6.2 .4平面向量的运算——向量的数量积 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.2.4 平面向量的运算
——向量的数量积
学习目标
1、了解向量的实际背景，理解平面向量数量积的含义并会计算；
2、理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角、模；
3、掌握并会计算向量的投影向量.
温故知新
向量的线性运算：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有
新知探究
问题：前面我们学习了向量的加、减运算.类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功
其中是与的夹角.
新知探究
功是一个标量，它由力和位移两个向量确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念.
因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量夹角的概念
新知探究
向量的夹角
已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作，，则叫做向量的夹角.
显然，当时，同向；当时，反向.
如果的夹角是，我们说垂直，记作.
A
B
O
新知探究
向量的数量积
已知两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
A
B
O
对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关
典型例题
例1：已知，，的夹角，求.
【解】
.
典型例题
例2：设，，，求的夹角.
【解】由，得
，
因为，
所以.
新知探究
投影向量
如图，设，是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量的投影，叫做向量在向量上的投影向量.
A
D
B
C
新知探究
投影向量
如图，我们在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
O
N
M
新知探究
如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间有怎样的关系？
探究
显然，与共线，于是
O
N
M
新知探究
下面我们探究与，的关系，进而给出的明确表达式.我们分为锐角、直角、钝角以及，等情况进行讨论.
当为锐角时，与方向相同，，
所以
O
N
M
新知探究
当为直角时，，所以
O
N
M
当为钝角时，与方向相反，所以
即
O
N
M
新知探究
当时，，所以
O
N
M
当时，，所以
O
N
M
从上面的讨论可知，对于任意的，都有
新知探究
从上面的探究我们看到，两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性.这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？
探究
由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质.
设，是非零向量，它们的夹角为，是方向相同的单位向量，则
（1）；
（2）；
新知探究
（3）当与同向时，；
当与反向时，.
特别地，或.
（4）由，我们还可以得到
常常记作
如果，是否有，或？
随堂练习
1、已知，，和的夹角是，求.
随堂练习
2、已知中，，，当或时，试判断的形状.
随堂练习
3、已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于，，时，求向量在向量上的投影向量.
本节课到此结束！
谢谢大家！