2.3.3 点到直线的距离公式 教学设计

课题：《点到直线的距离》
一、内容与内容解析
本节内容是“直线的方程 ”的最后一个内容，它是在研究了直线的方程和两直线 的位置关系的基础上，探索如何用坐标和方程来定量研究距离问题，既是对前面知识 体系的完善，又为后面研究直线与圆、圆与圆的位置关系奠定基础。具有承上启下的 作用。同时，教材通过让学生经历点到直线的距离公式的探究与应用过程，进一步体 会解析几何的本质：用代数方法解决几何问题。
二、 目标和目标解析
1、探索并掌握点到直线的距离公式，会求点到直线的距离。
2、经历点到直线的距离公式的探究与应用过程，体验用数形结合、转化、函数 等数学思想来解决数学问题的方法，形成用代数方法解决几何问题的能力；通过不同 形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高抽象概括，分析总结， 数学表达等基本数学思维能力。
3、通过师生互动、生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成 功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和 合作交流的科学态度。
重难点：
探索并掌握点到直线的距离公式，会求点到直线的距离。
三、教学过程分析
（一）情境设置，导入新课：
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的条件，两直线的交点问 题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节， 我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l 的距离。
用 POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的 位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求 学生思考一个点到一条直线的距离如何计算？能否用两点间距离公式进行推导？
（二）讲解新课：
1．提出问题
在平面直角坐标系中，如果已知某点 P的坐标为(x0, y0 ) ，直线l : Ax + By + C = 0
当A = 0 或B = 0 时，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l 的距离呢 当A ≠ 0 且B ≠ 0 时呢？学生可自由讨论。
2.数行结合，分析问题，提出解决方案
学生已有了点到直线的距离的概念，即点P到直线l 的距离d是点P到直线l 的垂 线段的长，当A = 0 或B = 0 时，问题容易解决。
这里重点讨论一般直线
定义法：根据定义，点 P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图 1，设点
P 到直线l 的垂线为l ' ，垂足为 Q，由l 丄 l ' 可知 l ' 的斜率为 l ' 的方程：y — y0 = 与 l 联立方程组
解得交点
B 2 x0 — ABy0 — AC 2 A2 y0 — ABx0 — BC 2
:| PQ |= | Ax0 + By0 + C |
A2 + B2
(
y
)P l Q l '
x
图1
函数法：点 P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线 l 的距离。在l 上取 任意点 Q（x, y）用两点的距离公式有
| PQ |2 = (x — x0 ) 2 + (y — y0 ) 2
为了利用条件 Ax + By + C = 0 上式变形一下，配凑系数处理得： (A2 + B 2 )[(x — x0 ) 2 + (y — y0 ) 2 ]
= A2 (x — x0 ) 2 + B2 (y — y0 ) 2 + A2 (y — y0 ) 2 + B2 (x — x0 ) 2 = [A(x — x0 ) + B(y — y0 )]2 + [A(y — y0 ) — B(x — x0 )]2
≥ [A(x — x0 ) + B(y — y0 )]2 ＝ (Ax0 + By0 + C)2 (: Ax + By + C = 0)
当且仅当 A(y — y0 ) — B(x — x0 ) = 0 时取等号，所以最小值就是
转化法：设直线 l 的倾斜角为 α,过点 P 作 PM∥y 轴交 l 于 M (x1, y1 )
显然x1 = x0 所以y1 = -
易得∠MPQ= α （图 2）
或∠MPQ＝ 180O —α （图 3）
在两种情况下都有 tan2 上MPQ = tan α =
(
y
) (
P
)l Q
M
x
图2
(
l
y
) (
P
)Q M
x
图3
三角形法：过点 P 作 PM∥y 轴，交 于 M，过点 P 作 PN∥x 轴，交 l 于 N（图 4）由解法
三知
同理得
在 Rt△MPN 中，PQ 是斜边上的高
(
y
)P
Q
M
l
图 4
N
x
这四种推导过程都比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力及意志品质等方面得到了 提高。
综上：点P(x0, y0 ) 到直线l : Ax + By + C = 0 的距离为
（三）典例导航
例 1 求点 P=（-1，2）到直线 3x=2 的距离。
解：
例 2 已知点 A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形 ABC 的面积。
解：设 AB 边上的高为 h，则 S △ABC = AB● h
AB 边上的高 h 就是点C 到 AB 的距离。 AB 边所在直线方程为
即 x+y-4=0。
点 C 到 X+Y-4=0 的距离为 h ，h= 因此，S △ABC =
通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步 体会用代数运算解决几何问题的优越性。
（四）拓展延伸
应用推导两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线l1 和l2 的一般式方程为l1 ：Ax + By + C1 = 0 ，
l2 ：Ax + By + C2 = 0 ，则l1 与l2 的距离为
证明：设P0 (x0, y0 ) 是直线Ax + By + C2 = 0 上任一点，则点 P0 到直线Ax + By + C1 = 0 的
(
新疆
王新敞
学案
)距离为 又 Ax0 + By0 + C2 = 0 即Ax0 + By0 = —C2 ， ∴d= ·
练习：求两平行线l1 ：2x + 3y — 8 = 0 ，l2 ：2x + 3y — 10 = 0 的距离.
解法一：在直线l1 上取一点 P( 4 , 0)，因为l1 ∥ l2 ，所以点 P到l2 的距离等于l1 与l2
的距离.于是d =
解法二：l1 ∥l2 又C1 = -8, C2 = -10 .
由两平行线间的距离公式得
（五） 目标检测：
已知一直线被两平行线 3x+4y-7=0 与 3x+4y+8=0 所截线段长为 3。且该直线过点 （2，3），求该直线方程。
（六）课堂小结 ：
(
新疆
王新敞
学案
)点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转 化为点到直线的距离公式。
（七）课后作业：
（1）求点 P（2，-1）到直线 2x ＋3y －3＝0 的距离。
（2）已知点 A（a ，6）到直线 3x - 4 y ＝2 的距离 d=4，求a 的值。
（八）教后反思
学生在解决问题的的过程中，由于课堂时间有限，学生讨论给出的方法在课堂上 不能一一实现，根据学生的认知水平，思路一学生很容易想到，所以从思路一入手进 行公式推导。其他方法作为课后研究性学习的作业，学生在课堂研究的基础上继续探 究，寻求更多的解决问题的方法，并用各种方法完成公式的推导，将该部分知识加以 升华。同时鼓励学生自己动手学写论文：《求点到直线的距离方法种种》，使学生将 课堂所学内容进一步认识和升华。