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2025广东版数学中考专题
第五章 四边形
5.1 多边形与平行四边形
基础练
1．[2024吉林长春，]在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2024东莞三模，]如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】连接，，
、B、C、D为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
点A、B、C、D在以点为圆心，为半径的圆上，
，
，
这个正多边形的边数.
3．[2024重庆A卷，]如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为____.
【答案】9
4．[2024佛山三模，]如图，中国古建筑中的亭、台、楼、阁、塔很多都采用六边形结构.六边形的内角和为____.
【答案】720
5．[2024山东济宁，]如图，四边形的对角线，相交于点，，请补充一个条件：____________________________，使四边形是平行四边形.
【答案】（答案不唯一）
【解析】，，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
6．[2024广州二模，]已知的对角线，相交于点，是等边三角形，，则的面积等于________.
【答案】
【解析】是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形.
，
，，
在中，由勾股定理得
，
.
7．[2024湖北武汉，]如图，在中，点，分别在边，上，.
（1） 求证：.
（2） 连接.请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形.（不需要说明理由）
【答案】（2） .（答案不唯一）
【解析】
（1） 证明：四边形是平行四边形，，，，，，即，在与中， .
（2） 详解：四边形是平行四边形，，即，当时，四边形是平行四边形.
8．[2024湖南，]如图，在四边形中，，点在边上， .
请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1） 求证：四边形为平行四边形；
（2） 若，，，求线段的长.
【解析】
（1） 选择①的证明：，，，四边形为平行四边形.
选择②的证明：，，，，四边形为平行四边形.
（2） 由（1）可知，四边形为平行四边形，，，，，即线段的长为6.
提升练
9．[2023珠海一模，]如图，已知点、、、、、分别在的三边上，如果六边形是正六边形，下列结论中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】六边形是正六边形，，
，
即是等边三角形，
，
故A选项中结论正确，不符合题意；
同理得出，
即，，均为等边三角形，
，，
即，
，
，
故B选项中结论正确，不符合题意；
，
故C选项中结论不正确，符合题意；
，
故D选项中结论正确，不符合题意.
10．[2023湖南衡阳，]如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是__.
【答案】10
【解析】如图，正五边形的外角，
，
要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数为.
11．[2024惠州联考，]如图，在正八边形中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则的面积为____________.
【答案】
【解析】如图，连接，，作，，，
由正八边形性质得，，
将绕点逆时针旋转得到，，，
为等边三角形，
，，
，
，，
由正八边形性质得，
易知，
，
，
同理，
，
.
12．[2024广州一模，]如图，在平行四边形中，，，，点为线段的中点.动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点.点、同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为__________.
【答案】
【解析】连接，，，延长，，交于点，设，交于点，如图，
在平行四边形中，，，，点为线段的中点，
，，，为等边三角形，
，，
易知，
，，
.
，，
，又，
，
是等边三角形，
动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点，
.
，
，
，
，
，，
，
，
，过点，
点是的外心，
连接，
，
连接，点关于直线的对称点为点，
，
当点运动到点时，点运动到点，此时与重合，点与点重合，
点的运动轨迹为，
点的运动路径长为.
13．[2023佛山模拟，]如图，在四边形中，，对角线，相交于点.点是对角线的中点，连接，.，，且.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 求的值.
【解析】
（1） 证明：点是的中点，，，又，，，，，，，又，，，，，又，四边形为平行四边形.
（2） 如图，延长交于点，
，，，，且点为的中点，又点是的中点，是的中位线，，又，，，在中，，，，.
14．[2024广州二模，]如图，在中，，，.
（1） 尺规作图：将沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕，折痕与的交点为.（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 若折痕与的延长线交于点.
① 求的长度；
② 求点到直线的距离.
【解析】
（1） 如图所示.
（2） ① 由作图得平分，，，四边形是平行四边形，，，，.
② 过点作于，则，平分，点到直线的距离等于点到所在直线的距离，也等于的长，点到直线的距离为3．
5.2 特殊的平行四边形
基础练
1．[2024江苏盐城，]矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则在哪两个连续整数之间（ ）
A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5
【答案】C
【解析】，，，即在3和4之间．
2．[2024湖北武汉，]小美同学按如下步骤作四边形：（1）画;（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，;（3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点;（4）连接，，.若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由作图过程可得，
四边形是菱形，
.
，
3．[2024山东济宁，]如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接.若，则菱形的边长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】A
【解析】由菱形的性质得，
是的中点，
，
菱形的边长为6.
4．[2024福建，]如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为____.
【答案】2
【解析】点，，，分别是正方形的边，，，的中点，
四边形是正方形，连接、，则，
.
5．[2023深圳二模，]如图，菱形的对角线与交于点，，，则________.
【答案】
【解析】在菱形中，，，，，
，
，，
，
．
6．[2023珠海一模，]如图，在中，.
（1） 作图：在上方作射线，使，在射线上截取，使，连接；（用尺规作图，要求保留作图痕迹，不写作法）
（2） 在（1）的条件下，证明四边形是矩形．
【解析】
（1） 如图所示.
（2） 证明：，，，四边形是平行四边形，，是矩形．
7．[2024广州一模，]先化简，再求值：，其中的值为菱形的面积，已知在菱形中，，.
【解析】如图，过点作于，
四边形为菱形，
，
在中，，，
则，
菱形的面积为，即，
原式
.
8．[2024重庆A卷，]在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1） 如图，在矩形中，点是对角线的中点.用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹）.
（2） 已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且.求证：四边形是菱形.
证明：四边形是矩形，
.
①________________，.
点是的中点，
②____________.
.
③____________.
又，
四边形是平行四边形.
，
四边形是菱形.
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢 请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
【解析】
（1） 如图.
（2） ；；；过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形.
9．[2024河源一模，]课本再现
思考 我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
（1） 为了证明该定理，小亮同学画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你帮助他完成证明过程.
已知：如图所示，已知，对角线，相交于点，且.求证：是矩形.
（2） 利用尺规作的平分线，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）.
（3） 在（2）的条件下，延长交于点.若，求证：四边形是正方形.
【解析】
（1） 证明：四边形是平行四边形，，，，，，，，是矩形.
（2） 如图所示，即为所求.
（3） 证明：四边形是矩形，，，平分，，，，四边形是矩形，，易知，，矩形是正方形.
提升练
10．[2024广州一模，]如图，点为矩形的边的中点，点为边上一点，且，若，，则的长为（ ）
A. 10 B. C. 12 D.
【答案】C
【解析】如图，过点作于点，连接，
四边形是矩形，，，
，，
在和中，
，
，，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
.
11．[2024佛山一模，]如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点、、三点共线时，交于点，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，连接，，
四边形为矩形，
，，，
由旋转可知，，，，，
又点C、、三点共线，
是等腰三角形，且，
，
，
在和中，
，
，，
设，则，
在中，，
，
解得，
.
12．[2023深圳模拟，]如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，
四边形和四边形均为正方形，点D为的中点，
，，，，
，，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，，，
，
点、、三点共线，
，，
，
，，
.
13．[2024东莞三模，]如图，已知矩形在平面直角坐标系中，，，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、.则下列结论：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为15；③点在运动过程中，长度的最小值为；④当时，.其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】①四边形是矩形，
，
将沿折叠得到，
，，，
当时，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形为正方形，故①正确；
②过点D作于，
，，
，，
，
当时，
，
，
的面积为，故②正确；
③连接，
则，的长度为定值，
当，即，D，C三点共线时，的长度取最小值，
，，
，
，
即长度的最小值为，故③正确；
④当时，
，
，
，
，D，A三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确.
14．[2024广州一模，]如图，点为菱形的边上一点，且，，点为对角线上一动点，若的周长的最小值为6，则________.
【答案】
【解析】如图，连接、，
四边形是菱形，，，
，点和点关于对称，，
，
，
的周长，
的周长的最小值为6，
，
，，，
，是直角三角形，，
，
.
15．[2024佛山二模，]如图，在矩形中，点为中点，将沿翻折至，若，则________.
【答案】
【解析】四边形是矩形，
，，
点为中点，
，
，
，
，
由翻折得到，
，，
设，则，，
，
，
在中，，
，
即，，
.
16．[2023深圳二模，]如图，正方形的边长为8，对角线，相交于点，点，分别在边，上，且，连接交于，若，则__.
【答案】20
【解析】如图，过点作于点，
四边形为边长为8的正方形，
，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
在中，，．
17．[2024山东威海，]将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式翻折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点.若，，，则________.
【答案】
【解析】四边形为矩形，
，，，
由翻折可知，，，，
易证，
在中，，，
，
，，
在中，
，
，
又，
.
在中，
，
，
.
18．[2024佛山一模，]综合与实践
数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点，使其到该菱形三个顶点的距离相等.
【动手操作】如图，已知菱形，求作点，使得点到三个顶点，，的距离相等.小红同学设计如下作图步骤：
①连接；
②分别以点，为圆心，大于的长为半径分别在的上方与下方作弧，上方两弧交于点，下方两弧交于点，作直线交于点；
③连接，，则.
（1） 根据小红同学设计的尺规作图步骤，在图中完成作图（要求：用尺规作图并保留作图痕迹）；
【证明结论】
（2） 证明：；
【拓展延伸】
（3） 当时，求与的面积比.
【解析】
（1） 作图如图所示.
（2） 证明：四边形为菱形，，，在和中， ，，由作图知垂直平分，，.
（3） 在菱形中，，，，，，，，，，，，即，，，，，设，，则，，解得或（舍去），，又，.
19．[2024云南，]如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形.
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长.
【解析】
（1） 证明：，，四边形为平行四边形.如图，连接、，
、分别为、的中点，，四边形是矩形，，，、分别为、的中点，，，平行四边形为菱形.
（2） 、分别为、的中点，，同理，，.矩形的周长为22，，四边形为菱形，，，，，如图，设与交于点，，，，.
20．[2024山西，]综合与探究
问题情境：如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点.
图1 图2
猜想证明：
（1） 判断四边形的形状，并说明理由.
深入探究：
（2） 将图1中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，.
① 如图2，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，.猜想线段与的数量关系，并说明理由；
② 当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点.若，，直接写出四边形的面积.
【答案】（2）② 或.
【解析】
（1） 四边形为矩形.理由如下:，，，.四边形为菱形，...四边形为矩形.
（2） ① .理由如下：
证法一：四边形为菱形，，.将旋转得到，，.，.，....
证法二：如图，连接.
四边形为菱形，，.将旋转得到，，.，....，..
② 详解：在中，.，，，又，点，，三点共线.当点在的下方时，如图1，
图1
，，，，，，，，，，，.，，，，，.，，，，，，，.当在的上方时，如图2，
图2
，，，，，，，.易知，，.，，，，，，，，.，，，，，，，，.
21．[2024佛山二模，]综合探究
已知点是边长为2的正方形内部一个动点，始终保持.
【初步探究】
（1） 如图1，延长交边于点，当点是的中点时，求的值；
图1
【深入探究】
（2） 如图2，连接并延长，交边于点，当点是的中点时，求的值；
图2
【延伸探究】
（3） 如图3，连接并延长，交边于点，当取得最大值时，求的值.
图3
【解析】
（1） 如图1，四边形为正方形，，，，
图1
，，点是的中点，.
（2） 延长交边于点，如图2，
图2
当点是的中点时，，，，在中，，，在正方形中，，，，，，，同（1）可得.
（3） 延长交边于点，如图3，
图3
，，点在以为直径的半圆（不含、点）上运动，取的中点，连接，，当与半圆相切时，有最大值．且为半径，为半圆的切线，，点在线段的垂直平分线上，同理，点在线段的垂直平分线上，是线段的垂直平分线，，，又，四边形是平行四边形．，.同（1）可得.
微专题六 矩形的折叠
1．[2023佛山一模]如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内的点处，连接，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，过作于，
将沿折叠，使点B落在矩形内的点处，点为的中点，，
是等腰三角形，
是的中点，平分，又平分，
，
，
即，
，，
，
，，
在矩形中，，，点为的中点，即，
在中，，
，，
，.
2．如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对应点为，点的对应点为，若，，，则矩形的边的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由折叠可得，，，，
，，
，，
又，
，
四边形是矩形，
，，
设，
由折叠可知，，
，，且，
，
，，
，
（舍去负值）.
，，，
，
，
.
3．[2023深圳模拟]如图，已知正方形的边长为4，是延长线上一点，，是边上一点，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接，交于点，则的长是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】四边形是边长为4的正方形，
，，，
由翻折得，，垂直平分，
在和中，
，
，
，
，
，
，且，
，解得，
，
，
解得.
4．[2024江苏连云港]如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接.再将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为.若点恰好为线段最靠近点的一个五等分点，，则的长为________.
【答案】
【解析】设与交于点，由折叠的性质可得，
，
四边形是矩形，且上下对折后得到折痕，，
，，，
，
，
，
又，
，
，设，则由题意得，，
解得（负值舍去），经检验，是原方程的解，且符合题意.
.
5．[2023广州模拟]如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：点在上，将纸片沿进行折叠，使点落在边上的点处（如图2）；点为上一点，将纸片沿进行第二次折叠，使点落在上的点处（如图3），给出以下四个结论：
图1 图2 图3
①的长为10；
②的周长为18；
③；
④的长为5.
其中正确的结论为____.（填序号）
【答案】①③④
【解析】四边形为矩形，
，，
由折叠可得，，
四边形为正方形，
，故①正确；
如图，过点作，分别交、于点、，
，四边形为正方形，
和为等腰直角三角形，且，
设，则，，，
由折叠的性质可知，
在中，由勾股定理可得，
即，解得或（舍去），
，，，
又，
，，
又，
，
，即，
，，故④正确；
，
，，
，，
的周长，，
故②不正确，③正确.
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第五章 四边形
5.1 多边形与平行四边形
基础练
1．[2024吉林长春，]在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．[2024东莞三模，]如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．[2024重庆A卷，]如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为____.
4．[2024佛山三模，]如图，中国古建筑中的亭、台、楼、阁、塔很多都采用六边形结构.六边形的内角和为____.
5．[2024山东济宁，]如图，四边形的对角线，相交于点，，请补充一个条件：____________________________，使四边形是平行四边形.
6．[2024广州二模，]已知的对角线，相交于点，是等边三角形，，则的面积等于________.
7．[2024湖北武汉，]如图，在中，点，分别在边，上，.
（1） 求证：.
（2） 连接.请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形.（不需要说明理由）
8．[2024湖南，]如图，在四边形中，，点在边上， .
请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1） 求证：四边形为平行四边形；
（2） 若，，，求线段的长.
提升练
9．[2023珠海一模，]如图，已知点、、、、、分别在的三边上，如果六边形是正六边形，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．[2023湖南衡阳，]如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是__.
11．[2024惠州联考，]如图，在正八边形中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则的面积为____________.
12．[2024广州一模，]如图，在平行四边形中，，，，点为线段的中点.动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点.点、同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为__________.
13．[2023佛山模拟，]如图，在四边形中，，对角线，相交于点.点是对角线的中点，连接，.，，且.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 求的值.
14．[2024广州二模，]如图，在中，，，.
（1） 尺规作图：将沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕，折痕与的交点为.（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 若折痕与的延长线交于点.
① 求的长度；
② 求点到直线的距离.
5.2 特殊的平行四边形
基础练
1．[2024江苏盐城，]矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
2．[2024湖北武汉，]小美同学按如下步骤作四边形：（1）画;（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，;（3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点;（4）连接，，.若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024山东济宁，]如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接.若，则菱形的边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．[2024福建，]如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为____.
5．[2023深圳二模，]如图，菱形的对角线与交于点，，，则________.
6．[2023珠海一模，]如图，在中，.
（1） 作图：在上方作射线，使，在射线上截取，使，连接；（用尺规作图，要求保留作图痕迹，不写作法）
（2） 在（1）的条件下，证明四边形是矩形．
7．[2024广州一模，]先化简，再求值：，其中的值为菱形的面积，已知在菱形中，，.
8．[2024重庆A卷，]在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1） 如图，在矩形中，点是对角线的中点.用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹）.
（2） 已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且.求证：四边形是菱形.
证明：四边形是矩形，
.
①________________，.
点是的中点，
②____________.
.
③____________.
又，
四边形是平行四边形.
，
四边形是菱形.
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢 请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
9．[2024河源一模，]课本再现
思考 我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
（1） 为了证明该定理，小亮同学画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你帮助他完成证明过程.
已知：如图所示，已知，对角线，相交于点，且.求证：是矩形.
（2） 利用尺规作的平分线，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）.
（3） 在（2）的条件下，延长交于点.若，求证：四边形是正方形.
提升练
10．[2024广州一模，]如图，点为矩形的边的中点，点为边上一点，且，若，，则的长为（ ）
A．10 B． C．12 D．
11．[2024佛山一模，]如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点、、三点共线时，交于点，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
12．[2023深圳模拟，]如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
13．[2024东莞三模，]如图，已知矩形在平面直角坐标系中，，，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、.则下列结论：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为15；③点在运动过程中，长度的最小值为；④当时，.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．[2024广州一模，]如图，点为菱形的边上一点，且，，点为对角线上一动点，若的周长的最小值为6，则________.
15．[2024佛山二模，]如图，在矩形中，点为中点，将沿翻折至，若，则________.
16．[2023深圳二模，]如图，正方形的边长为8，对角线，相交于点，点，分别在边，上，且，连接交于，若，则__.
17．[2024山东威海，]将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式翻折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点.若，，，则________.
18．[2024佛山一模，]综合与实践
数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点，使其到该菱形三个顶点的距离相等.
【动手操作】如图，已知菱形，求作点，使得点到三个顶点，，的距离相等.小红同学设计如下作图步骤：
①连接；
②分别以点，为圆心，大于的长为半径分别在的上方与下方作弧，上方两弧交于点，下方两弧交于点，作直线交于点；
③连接，，则.
（1） 根据小红同学设计的尺规作图步骤，在图中完成作图（要求：用尺规作图并保留作图痕迹）；
【证明结论】
（2） 证明：；
【拓展延伸】
（3） 当时，求与的面积比.
19．[2024云南，]如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形.
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长.
20．[2024山西，]综合与探究
问题情境：如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点.
图1 图2
猜想证明：
（1） 判断四边形的形状，并说明理由.
深入探究：
（2） 将图1中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，.
① 如图2，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，.猜想线段与的数量关系，并说明理由；
② 当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点.若，，直接写出四边形的面积.
21．[2024佛山二模，]综合探究
已知点是边长为2的正方形内部一个动点，始终保持.
【初步探究】
（1） 如图1，延长交边于点，当点是的中点时，求的值；
图1
【深入探究】
（2） 如图2，连接并延长，交边于点，当点是的中点时，求的值；
图2
【延伸探究】
（3） 如图3，连接并延长，交边于点，当取得最大值时，求的值.
图3
微专题六 矩形的折叠
1．[2023佛山一模]如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内的点处，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对应点为，点的对应点为，若，，，则矩形的边的长为（ ）
A． B．
C． D．
3．[2023深圳模拟]如图，已知正方形的边长为4，是延长线上一点，，是边上一点，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接，交于点，则的长是（ ）
A． B． C．1 D．
4．[2024江苏连云港]如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接.再将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为.若点恰好为线段最靠近点的一个五等分点，，则的长为________.
5．[2023广州模拟]如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：点在上，将纸片沿进行折叠，使点落在边上的点处（如图2）；点为上一点，将纸片沿进行第二次折叠，使点落在上的点处（如图3），给出以下四个结论：
图1 图2 图3
①的长为10；
②的周长为18；
③；
④的长为5.
其中正确的结论为____.（填序号）
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