吉林省白城市第一中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

吉林省白城市第一中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.半径为2 的圆上的一条弧长为6 ，则此弧所对圆心角的弧度数是( )
A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 12
1 2 1
2.已知函数 ( ) = ，若对任意的正数 ， ，满足 ( ) + (2 2) = 0，则 + 的最小值为( ) +1
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
1 7
3.已知函数 ( )是定义域为 的奇函数，且 ( ) = (4 )，当 2 ≤ < 0时， ( ) = ，则 ( ) =( )
2
2 2
A. 2 B. C. D. 2
7 7
4.二次函数 = 2 + + 的图象如图所示，与 轴左侧交点为( 1,0)，
对称轴是直线 = 1.下列结论：
① > 0；
②3 + > 0；
③( + )2 2 < 0；
④ + ≤ ( + )( 为实数)．
其中结论正确的为( )
A. ①④
B. ②③④
C. ①②④
D. ①②③④
1
5.给出下列四个函数：① = 2 + 1；② = √ ；③ = ；④ = | |.其中在区间(0,+∞)上是减函数

的是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
6.设集合 = { 2,1}， = { | 2 = 0}，则 ∩ =( )
A. { 2,1,0} B. { 2} C. {1} D. {0}
1
7.已知函数 ( ) =
1+2
，则对任意实数 ，有( )
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A. ( ) + ( ) = 0 B. ( ) ( ) = 0
1
C. ( ) + ( ) = 1 D. ( ) ( ) =
3
1
8.已知圆锥的体积为 ，其中 为圆锥的底面积， 为圆锥的高．现有一个空杯子，盛
3
水部分为圆锥(底面半径为3 ，高为6 )，现向杯中以6 / 的速度匀速注入水，则
注水 (0 < < 5) 后，杯中水的高度为( )
3 9
A. √

3 18
B. ．√

3 9
C. ．2√

3 3
D. ．2√

二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A. ∈ ， 2 + 2 + 1 ≥ 0 B. ∈ ，2 为偶数
C. 所有菱形的四条边都相等 D. 是无理数
10.如果某函数的定义域与其值域的交集是[ , ]，则称该函数为“[ , ]交汇函数”，下列函数是“[0,1]交
汇函数”的是( )
A. = √ B. = √ 1 C. = 1 2 D. = √ 1 2
11.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数 = 2 + + 的图象过点(1,0)，…，
求证：这个二次函数的图象关于直线 = 2对称.根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )
A. 在 轴上截得的线段的长度是2 B. 与 轴交于点(0,3)
C. 顶点是( 2, 2) D. 过点(3,0)
12.下列说法中，正确的有( )
( ) ( )
A. 若任意 1、 2 ∈ ，当 < 时，
1 2
1 2 > 0，则 = ( )在 上是增函数 1 2
B. 函数 = 2在 上是增函数
+ 1, < 0
C. 函数 ( ) = { 在定义域上是减函数
, ≥ 0
1
D. 函数 = 的单调区间是( ∞,0) ∪ (0,+∞)

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
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13.已知函数 ( ) = log ( 3) + 2( > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点 ，若点 的坐标满足关于 、 的方程
1 2
+ = 4( > 0, > 0)，则 + 的最小值为______．

14.在与弧度数为2021角终边相同的角中，绝对值最小的角是______．
2 10° 20°
15.求值： =______．
20
√ 2 √ 2
16.如图，单位圆上有一点 0( , )，点 以点 0为起点按逆时针方向以每秒 弧度2 2 12
做圆周运动，5秒后点 的纵坐标 是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
5 4
已知 ∈ ( , 3 )且 = ，求sin , cos , tan 的值．
2 5 2 2 2
18.(本小题12分)
已知幂函数 = ( )的图象过点(2,√ 2)．
(1)求函数 ( )的解析式，并求出它的定义域；
(2)求满足 (1 + ) > (3 )的实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
2 + 1,0 ≤ < 2
已知 ( )是定义在 上的偶函数，当 ≥ 0时， ( ) = {
5 + 15, ≥ 2
(Ⅰ)在给定的坐标系中画出函数 ( )在 上的图象(不用列表)；
(Ⅱ)直接写出当 < 0时 ( )的解析式；
(Ⅲ)讨论直线 = ( ∈ )与 = ( )的图象的交点个数．
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20.(本小题12分)
若扇形的圆心角为216°，弧长为30 ，求扇形的半径及面积．
21.(本小题12分)
计算下列各式
1 7 3 3
(1)0.001 3 ( )0 + 164 + (√ 2 √3)6；
8
(2)已知 + 1 = 3，求下列各式的值：
1 1
① + 2 2；
3 3
② 2 + 2．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】4
14.【答案】2021 644
15.【答案】√ 3
√ 3
16.【答案】
2
5
17.【答案】解：由 ∈ ( , 3 )得 < 0，
2
4 3
因为 = ，所以 = √ 1 sin2 = ，
5 5
5 3 3
又 ∈ ( , )，则sin < 0, cos < 0，而 = 1 2 2 = 2 2 1 = ，
2 4 2 2 2 2 2 5
√ 5 2√ 5
所以cos = ，sin = ，
2 5 2 5

sin
所以tan = 2 = 2． 2 cos
2
18.【答案】解：(1)设 ( ) = ，代入点(2, √ 2)得2 = √ 2，
1 1
解得 = ，即 ( ) = 2 = √ ，
2
故函数 ( )的定义域为[0,+∞)．
(2)由于 ( )的定义域为[0,+∞)，且在[0,+∞)上单调递增，
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1 + ≥ 0
由已知 (1 + ) > (3 )可得{3 ≥ 0 ，
1 + > 3
解得：1 < ≤ 3，
故 的取值范围是(1,3]．
19.【答案】解：(Ⅰ)：函数图象如右图：
2 + 1, 2 < < 0
(Ⅱ) ( ) = { (6分)
5 + 15, ≤ 2
(Ⅲ)设交点个数为 ( )
当 > 5时， ( ) = 0；
当 = 5时， ( ) = 2；
当1 < < 5时， ( ) = 4；
当 = 1时， ( ) = 3；
当 < 1时， ( ) = 2；…………………………………………………… . . (12分)
0, > 5
2, < 1或 = 5
综上所述， ( ) =
3, = 1
{4, 1 < < 5
(没有写出分段形式答案不扣分)．
20.【答案】解：设扇形的半径为 ，弧长为 ，面积为 ，
6
因为216° = 216 × = ，
180 5
6
所以 = = × = 30 ，解得 = 25，
5
1 1
所以 = = × 30 × 25 = 375 ，
2 2
所以扇形的半径为25，面积为375 ．
1 3 1 1
21.【答案】解：(1)原式= (10 3) 3 1 + (24) + 2 6 64 2 33 = 10 1 + 8 + 72 = 89；
1 1 1 1 1 1
(2)① ∵ ( 2 + 2)2 = ( 2)2 + 2 2 2 + ( 2)2 = 1 + 1 + 2 = 3 + 2 = 5，
1 1
∴ + 2 2 = ±√ 5，
又由 + 1 = 3得 > 0，
1 1
∴ 2 + 2 > 0，
1 1
所以 2 + 2 = √ 5；
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3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
②(法一) 2 + 2 = ( 2)3 + ( 2)3 = ( + )[( 2 2 2)2 2 2 + ( 2)2] = ( 2 + 2)[( + 1) 1] =
√ 5(3 1) = 2√ 5，
3 3 3 3 3 3
(法二)( + )2 = ( )2 + ( )2 + 2 2 2 2 2 2 2 = 3 + 3 + 2，
而 3 + 3 = ( + 1)( 2 + 2 1) = ( + 1)[( + 1)2 3] = 3 × (32 3) = 18，
3 3
∴ ( 2 + 2)2 = 20，
又由 + 1 = 3 > 0得 > 0，
3 3
∴ + 2 2 > 0，
3 3
所以 2 + 2 = √ 20 = 2√ 5．
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