2024-2025学年四川省川南川东北地区名校高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省川南川东北地区名校高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知点是角终边上除原点外任意一点，，则( )
A. B. C. D.
5.下列图象可能为幂函数图象的是( )
A. B. C. D.
6.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
7.某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量单位：千辆小时与车速单位：公里小时近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为( )
A. B. C. D.
8.已知函数有两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，且的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递减
C. 的最大值为 D. 的图象关于直线对称
11.下列说法正确的是( )
A. 若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为
B. 设，，则是的充要条件
C. 已知，则对任意实数，，是的充要条件
D. 如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，则是的必要不充分条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在边长为的正三角形中裁剪一个面积最大的扇形，则这个扇形的面积为______．
13.若正实数，满足，则的最小值为______．
14.下列命题：
函数的单调递增区间为；
将函数的图象先关于轴对称，再将其图象向左平移个单位后的函数解析式为；
将函数的图象先关于对称，再将其图象关于轴对称后的函数解析式为；
若函数的值域为，则实数的取值范围为．
其中正确的序号为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知实数满足．
求实数的取值范围；
解关于的不等式．
17.本小题分
已知指数函数，且的图象经过点．
求函数的解析式；
若函数是奇函数，
求实数的值；
判断并用定义法证明函数的单调性．
18.本小题分
猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，年月至年月日，全球已经有个国家报告了猴痘病例例，其中死亡例年月，世卫组织宣布猴痘疫情构成“国际关注的突发公共卫生事件”猴痘病毒经过变异之后传染性极强，假设猴痘病毒在特定环境下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示猴痘感染人数．
请从与且两个函数模型中选择更适合猴痘病毒感染规律的函数模型，并求出该函数模型的解析式；
求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过万人参考数据：
19.本小题分
已知函数．
判断的奇偶性并证明；
若函数，请判断是否存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
若函数，当时，记的最小值为，求．
参考答案
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15.解：集合，．
已知得，，
当时，，
；
，
，
当时，，即，
当时，，
综上所述，实数的取值范围为．
16.解：由题意，，
则，
，
即的取值范围为，
由题意，，
，
当时，，故原不等式的解为；
当时，，故原不等式无实数解；
当时，，故原不等式的解为；
综上所述：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
17.解：指数函数，且的图象经过点，
即，解得，
；
是奇函数，
，解得，
检验：当时，的定义域为，
故是奇函数，满足题意，；
函数在上单调递增，证明如下：
，，，则，，
在上单调递增．
18.解：若选，
将，和，代入得，解得，
得，代入得，这与题干时差异很大，
所以该函数模型不适合；
若选，
将，和，代入得，
解得，得，
代入得，得，与表中数据接近，
所以适合作为拟合猴痘病毒感染规律的函数模型；
设至少需要个单位时间数，由题意知，，
两边取对数，得，
即，
所以，
因为，
所以，
因为，所以的最小值为，
即至少经过个单位时间数该病毒的感染人数会超过万人．
19.解：为偶函数，证明如下：
由题可得的定义域为并且定义域关于原点对称，
因为，
所以
，
所以是定义在上的偶函数；
因为，
所以，
令，
则可转化为，
当时，，
当时，，
因为有两个零点，
一个在之间，另一个在之间，
可转化为有两个零点，
其中一个在之间，另一个在之间，
由二次函数根的分布有：
，即，无解；
所以不存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间；
因为，
所以，
令，
因为，
所以，
则，
的最小值即为的最小值，
当时，，在上单调递减，
所以此时最小值为，
当时，为二次函数，开口向上，对称轴为，
当时，即，在上单调递减，
所以，
当时，即，在上单调递减，上单调递增，
所以，
当时，即，在上单调递增，
所以，
综上所述，．
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