,同学们可用双手表示“三线八角”（两根大拇指代表被截直线,两根食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（ ）
A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角
2．[2024广州一模，]如图，，若 ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024佛山一模，]如图，直线、被直线所截.若， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024佛山一模，]与互为余角.若 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．[2024东莞一模，]如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
6．[2024佛山三模，]如图，直线，直角三角尺如图放置， ，若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．[2024广州二模，]如图，，点在的延长线上.若 ，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．[2024茂名一模，]如图，直线，直线，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
9．[2024珠海一模，]光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图， , ，则（ ）
A． B． C． D．
10．[2023惠州一模，]如图，， ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．[2024东莞三模，]如图，把一把含有 角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上，如果 ，那么的度数是________.
12．[2024广州一模,]如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，已知 , ,则的度数是________.
13．[2024江苏连云港，]如图，直线,直线, ,则__ .
提升练
14．[2023佛山二模，]阅读以下尺规作图的步骤：
（1）作射线，在射线上截取线段；
（2）分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、；
（3）作直线交于点；
（4）在直线上截取线段；
（5）连接，.
则可以说明的依据是（ ）
A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C．等腰三角形“三线合一”
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
15．[2023深圳二模，]某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间.某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，若将图1抽象成图2的数学问题：， ， ，则的大小是（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
16．[2022河北，]要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量.两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：
方案Ⅰ ①作一直线，交，于点，； ②利用尺规作； ③测量的大小即可.
图1
方案Ⅱ ①作一直线，交，于点，； ②测量和的大小； ③计算即可.
图2
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
17．[2024深圳模拟，]我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当时，的度数为（ ）
图① 图②
A． B． C． D．
18．[2024云南,]已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3,则点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
19．[2023广东模拟，]【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的锐角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则.
图1
（1） 【初步应用】如图2，有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线，若 ，证明：；
图2
（2） 【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若，则为多少度？
图3
微专题三 角平分线模型
1．如图，在中，平分,于点，连接，若的面积为3，的面积为4，则的面积为______.
2．如图，在中，点是和的平分线的交点，点，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点， ，则的度数为______________.（用含的代数式表示）
3．如图，，，三点在一条直线上，在同侧作、，使得，分别平分，，过点作的平分线交于点.
（1） 已知 ，求的度数；
（2） 若，，求线段的长；
（3） 在（2）的条件下，若，求线段的长．
4．如图1，的平分线与的外角的平分线交于点.
图1 图2
（1） 若 ，则________；若 ，则________；若 ，则________.
（2） 根据以上求解的过程，你发现与之间有什么关系？如果有关系，写出你的发现过程；如果没有，请说明理由.
（3） 如图2，在中， ，延长到，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，以此类推，的大小是________.
4.2 三角形及其全等
基础练
1．[2024河北，]观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
2．[2024湖南长沙，]如图，在中，点,分别是,的中点，连接.若,则的长为__.
3．[2024惠州二模，]一副三角尺如图叠放在一起，则图中 的度数是__________.
4．[2023广州二模，]在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值．则____度.
5．[2024广州一模，]如图，在四边形中，平分和.求证：，.
6．[2024云南，]如图，在和中，,,.
求证：.
7．[2023东莞一模，]如图，，相交于点，且，.延长到，延长到，使得，连接，.
求证：.
8．[2024江苏盐城，]已知：如图，点、、、在同一条直线上，,.
若_____________，则.
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号）,使结论成立，并说明理由.
9．[2024广州一模，]已知：如图，在中， ，过点作，垂足为.在射线上截取，过点作，交的延长线于点.
求证：.
提升练
10．[2023深圳二模，]如图，四边形的对角线和相交于点．若 ，且，，，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．[2024广州一模，]如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，四边形的面积为60，，则中，边上的高为__________.
12．[2023湖北黄冈，]下图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中，，连接，,若与的面积相等，则______.
13．[2023深圳模拟，]如图，在中， ，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交、于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点，若，，则的长为__.
14．[2024河北，]如图，的面积为2，为边上的中线，点,,,是线段的五等分点，点,,是线段的四等分点，点是线段的中点.
（1） 的面积为______；
（2） 的面积为______.
15．[2024江门调研，]如图，在中， ，为的平分线.
（1） 尺规作图：过点作的垂线，交于点;（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2） 在（1）的条件下，求证：.
16．[2024山东烟台，]在等腰直角中, ,,为直线上任意一点，连接.将线段绕点按顺时针方向旋转 得线段,连接.
【尝试发现】
图1 图2
（1） 如图1，当点在线段上时，线段与的数量关系为______________;
【类比探究】
（2） 当点在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明;
【联系拓广】
（3） 若,，请直接写出的值.
微专题四 全等三角形模型
1．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图是一个“”字形框架，其中，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间时同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为________．
2．如图，，，，则的面积为____．
3．如图，正方形与正方形的边长分别为1和，一开始，边与边共线，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为．在旋转过程中，连接、、、，四边形面积的最大值是____________．
4．如图，在正方形中，是对角线上一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，，．下列结论：
①若，则；
②；
③若，则；
④若，，则.
其中正确的结论是____.（填序号）
5．如图,在锐角中,,点,分别是边,上的动点,连接交直线于点.若,且,,求的度数.
6．在正方形中,为上一点,点在上,点在上,且,垂足为点.
（1） 如图1,当点与点重合时,求证:.
图1
（2） 将图1中的向上平移,使得为的中点,此时与相交于点.
图2
① 依题意补全图2;
② 用等式表示线段,,之间的数量关系,并证明.
4.3 等腰三角形与直角三角形
基础练
1．[2024陕西，]如图，在中，,是边上的高，是的中点，连接,则图中的直角三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．[2023佛山一模，]如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点.若，，则的长度为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
3．[2023东莞一模，]如图，在中，，平分，且，，点为的中点，则的值为（ ）
A．5 B．5.8 C．6 D．6.5
4．[2024佛山一模，]在中，，过点作于点，若,则____.
5．[2024深圳模拟，]如图，在中，点是边上的一点．若，，则的度数为________．
6．[2024云浮一模，]如图，在中，，，过点作于点，则____.
7．[2023深圳二模，]如图，在中，，．用尺规作射线，与交于点．当时，的长是____．
8．[2024佛山二模，]已知：如图，点在内部，连接，，.若，，求证：.
9．[2024惠州模拟，]某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图1所示，发射杆始终平分同一平面内两条固定轴所成的，且，，发射中心能沿着发射杆滑动，、为橡皮筋．
图1
（1） 证明：；
（2） 在由图2中的等边变成直角的过程中，发射中心向下滑动的距离是多少？
图2
提升练
10．[2024安徽，]如图，在中，,点在的延长线上，且,则的长是（ ）
A． B． C． D．
11．[2024福建，]小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点,分别是底边,的中点，.下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．[2024四川南充，]如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.在正方形中，.下列三个结论：①若，则;②若的面积是正方形面积的3倍，则点是的三等分点；③将绕点逆时针旋转得到,则的最大值为.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
13．[2024深圳二模，]如图，中，，，，一束光线从上的点沿垂直于的方向射出，需经镜面，反射后，照射到上的“探测区”上，已知，，则的长的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
14．[2024陕西，]如图，在中，,是边上一点，连接，在的右侧作，且，连接.若，，则四边形的面积为__.
15．[2024广东一模,]如图，中，是边的中点，点、分别在、上，且，，若，，则的长为____．
16．[2023深圳模拟，]如图，在中，，，．若、是边上的两个动点，以为边的等边的顶点在内部或边上，则等边的周长的最大值为________．
17．[2023江苏苏州，]如图,,.过点作,延长到,使，连接,.若,则________.（结果保留根号）
18．[2024深圳二模，]已知，，，点在上，作，直线交于，交延长线于，连接，，，则的长为________．
19．[2024佛山三模，]综合与实践
【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边长的平方和等于第三边长的平方的三角形是直角三角形，这个命题正确吗？
【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3、4、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
【动手操作】如图，三条线段、、的长度比满足，某数学小组利用这三条线段，设计了如下作图步骤，对上述问题进行了验证：
①作线段；
②以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧,两弧相交于一侧的点;
③连接，，得到.
（1） 根据作图步骤，完成作图（要求：保留作图痕迹）；
【问题解决】
（2） 由三条线段的长度比可知，（1）中的三边满足，请你证明：边长满足的是直角三角形．
20．[2024山东滨州，]【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在中，若,,则有;
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得,即知.若把①中的替换为,还能推出吗
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出,并分别提供了不同的证明方法.
小军
证明：分别延长,至,两点，使得……
小民
证明：，
与 均为直角三角形，根据勾股定理，得……
【问题解决】
（1） 完成①的证明；
（2） 把②中小军、小民的证明过程补充完整.
21．[2024广州一模，]如图，在等腰直角三角形中，，点在边的延长线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，为的中点．
（1） 求的长；
（2） 连接，，请猜想与的数量和位置关系，并证明你的结论；
（3） 在（2）的条件下，若点为中点，连接，，求的最小值．
4.4 图形的相似
基础练
1．[2024重庆A卷，]若两个相似三角形的相似比是,则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024佛山二模，]《墨子·天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
3．[2024佛山一模，]如图，点、分别在、边上，，．若，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
4．[2024江苏连云港，]下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
甲 乙 丙 丁
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
5．[2024湖南，]如图，在中，点,分别为边,的中点.下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．[2023佛山二模，]如图，与位似，位似中心为点，若的周长与的周长之比为，则（ ）
A． B． C． D．
7．[2024广州一模，]在中，点为的中点，连接，交于点，则（ ）
A． B． C． D．
8．[2024山东滨州，]如图，在中，点,分别在边,上.添加一个条件使，则这个条件可以是______________________________.（写出一种情况即可）
9．[2024云南，]如图，与交于点,且.若,则________.
10．[2023东莞一模,]在阳光下，高为的旗杆在地面上的影长为，同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为，则这座建筑物的高度为__．
11．[2024江苏扬州，]物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像.设,，小孔到的距离为,则小孔到的距离为__.
12．[2024河源一模，]如图，在中，点、分别在、上，连接，若，，，求的长．
13．[2024东莞一模，]如图所示,在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为,,.
（1） 以原点为位似中心,在第三象限画出使得它与的位似比为（点、、分别与点、、对应）;
（2） 在（1）的条件下,写出点、的坐标.
提升练
14．[2024广州二模，]如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为.点、、在轴上，若正方形的边长为6，则点的坐标为____________．
15．[2024湖北，]如图，由三个全等的三角形（,,）与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形.连接并延长交于点,若,则（1）的度数是________;（2）的长是________.
16．[2024深圳联考，]在中， ，，，点在边上，，连接，过点作于点，且的延长线交边于点，则________．
17．[2024江苏苏州，]如图，中， ,,,点,分别在,边上，,连接,将沿翻折，得到，连接,.若的面积是面积的2倍，则________.
18．[2023珠海一模，]如图，已知点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．
（1） 求证：；
（2） 若，，且，求的值．
19．[2024四川成都，]如图，在中， ,为斜边上一点，以为直径作,交于,两点，连接,,.
（1） 求证：;
（2） 若,,,求的长和的直径.
微专题五 相似三角形模型
1．如图，在平行四边形中，为上一点，且，与相交于点，，则（ ）
A．9 B．12 C．27 D．36
2．[2023湖北黄冈]如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，,再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点,,则的长为（ ）
A． B． C． D．4
3．如图，已知等腰的顶角的大小为 ，点为边上的动点（与、不重合），将绕点沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接.给出下列结论：
①;
②;
③当时，的面积取得最小值.
其中正确的结论有____（填结论对应的序号）.
4．如图所示,在等腰三角形中,,点,在线段上,点在线段上,且,.
求证:
（1） ;
（2） .
4.5 解直角三角形
基础练
1．[2024云南，]如图，在中，若 ,,,则（ ）
A． B． C． D．
2．[2024广州一模，]在中， ，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．[2023广州一模,]如图，在中，是斜边上的高， ，则下列比值中不等于的是（ ）
A． B． C． D．
4．[2024佛山三模,]一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为，则它的宽为（ ）
A． B．
C． D．
5．[2024广西，]如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 ,则重合部分构成的四边形的周长为________.
6．[2024佛山一模，]如图1是路灯维护工程车，图2是其工作示意图，作业平台底部与支撑平台平行，米．当 ， 时，作业平台底部到支撑平台的距离是____________米．
图1 图2
7．[2024江苏盐城，]如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升至距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为 ,再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为 ,则教学楼的高度约为__.（精确到,参考数据：,,）
8．[2024佛山二模，]6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是________．
9．[2024佛山三模，]如图，在中， ， ．当时，求的长（说明：解题中如果需要作辅助线，请用尺规作图法作出辅助线，保留作图痕迹，不用写作法）.
10．[2024佛山三模，]如图，为测量佛山电视塔的高度，某兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶处测得塔尖处的仰角为 ，塔底处的俯角为 ，若建筑物的高为68米，求电视塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，）
11．[2024佛山一模，]“醒狮”是国家级非物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴采摘悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”．如图，舞狮者站在梅花桩上，与“生菜”放置点的水平距离为1.1米， ．已知该舞狮者的“采摘距离”为1.43米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．
（参考数据：，，）
12．[2024佛山二模，]人字梯主要用于登高作业.如图是人字梯完全打开后的示意图，其中点,为梯子的着地点,, ，点可看作是人字梯最上层踏板,,求点到地面的距离.（结果精确到,参考数据: ,,,）
提升练
13．[2023东莞一模，]如图，点、、都在格点上，则的正切值是（ ）
A． B． C． D．
14．[2024广州一模，]如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行到达点时拍到树顶点，仰角为 ；小静沿着坡度的斜坡步行到达点时拍到树顶点，仰角为 ，那么这棵木棉树的高度约为（ ）（结果精确到）（参考数据：，，）
A．22 B．21 C．20 D．19
15．[2024广州一模，]如图，在塔前的平地上选择一点，由点看塔顶的仰角是，在点和塔之间选择一点，由点看塔顶的仰角是.若测量者的眼睛距离地面的高度为，， ， ，则塔的高度大约为（参考数据：，）（ ）
A． B． C． D．
16．[2023浙江杭州，]第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1 700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形（,,,）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，,连接.设 , ,若正方形与正方形的面积之比为, ，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
17．[2024山东烟台，]根据收集的素材，探索完成任务.
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明.某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装
素材二 某市位于北半球,太阳光线与水平线的夹角为 ,冬至日时， ;夏至日时, ,,,,,,,,,,,
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射.现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板.已知两楼间距为54米，甲楼共11层,乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线
问题解决
任务一．确定使用数据
要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择____日（填冬至或夏至）时,为________（填 , , , 中的一个）进行计算
任务二．探究安装范围
利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器
18．[2024广州二模，]小亮同学将一辆自行车水平放在地面上，如示意图，车把头下方处与坐垫下方处的连线平行于地面水平线，处为齿盘的中轴，点到地面的距离为的长，测得， ，.
（1） 求的长度（结果保留整数）.
（2） 若的长为，坐垫中轴顶端与点的距离为．根据小亮同学身高比例，到地面的距离在至之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出小亮同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．
（参考数据：，，，）
19．[2024江苏苏州，]图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆,活动杆可绕点旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知,,.
图① 图② 图③
（1） 如图②,当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）;
（2） 如图③，当活动杆绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度 ,且（为锐角）时,求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）.
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