江苏省镇江实验高级中学2024-2025学年高一上学期期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

江苏省镇江实验高级中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学模拟试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = {0,1,2,3,4,5}，集合 = {0,1,5}， = {0,2,3,5}，则 ∩ ( ) =( )
A. {2,3} B. {1,4} C. {0,5} D. {0,2,3,4,5}
2
2.“ ≥ 0”是“|2 1| ≥ 3”的( )
+1
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1
3.函数 ( ) = 3 + 5的一个零点所在的区间是( )
3
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

4.函数 ( ) = 的图象大致是( )
1 2
A. B.
C. D.
5.在周长为定值 的扇形中，面积最大时扇形的半径为( )

A. B. C. D.
2 3 4 5
1 2√ 2 3
6.已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 ( , )，那么cos(
3 3 2
)等于( )
2√ 2 1 1 2√ 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
( + 3) + + 3, > 1
7.函数 ( ) = { 是增函数，则实数 的取值范围为( )
2 + (1 ) , ≤ 1
A. ( 3, 2] B. ( 3, 1] C. [ 2, 1] D. ( 2, 1]
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8.已知函数 ( ) = 4 4 ，若函数 ( )在区间[ , ]上的值域为[ (4 1), (4 1)]，则实数 的取值
范围是( )
A. (0, +∞) B. ( ∞, 2) ∪ (2, +∞)
C. (1,2) ∪ (2, +∞) D. (1, +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.已知 ∈ (0, )， + = ，则下列结论正确的是( )
5
3 3 7
A. ∈ ( , ) B. = C. = D. =
2 5 4 5
10.下列说法正确的是( )
A. 若函数 (√ + 1) = + 2√ ，则 (1) = 0
B. 若函数 ( + 1)的定义域为[ 1,1]，则函数 ( )的定义域为[ 2,0]
1 1
C. 2 = 9 = 6，则 + = 1
2
1
D. 已知 > 0， > 0， + = 1，则 + 的最小值为3

11.设函数 ( )的定义域为 ， ( + )为奇函数， ( + 2 )为偶函数.当 ∈ [0, ]时， ( ) = ，则下列
结论正确的有( )
5 7
A. ( ) = 1 B. ( )在(3 , )上单调递减
2 2
C. 点(8 , 0)是函数 ( )的一个对称中心 D. 方程 ( ) + = 0有5个实数解
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.函数 = (2 + )的定义域是 ．
3
13.已知函数 ( ) = ( 21 4 5)，则函数 ( )的单调递减区间是______．
2
, ≤ 1,
14.对实数 和 ，定义运算“◎”： ◎ = { 设函数 ( ) = 2 2◎( + 2)， ∈ .若函数 = ( )
, > 1,
的图象与 轴恰有2个公共点，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知全集为 ，集合 = { | 2 + < 2}， = { | 1 < 2 + < 4}．
(1)当 = 1时，求 ∪ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求 的取值范围．
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16.(本小题12分)
求值
8 19
(1) 300° cos( ) + 225° + sin 2025 ；
3 6
3
(2) 9 + 2 234 2 + 23 34． 32
17.(本小题12分)
1
(1)已知cos( + ) = ， 为第一象限角，求cos( + )的值．
2 2
1 5 2
(2)已知cos( ) = ，求cos( + ) sin( )的值．
6 3 6 3
18.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = (log3 )
2 log 23 3， ∈ [ , 9]． 3
(1)当 = 0时，求函数 ( )的值域；
(2)若函数 ( )的最小值为 6，求实数 的值．
19.(本小题12分)
为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产
20 2 21 + 332,0 < 2,
千台智能按摩椅，获利 ( )千元，且 ( ) = { 80 更新技术后需要另外投入费用( +
492 21 , 2 < 5.
1
2)千元，且每千台按摩椅比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完．
(1)求更新技术后的利润 ( )(千元)关于年产量 (千台)的函数解析式；
(2)更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】

12.【答案】{ | ≠ + , ∈ }
2 12
13.【答案】(5, +∞)
7 9
14.【答案】[2, ) ∪ [ ，+∞)
2 2
15.【答案】解：(1)解不等式 2 + < 2，得 2 < < 1，则 = { | 2 < < 1}，
3
当 = 1时， = { | 1 < < }，
2
3
所以 ∪ = { | 2 < < }．
2
1 4
(2)依题意， = { | < < }， ≠ ，
2 2
由存在实数 使“ ∈ “是“ ∈ “的充分不必要条件，得 ，
1
≥ 2
因此{ 2 ，其中等号不能同时取到，解得2 ≤ ≤ 3，
4
≤ 1
2
所以实数 的取值范围是{ |2 ≤ ≤ 3}．
8 1
16.【答案】解：(1)原式= 60° cos + 45° sin 0
3 6
√ 3 1 1 √ 3
= + + 1 = 1 ．
2 2 2 2
(2)原式= 2223 ( 23 232) + 3 + 23 2 32
= 23 23 + 22
5 + 3 + 2 = 10．
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1
17.【答案】解：(1) ∵ cos( + ) = = ，
2
1
∴ = ，
2
又 为第一象限角，

∴ cos( + ) =
2
= √ 1 cos2
1
= √ 1 ( )2
2
√ 3
= ；
2
1
(2) ∵ cos( ) = ，
6 3
5 2
∴ cos( + ) sin( ) = cos[ ( )] sin[ ( + )]
6 3 6 3

= cos( ) sin( + )
6 3
1
= sin[ ( )]
3 2 6
1
= cos( )
3 6
1
= ．
9
18.【答案】解：(1)当 = 0时， ( ) = (log3 )
2 3，
1
∵ ∈ [ , 9]，∴ log3 ∈ [ 1,2]， 3
则(log3 )
2 ∈ [0,4]，
即 ( ) = (log 23 ) 3 ∈ [ 3,1]，即 ( )的值域为[ 3,1]．
(2)设 = log3 ，
1
∵ ∈ [ , 9]，∴ log3 ∈ [ 1,2]，即 ∈ [ 1,2]， 3
则 ( )等价为 = 2 2 3，对称轴为 = ，
若 ≤ 1，则函数在[ 1,2]上为增函数，
则当 = 1时，函数取得最小值 6，即1 + 2 3 = 6，得2 = 4，得 = 2;
若 ≥ 2，则函数在[ 1,2]上为减函数，
7
则当 = 2时，函数取得最小值 6，即4 4 3 = 6，得4 = 7，得 = ，此时 不存在;
4
若 1 < < 2，当 = 时，函数取得最小值 6，
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即 2 2 2 3 = 6，即 2 = 3，得 = √ 3或 = √ 3(舍)，
综上 = 2或 = √ 3．
19.【答案】解：(1)根据题意，可得 ( ) = ( ) ( + 2) + 2 ，
20 2 21 + 332,0 < ≤ 2 20 2 20 + 330,0 < ≤ 2
结合{ 80 ，可得 ( ) = { 80 ；
492 21 , 2 < ≤ 5 490 20 , 2 < ≤ 5
1 1
80 80 80
(2)当2 < ≤ 5时， ( ) = 490 20 = 490 [ + 20( 1) + 20] ≤ 470 2√ 20( 1) =
1 1 1
390，
80
当且仅当 = 20( 1)，即 = 3时， ( ) = 390； 1
2 1当0 < ≤ 2时， ( ) = 20 20 + 330 = 20( )2 + 325，
2
由二次函数的性质，可知当 = 2时， ( ) = 370．
因为370 < 390，所以 ( )的最大值为390，
综上所述，当产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元．
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