四川省凉山州2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

四川省凉山州 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知向量 = (1, 1)， = (2,0)，则2 =( )
A. ( 1, 1) B. (0,2) C. (0, 2) D. ( 2,0)
1
2.已知抛物线方程为 = 2，则它的焦点是( )
4
1 1
A. (1,0) B. (0,1) C. ( , 0) D. (0, )
16 16
3.已知 = ( 1,3), = ( , 1)，且 // ，则 等于( )
1 1
A. 3 B. 3 C. D.
3 3
4.从5，6，7，8，9这五个数中任选一个数字是偶数的概率是( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 5 5
5.已知 = 1 ，则| | =( )
A. 0 B. 1 C. √ 2 D. 2
6.已知直线 平面 ，直线 ⊥平面 ，则( )
A. // B. ⊥ C. 与 相交 D. 与 不相交
2 2
7.双曲线 = 1的焦距是( )
20 5
A. √ 15 B. 2√ 15 C. 5 D. 10
8.如图所示，正六边形 边长为1， 为中心，则| + | =( )
A.
B.
C. 1
D. 2
9.如果一组数据 1， 2，…， 的平均数是2，那么 1 + 1， 2 + 1，…， + 1的平均数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10.“ 1 = 0”是( 1)( + 2) = 0的( )条件．
A. 充分必要 B. 必要而不充分 C. 充分而不必要 D. 既不充分也不必要
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11.已知( )2 = 2 ，其中 是虚数单位，则实数 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
12.已知 = ( 2,6)， = (6, )，且 ⊥ ，则 等于( )
A. 6 B. 6 C. 2 D. 2
13.已知向量 = ( 2,1)，向量 = (3, 4)，则 与 + 的夹角为( )
3
A. B. C. D.
4 3 2 4
2 2 1
14.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 , 1, 2分别为 的左、右顶点， 为 的上顶点.若 2 1
2 = 2，则椭圆 的方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
16 12 8 6 4 3 2 3
15.如图，正三棱柱 1 1 1的各棱长(包括底面边长)都是2， ， 分别是 ， 1 1的中点，则 与
侧棱 1 所成的角的余弦值是( )
√ 5 2√ 5 1
A. B. C. D. 2
5 5 2
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。
16.已知 = (1,4)， = (2,3)，则 = ______．
17.已知复数 的实部为√ 3，且| | = 2，则复数 的虚部为______．
18.抛物线 2 = 4 上一点 到焦点的距离为5，则点 的坐标为______．
19.已知动点 和两定点 (0, 5)， (0,5)，且满足| | | | = 6，则点 的轨迹方程是______．
2 2
20. 是椭圆 + = 1上一点， 1， 2分别为椭圆的左、右焦点，且∠ 1 2 = 90°，则△ 1 2的面积为9 4
______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题10分)
已知椭圆的一个焦点为( 2,0)，一个顶点为(0,3)，求椭圆的标准方程．
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22.(本小题12分)
已知向量 = (1, )， = ( 1, √ 3)，且2 与 垂直．
(1)求 的值；
(2)求 与 的夹角< ， >.
23.(本小题12分)
(1)方程 2 + = 0( ∈ )有一个根为1 + 2 ，求实数 的值；
(2)方程 2 4 + = 0有一个根为1 + 2 ，求 的值．
24.(本小题12分)
2 2 14
已知双曲线与椭圆 + = 1共焦点，它们的离心率之和为 ，求：
9 25 5
(1)双曲线的标准方程；
(2)双曲线的渐近线方程．
25.(本小题12分)
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，点 ( 2, )为抛物线上的点，且点 到焦点的距离为6，求抛物线
的标准方程．
26.(本小题12分)
如图，将边长为 的正方形 沿对角线 对折，使点 ， 的距离为 ，求：
(1)二面角 的大小；
(2)三棱锥 的体积．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】14
17.【答案】±1
18.【答案】(±4,4)
2 2
19.【答案】 = 1( > 0)
9 16
20.【答案】4
21.【答案】解：由题意，椭圆的焦点在 轴上，且 = 2， = 3，
2 2
∴ = √ 13，∴椭圆的标准方程为 + = 1．
13 9
22.【答案】解：(1) ∵ = (1, )， = ( 1, √ 3)，
∴ 2 = (3,2 √ 3)，
∵ 2 与 垂直，
∴ 3 + 2√ 3 3 = 0，
∴ = √ 3；
(2) ∵ = 1 + 3 = 2，
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2 1
∴ cos < ， >= = = ，
| || | √ 1+3×√ 1+3 2
∵ 0° ≤< ， >≤ 180°，
∴< ， >= 60°．
23.【答案】解：(1)方程 2 + = 0( ∈ )有一个根为1 + 2 ，
则(1 + 2 )2 (1 + 2 ) + = 0，即 3 + 4 2 + = 0，即 3 + + (4 2 ) = 0，
3 + = 0 = 5
故{ ，解得{ ，
4 2 = 0 = 2
故实数 的值为5；
(2)方程 2 4 + = 0有一个根为1 + 2 ，
则(1 + 2 )2 4(1 + 2 ) + = 0，即 3 + 4 4 8 + = 0，
故 = 7 + 4 ．
2 2
24.【答案】解：(1)椭圆 + = 1的焦点位于 轴，
9 25
则 = 5， = 3，故 = 4，
4
故椭圆的离心率为 = = ，焦点为(0, ±4)，
5
2 2 14
双曲线与椭圆 + = 1共焦点，它们的离心率之和为 ，
9 25 5
则双曲线的焦点为(0, ±4)，离心率为2，
2 2
设双曲线的方程为
2
2 = 1( > 0, > 0)，
2 + 2 = 16
故{ 4 ，解得 2 = 4， 2 = 16，
= 2

2 2
故双曲线的方程为 = 1；
4 12
2 2
(2)双曲线的方程为 = 1，
4 12
2 2 √ 3
令 = 0，解得 = ± ，
4 12 3
√ 3
故双曲线的渐近线方程为 = ± ．
3

25.【答案】解：由已知，抛物线开口向左，设其方程为 2 = 2 ， > 0，则准线方程为 = ，
2

由抛物线的定义知，点 ( 2, )到焦点的距离是 + 2 = 6，所以 = 8，
2
所以抛物线的方程是： 2 = 16 ．
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26.【答案】解：(1)连接 ，与 相交于点 ，
因为正方形
√ 2
，所以 ⊥ ，且 = = ，
2
翻折后， ⊥ ， ⊥ ，
所以∠ 即为二面角 的平面角，
在△
√ 2
中， = = ， = ，
2
所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
所以∠ = 90°，
故二面角 的大小为90°．
(2)由(1)知 ⊥ ， ⊥ ，
因为 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
所以三棱锥 的体积 1 1 √ 2 1 √ 2 = = △ =
2 = 3．
3 3 2 2 12
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