2.2 基本不等式 教学设计

基本不等式
一、教材分析
本节课内容为“基本不等式 ”，选自人民教育出版社 A 版普通高中数学教科书必修第一 册第二章《一元二次函数、方程和不等式》第 2 节。“基本不等式 ”重点研究基本不等式的 证明，并且将之应用于证明、最值问题，是理论数学与应用数学结合的良好典范，体现了新 课标所要求的培养学生创新精神及数学应用的意识。本节内容一定程度上是不等关系与相等 关系的运用，也是系统学习不等式证明的基础，基本不等式在证明其他不等式的过程中起到 了重要的桥梁作用。
二、学情分析
学生已经学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，对于基本不 等式的学习是比较容易的；但是，要真正地理解基本不等式，并能够结合几何中的实例，学 会分析问题、解决问题是学生需要突破的一个难点。
三、教学目标
（1）通过生活实例、代数证明、几何意义等环节，感知基本不等式的形成过程；让学 生经历基本不等式的发现、探究与证明的过程，培养观察、分析、归纳、推理能力。
（2）理解基本不等式的形式及其等号成立的条件，从几何角度对基本不等式进行探究， 理解、建立基本不等式求最值的模型。
（3）掌握基本不等式求最值的基本原理，感受数学公式的简洁美，体会数学的应用价 值，培养学生的逻辑推理、数学建模等核心素养。
四、教学重点、难点
重点：经历基本不等式的证明过程，理解与运用基本不等式。
难点：理解基本不等式的形成过程。
五、课型课时、教学准备
1. 课型：新授课；
2. 课时：1 课时
3. 教学准备：多媒体、实物投影、展台等.
六、教学流程图
(
创设情境，发现问题
)
↓
合作交流，生成新知
↓
(
师生共探，证明新知
)
↓
运用新知，解决问题
(
↓
)
当堂检测，巩固新知
↓
(
反思小结，观点提炼
)
2 分钟
8 分钟
10 分钟
15 分钟
5 分钟
5 分钟
七、教学内容及过程
（一）创设情境，发现新知
【地主分地的故事】地主家有两个儿子，为了分家产，他分给大儿子一块长方形的地，分给 小儿子一块正方形的地，这两块地的周长相同。问：这样分家公平吗？
设计意图：通过生动有趣的小故事，渲染课堂气氛，调动学生学习的积极性，同时引出课 题。
（二）合作交流，生成新知
问题 1. 上一节我们通过赵爽的弦图得出了一个 重要不等式：a2 + b2 ≥ 2ab(a ,b ∈ R) ，当且仅当 a = b 时，等号成立。那么，当 a>0,b>0 时，我们
用 · 、 ·分别代替上式中的 a ，b ，上述不等关系变为什么？
师生活动：老师提出问题 1 让学生思考，学生演算后让学生口头回答，老师再给出基本不等
式的概念，接着老师引导学生分析基本不等式的结构特征，给出算术平均数与几何平均数的 概念。
追问 1. 如何用一句话概括基本不等式表达的意义？
学生：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 追问 2. 为何规定 a>0，b>0 ？
师生活动：学生小组讨论后回答，老师予以补充说明。 追问 3. 等号在什么情况下成立？
学生：当且仅当a=b 时等号成立。
追问 4. 如何理解“当且仅当 ”的意义？
师生活动：学生口头回答后，老师予以补充说明。
设计意图：通过对基本不等式结构特征的解读，让学生加深对基本不等式的记忆和理解， 同时强调基本不等式应用的前提及等号成立的条件，为后续应用基本不等式求最值做铺垫。
（三）师生共探，证明新知
问题 2. 我们从赵爽弦图得到了重要不等式，又通过代换得到了基本不等式。数学讲究严谨 性，请同学们想一想，可以用什么方法证明基本不等式呢？
追问 1. 基本不等式实质上就是比较大小，以前学习的比较大小的方法都有哪些 你会用这些 方法证明基本不等式吗？
师生活动：
学生：作差法
教师：请大家拿出演草纸，尝试用作差法证明。
学生：在纸上演算。
教师：PPT 展示答案。
学生：在学案上整理证明过程。
追问 2. 除了以上的方法，你还能用其它的方法证明吗？ 学生：作商法
教师：很好。关于作商法证明，请大家在课后尝试一下，看看这道题用作商法证明方便 吗？下面，我给出一种证明方法。我们可以从要证明的结论出发，利用不等式的性质，逐步 寻找使得结论成立的条件。（PPT 展示证明过程）
教师：我们把这种证明方法称为分析法。
追问 3. 分析法事实上就是寻找结论成立的什么条件？
学生：充分条件。
教师：不错！分析法的实质就是从结论出发，逐步探寻使得结论成立的充分条件，因此分析 法也称为执果索因法。
问题 3. 以上的方法都是从代数的角度证明的，你能从几何的角度解释基本不等式吗？ 师生活动：
教师：因为这个问题稍微困难些，我给大家提示一下（PPT 展示如下：）
学生：先独立思考，然后小组交流合作，讨论。
教师：现在请一个组同学来回答一下你们组的讨论结果。 学生：上讲台展示小组讨论的结果。
教师：非常不错！给他掌声。
追问 1. 在什么情况下OD 与 CD 的长相等？ 学生：当 O 点与 C 点重合时。
追问 2. O 点与 C 点重合也即a 和 b 满足什么条件时等号成立？
学生：当 a=b 时。 教师：非常不错！
设计意图：通过圆的半径和半弦长之间的关系，让学生理解基本不等式的几何意义，加深 对知识的理解和掌握， 同时进一步强调了等号成立的条件，体现了数形结合的思想，培养 学生直观想象的核心素养。
（四）运用新知，解决问题
问题 4. 同学们有没有思考一下，我们为何要学习基本不等式？它能帮助我们解决哪些问 题？
师生活动：
教师：首先，请大家看到学案上的例 1 ，请同学们拿出纸笔，尝试解决。
例 1. 已知 x > 0 ，求 x + 的最小值，此时 x 等于多少？
学生：在纸上演算。
教师：投影展示学生答卷，并进行点评。 学生：在学案上整理解答过程。
追问 1. 怎么理解 5 就是 x + 的最小值？能否说 3 也是 x + 的最小值？
师生活动：
学生：独立思考后口头回答。
教师：对学生的回答进行补充说明。
设计意图： 学生还未系统学习最大最小值的定义，如何让学生明确 5 即是 x + 的最
小值是个难点， 因此老师需要下功夫突破这个难点，在知识应用的同时，又创设出新的问 题情境，培养学生发现问题、提出问题的意识。这样的设计，使得整个教学环环相扣，既 使得学生的思维得到不间断的螺旋式上升，又提高了课堂效率。 同时也是培养学生数学抽 象，逻辑推理核心素养的一个很好的机会。
教师：接下来再请大家看到学案上的变式 1 ，先独立思考，然后小组合作讨论。
变式 1 ： 已知 x < 0 ，求 x + 的最大值，此时 x 等于多少？
学生：在纸上演算，碰到问题再讨论。
教师：下面我们一块来看一下这道题。（老师板演，给出规范的解答过程）
学生：在学案上整理解答过程。
追问 2. 通过例 1 和变式 1 ，大家想想基本不等式的主要作用是啥？使用时需要注意什么？
设计意图：强调基本不等式求最值的要点：一正二定三相等。
追问 3. 请同学们继续完成学案上的变式 2 ，有疑问的可以小组交流一下。
变式 2 ：已知x > 3 ， x + 4 有最小值吗？请说明理由。
x
师生活动：
学生：在学案上演算。
教师：请一个同学口头回答，并进行点评。
设计意图：进一步强调等号成立的条件，加深学生印象。
教师：请同学们继续做学案上的例 2 ，并归纳出一个一般性的结论。 例 2. 已知 x, y 都是正数，求证：
（1） 如果积 xy 等于定值P ，那么当 x = y 时，和 x + y 有最小值 2 ·P ；
（2） 如果和 x + y 等于定值 S ，那么当 x = y 时，积 xy 有最大值S2
师生活动：
学生：在学案上演算。
教师：投影展示学生答卷，并进行点评。
追问 1. 通过例 2 ，你能归纳出一个一般性的结论吗？ 师生活动：
学生： 口头回答。
教师：PPT 展示结论。
设计意图：通过例 2 ，让学生明确“和定积最大，积定和最小 ”的结论，为下一个问题做铺 垫。
追问 2. 至此，你能回答课堂引入时那个小故事的问题了吗？ 师生活动：
学生：因为田地的周长相同，相当于长和宽的和为定值，那么当长和宽相等也即田地为 正方形时，面积最大。
教师：非常好！给他点掌声。
设计意图：首尾呼应，环环相扣，同时回归主题。
（五）反思小结，观点提炼
设计意图：帮助学生回顾课堂的活动过程， 引导学生从基础知识、基本技能、基本思想方 法中总结，使其对本节课的学习有完整的认识，有利于学生知识结构的构建，培养他们归 纳、概括的能力，从而提升学生的数学学习能力。
（六）当堂检测，巩固新知
1. 已知 x, y > 0
（1）如果xy = 2, 求 x + y 的最小值； （2）如果x + y = 2 ，求 xy 的最大值
(
2
1
)2. 当 x 取什么值时， x + 2 取到最小值？最小值是多少？
x
【作业布置】
（1）习题 2.2 A 组 1 、2；
（2）整理学案。
八、板书设计
基本不等式 1. 重要不等式： 例 1 a 2 + b 2 ≥ 2ab(a , b ∈ R ) 2. 基本不等式： 变式 1 3. 应用：求最值 注意：一正，二定，三相等 小结
九、教学反思
本节课是一节数学概念课，数学概念教学的本质是引导学生感知概念的生成过程，让学 生经历知识的发现、探究与证明的过程，培养观察、分析、归纳、推理能力。本节课的设计 是以发展学生的核心素养为宗旨，遵循学生的认知规律，在探索的过程中渗透核心素养的培 养， 以学生的终身发展为目的，落实教学提质增效。
在整个教学设计中，笔者通过“引导发现一问题探究一形成结论”的教学环节有效地渗透 核心素养，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程，落实“四基”，培养“四能”， 提高学生数学学科核心素养的整体水平，部分学生可以达到更高水平的要求，真正实现以学 生发展为本的教育理念。
不足之处：
（1）学生的主体地位体现得还不够，提出问题后要给足学生思考的空间，让学生自己去探 究，发现。
（2）设置开放性问题，让学生去探究，培养数学核心素养。