2024-2025学年高二数学第一学期期末考前押题卷
（范围：选择性必修1+数列）
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则( )
A. B. C. D.
2.空间四边形中，，，，且，，则( )
A. B.
C. D.
3.过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知公差不为零的等差数列中，，，，成等比数列，则等差数列的前项和为 ( )
A. B. C. D.
5.已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
7.在圆幂定理中有一个切割线定理：如图所示，为圆的切线，为切点，为割线，则如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的任意一点，过点作直线垂直于点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，设，为数列的前项和．若对恒成立，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列关于空间向量的命题中，正确的是( )
A. 若非零向量，，满足，，则有
B. 任意向量，，满足
C. 若，，是空间的一组基底，且，则四点共面
D. 已知向量，，若，则为锐角
10.已知曲线，则下列结论正确的是( )
A. 若曲线是椭圆，则其长轴长为 B. 若，则曲线表示双曲线
C. 曲线可能表示一个圆 D. 若，则曲线中过焦点的最短弦长为
11.在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有( )
A. 平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 若是的中点，若是的中点，则到平面的距离是
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且与圆相切的直线方程为__________．
13.已知正项数列中，，，，则数列的前项和为_________．
14.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是_____________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题3分
如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
若，求的值；
求线段的长．
16.本小题分
已知斜率且过点的直线与直线：相交于点．
求以点为圆心且过点的圆的标准方程；
求过点且与中的圆相切的直线方程．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且，在数列中，，．
求数列，的通项公式； 记求．
18.本小题5分
如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，，分别为，的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为．
求证：平面
求点到平面的距离
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出线段的长若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为．
求椭圆的标准方程；
设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为若为一动点，点满足 试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．2024-2025学年高二数学第一学期期末考前押题卷
（范围：选择性必修1+数列）
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间向量的模的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
求出，由此能求出．
【解答】
解：，，
，
则．
故选：．
2.空间四边形中，，，，且，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理，属于基础题．
根据空间向量的线性运算解决即可．
【解答】
解：由题知，空间四边形中，，，，且，，
如图，
所以，
所以，
故选：．
3.过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了直线系的应用、圆的方程、点到直线的距离公式，中档题．
直线过定点，点，的中点，由垂直直线，得到点在以点为圆心，以为半径的圆：上，由此能求出到直线的距离最小值．
【解答】解：过点作直线的垂线，垂足为，
直线过定点，
点，的中点，
垂直直线，
点在以点为圆心，
以为半径的圆上，
其圆的标准方程为：，
圆心到直线点距离：
．
到直线的距离最小值为：．
故选：．
4.已知公差不为零的等差数列中，，，，成等比数列，则等差数列的前项和为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力．
设等差数列的公差为，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】
解：公差不为零的等差数列中，，
可得，即，即，
，，成等比数列，可得，即，
解方程可得，，
前项和，
故选：．
5.已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查求圆的标准方程以及圆的切线方程，直线的点斜式方程，两条直线垂直的判定，属于基础题．
首先求的值，然后求圆心坐标，接着求圆心与点连线的斜率，最后求圆在点处的切线方程．
【解答】
解：因为圆经过点，
将点代入圆的方程可得：，
即，所以，
则圆的方程为，
所以此圆的圆心，
根据斜率公式得 ，
因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，
已知，所以点处切线的斜率为，
又因为切线过点，
所以切线方程为，
整理得．
故选：．
6.已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．设，，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得，，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值．
【解答】
解：设，，为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得，，
解得，，
在三角形中，，
可得，
即有，
可得，
即为，
由，可得，
故选A．
7.在圆幂定理中有一个切割线定理：如图所示，为圆的切线，为切点，为割线，则如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的任意一点，过点作直线垂直于点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，向量数量积的运算，利用余弦定理解三角形，属于较难题．
先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案．
【解答】
解：连接，
在中，因为是的中点，点是圆上的任意一点，
所以，平方得，
将代入可得
，
因为，所以，
所以，
在，，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
故选：．
8.已知数列满足，设，为数列的前项和．若对恒成立，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了数列的通项公式、数列的递推关系以及等比数列的求和求得首项和时，数列的通项，可得的通项公式，由等比数列的求和公式可得，再由不等式的性质可得的范围，进而得到所求最小值．
【解答】
解：，
，
，即，
当时，
数列是从第二项起的等比数列，
则前项和为：
，又，
可知随着的增大，越来越接近，所以最小值为，
故选D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列关于空间向量的命题中，正确的是( )
A. 若非零向量，，满足，，则有
B. 任意向量，，满足
C. 若，，是空间的一组基底，且，则四点共面
D. 已知向量，，若，则为锐角
【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了空间向量基本定理，空间向量平行及四点共面问题以及空间向量的夹角 ，属于基础题．
根据空间向量的平行和垂直关系判断；根据空间向量的数量积运算判断；根据空间向量基本定理，及四点共面问题判断根据空间向量的夹角判断．
【解答】
解：，若非零向量，，满足，，则，不一定平行，故A错误；
， ， 不一定共线，则 不一定成立，故B错误；
，若、、是空间的一组基底，且，
则，即，
则，，，四点共面，故C正确；
D、，，
若 ，则 ，可得 ，
若 共线，则 ，解得 ，
即当 时， 不共线，
为锐角，故D正确；
故选：．
10.已知曲线，则下列结论正确的是( )
A. 若曲线是椭圆，则其长轴长为
B. 若，则曲线表示双曲线
C. 曲线可能表示一个圆
D. 若，则曲线中过焦点的最短弦长为
【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查椭圆，双曲线，圆的概念及标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
先根据的符号以及与的关系可得曲线的类型可分析，，选项，之后联立直线和椭圆的方程，运用韦达定理结合弦长公式可分析选项．
【解答】
解：由题意：
若，根据双曲线的定义可知曲线表示双曲线，选项B正确
因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
故曲线不可能表示一个圆，选项C错误
若曲线是椭圆，则，
因为，
所以椭圆的焦点在轴上，
故其长轴长为，选项A错误
若，则曲线为椭圆，方程为，焦点坐标为，
当过焦点的直线斜率为时，此时该直线截椭圆的弦长为；
当过焦点的直线斜率不为时，不妨设该直线过椭圆的右焦点，方程为，与椭圆的两个交点分别为，
由，可得，
则有
，
当时，上式不等式可取等号，即，
综上，可知椭圆中过焦点的最短弦长为．
选项D正确．
故选BD．
11.在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有( )
A. 平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 若是的中点，若是的中点，则到平面的距离是
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查线面平行的向量表示，点面、线面、面面距离的向量求法，直线与直线所成角的向量求法，直线与平面所成角的向量求法，属于较难题．
建立空间直角坐标系，运用空间向量依次解决问题．
【解答】
解：直三棱柱 中， ，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，
， ， 分别是，的中点，
，，，，，，
设，，
对于， 为平面的一个法向量， ，
则，
不在平面内，
平面 ，故A正确；
对于， 为平面 的一个法向量， ，
设直线与平面 所成角为，
则 ，故B错误；
对于，当 是上的中点时，，，可得， ，设平面的法向量为，
则 ，解得，，设到平面的距离为，
则，故C正确；
对于，设，
则， ，
设直线与直线 所成角为，
则 ，
当 ，即 时， 取最大值，此时直线与直线所成角最小，
， ，故D正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且与圆相切的直线方程为__________．
【答案】或
【解析】【分析】
本题主要考查了圆的切线方程和点到直线的距离公式以及直线的斜率等知识点，属于基础题．
根据题意分斜率存在和不存在两种情况分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程．
【解答】
解：当，时，，所以点在圆外，
由标准方程可知，圆心为，半径为，
当所求切线斜率不存在时，方程为，
圆心到该直线的距离为和半径相等，所以是所求切线；
当所求切线斜率存在时，设斜率为，则切线方程为，
即，圆心到直线的距离，解得，所以切线方程为，
综上所述，切线方程为或；
故答案为或．
13.已知正项数列中，，，，则数列的前项和为_________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的判定或证明，等差数列的通项公式，裂项相消法求和，属于较难题．
由题可得，可知数列是首项为，公差的等差数列，得到数列的通项公式，进而得到，即可得到数列的通项公式，再利用裂项相消法得到数列的前项和为 ，即可求出数列的前项和．
【解答】
解：由，得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以数列的前项和为 ，
令，则．
故答案为．
14.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】【分析】
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，涉及函数的单调性．
设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，由条件可得，，再由椭圆和双曲线的定义可得，，，运用三角形的三边关系求得的范围，再由离心率公式得到关于的函数表达式，利用函数的单调性，进而根据的范围求得所求范围．
【解答】
解：设椭圆和双曲线的半焦距为，椭圆的半长轴长为，双曲线的半实轴长为．
，，
由于是以为底边的等腰三角形．
若，即有，，
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
即有，，，
再由三角形的两边之和大于第三边，可得，
可得，即有．
由离心率公式可得
，
其中．
令，
由于是上的单调增函数，
是上的单调减函数，
是上的单调增函数，
又，，
又，且趋近于时，趋近于，
的取值范围是，
即的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题3分
如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
若，求的值；
求线段的长．
【答案】解：，
；
，
．
．
【解析】本题考查空间向量基本定理及空间向量的加法、减法与数量积运算，属于拔高题目．
确定基底，利用空间向量的加减运算得出即可；
确定基底，利用空间向量的数量积运算得出即可．
16.本小题分
已知斜率且过点的直线与直线：相交于点．
求以点为圆心且过点的圆的标准方程；
求过点且与中的圆相切的直线方程．
【答案】解：：即，：；
由，得，即．
因为，所以；
所以圆的方程为：；
因为点在圆上，设过点圆的切线方程为，
当斜率不存在的时候，符合题意，
当斜率存在，可设为，
则的方程为即，
点到直线的距离为，
即，
即所求直线的方程为，
所以过点圆的切线方程为方程或．
【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键，属于中档题．
先根据已知条件求出的方程，与直线联立求出圆心；再结合过点求出半径即可求出结论．
由圆的方程找出圆心坐标与半径，分两种情况考虑：当过的切线斜率不存在时，直线满足题意；当过的切线斜率存在时，设为，由坐标表示出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出此时切线方程，综上，得到满足题意圆的切线方程．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且，在数列中，，．
求数列，的通项公式； 记求．
【答案】解：由，得，
两式相减得，即，
又，，
是以为首项，为公比的等比数列，
，
也符合，故，
，，
是以为首项，为公差的等差数列，
；
，
，
由得：，
，
．
【解析】本题考查了数列的递推关系，等差数列和等比数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和，属于中档题．
由，得，两式相减得，即，从而得出是以为首项，为公比的等比数列，得出的通项公式；通过，可得出是以为首项，为公差的等差数列，得出的通项公式；
依题意，，
则，由 ，结合等比数列的求和公式经过化简可得出结果．
18.本小题7分
如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，，分别为，的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为．
求证：平面
求点到平面的距离
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出线段的长若不存在，请说明理由．
【答案】证明：因为平面，
以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，可求得，
则，，，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
所以，又因为平面，
所以平面
解：由知，，，
所以点到平面的距离为
解：假设上存在点满足条件，，
则，，
设直线与平面所成角为，
由题意可得，
，，
化简得，则或，
即存在点符合题意，此时或．
【解析】本题考查的是利用空间向量证明线面平行，点到平面的距离和线面角．
建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，论证即可；
结合可得点到平面的距离为即可得出答案；
假设假设上存在点满足条件，，再结合向量的夹角公式，即可求解．
19.本小题分
已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为．
求椭圆的标准方程；
设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为若为一动点，点满足 试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．
【答案】解：抛物线的焦点为，
过垂直于轴的直线截所得的弦长为，
所以，解得，
所以，
又椭圆的离心率为，
，
椭圆的方程为；
设，，，
则由，
得 ， ，
点在椭圆上，
所以， ， ，
故
，
设分别为直线的斜率，
由题意知， ，
因此，
所以，
所以点是椭圆上的点，
由知，又 ，
，
恰为椭圆的左、右焦点，
由椭圆的定义，为定值．
【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆锥曲线相交弦长问题，圆锥曲线中的定值问题，涉及向量的几何应用和坐标运算，属于难题．
根据题意得到，再由直线截所得的弦长为，进而得到，即，结合椭圆的离心率为，求出，即可得到椭圆的方程；
设，，，由，得 ，，再根据点在椭圆上，结合直线的斜率之积为，得到，进而知点是椭圆上上的点，利用求出，再根据由椭圆的定义，可知为定值．2024-2025学年高二第一学期期末考前押题卷
数学 答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空题（请在横线上作答）
12 13 14
三、解答题（请在指定区域内作答）
15.本小题分
16本小题分
17.本小题分
18.本小题分
19.本小题7分
1
