芜湖一中2024-2025学年度高一上学期数学期末模拟卷
考试范围：必修一全册 考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.
B.
C.
D. 或
2.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
3.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
4.函数的单调递减区间是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式是( )
A. B.
C. D.
7.已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.对于任意实数，，，，则下列命题正确的是 ( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则
10.关于函数，有下列结论，其中正确的是( )
A. 函数的图象关于轴对称
B. 函数的最小值是
C. 函数在上单调递增，在上单调递减
D. 函数的单调递增区间是和
11.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是( )
A. 函数在上是减函数
B. 若，则
C. 函数，则的最大值
D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一物流公司要租地建造仓库储存货物，经市场调研发现：每月土地租用费用万元与仓库到车站的距离成反比每月库存货物费用万元与成正比且时，和分别为万元和万元那么这家公司把仓库建在距离车站_________千米处，费用之和最小．
13.若函数则函数的值域是 ．
14.若时，取得最大值，则______________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
若关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（1）已知是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知点在函数为实数的图象上．
求函数的解析式并用定义法证明在区间上的单调性；
判断函数的奇偶性，并求函数在区间上的值域．
17.本小题分
如图，墙上有一壁画，最高点处离地面米，最低点处离地面米，距离墙米处设有防护栏，观察者从离地面高米的处观察它．
当时，观察者离墙多远时，视角最大？
若，视角的正切值恒为，观察者离墙的距离应在什么范围内？
18.本小题分
已知函数，的最小正期为．
求的值域；
方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；
19.（本小题满分17分）
已知函数 ．
（1）若，判断并证明函数 的单调性；
（2）若，函数在区间上的值域是，求的值．芜湖一中2024-2025学年度高一上学期数学期末模拟卷
考试范围：必修一全册 考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.
B.
C.
D. 或
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查图，集合的交、补、并运算，属于基础题．
题中阴影部分表示的集合为，再根据交集，并集个补集的运算即可得解．
【解答】
解：由题意，得，，
阴影部分表示的集合为或．
故选：．
2.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用不等式的性质和特殊值法即可求解．
【解答】
解：对于选项，若，则命题错误故A选项错误：
对于选项，取，则满足，但 ，故B选项错误：
对于选项，取，，，则满足，但，故C选项错误；
对于选项，由不等式的性质可知正确，
故选D．
3.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断，奇函数图象的对称性，分段函数以及一次函数、指数函数、反比例函数、二次函数的单调性，含绝对值函数的处理方法．
根据奇函数图象的对称性，可判断选项A与不符合题意，根据反比例函数的单调性可判断选项C不符合题意，去绝对值，由分段函数单调性的判断，结合奇函数的定义，可判断选项D正确．
【解答】
解：的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项不符合题意；
B.的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项不符合题意；
C.反比例函数在定义域内没有单调性，该选项不符合题意；
D.的定义域为，且，
该函数为奇函数，
在，上单调递增，且，
该函数在定义域内是增函数，该选项符合题意．
故选D．
4.函数的单调递减区间是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】，由的单调递减区间为，，可得，，解得，，故函数的单调递减区间是，故选A．
5.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数与对数函数的性质比较大小，属于中档题目．
利用指数函数与对数函数的性质与，进行比较得出即可．
【解答】
因为函数单调递减，所以
因为函数．单调递减，所以．．
因为函数单调递增， ， 所以．
所以则
故答案为
6.已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由时，，且是定义在上的奇函数得，当时，，即故选D．
7.已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式，不等式恒成立问题，考查了计算能力，属于中档题．
不等式可化为，再利用基本不等式进行求解即可．
【解答】
解：不等式可化为，
，，
，当且仅当时取等号，
不等式对一切恒成立，
，
解得，
故选A．
8.函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三角函数值域，将问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，属拔高题．
分别求函数，在的值域，由集合的包含关系解不等式组可得．
【解答】
解：，
当时，，
，
，
，
对于，
当时，，，
，
对任意，存在，使得成立，
，即，
解得实数的取值范围是
故选D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.对于任意实数，，，，则下列命题正确的是 ( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则
【答案】AB
【解析】，则，，A正确；若，，由不等式同向可加性可得，，B正确； 当令，，，，则，C错误； 令，，则， D错误．
10.关于函数，有下列结论，其中正确的是( )
A. 函数的图象关于轴对称
B. 函数的最小值是
C. 函数在上单调递增，在上单调递减
D. 函数的单调递增区间是和
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查对数函数的单调性，函数的奇偶性，函数的最值，考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．
根据函数奇偶性的定义，判断出函数的奇偶性，结合复合函数的单调性及“对勾”函数的单调性，可以判断出函数的单调性，并求出函数的最小值，即可得到答案．
【解答】
解：，定义域为，
所以是偶函数，其图象关于轴对称，故选项A正确；
令，当且仅当，即时等号成立，
因为函数在上单调递增，
所以，所以函数的最小值为，选项B正确；
当时，，
由对勾函数可得，函数在上单调递减，在上单调递增．
又函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故选项C错误；
由偶函数图象的对称性，可知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间是和，故选项D正确．
故选ABD．
11.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是( )
A. 函数在上是减函数
B. 若，则
C. 函数，则的最大值
D.
【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了同角三角函数的基本关系，诱导公式，正弦、余弦函数的图象与性质，二倍角公式及其应用，复合函数的单调性和辅助角公式，属于中档题．
利用题目所给定义，结合辅助角公式得，再利用余弦函数性质，结合复合函数单调性得函数不是单调函数，对进行判断，利用题目所给定义得，再利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系得，然后通过计算对进行判断，利用题目所给定义，结合诱导公式得，再利用正弦函数的最值对进行判断，利用题目所给定义，结合诱导公式，通过计算对进行判断，从而得结论．
【解答】
解：选项A、
，
当，时，
函数不是单调函数，因此错；
选项B、由得，
因此
，所以B正确；
选项C、
，
因此函数的最大值为，所以错；
选项D、因为，
，所以，因此D正确．
故答案选BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一物流公司要租地建造仓库储存货物，经市场调研发现：每月土地租用费用万元与仓库到车站的距离成反比每月库存货物费用万元与成正比且时，和分别为万元和万元那么这家公司把仓库建在距离车站 千米处，费用之和最小．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求函数的最值，是中档题．
先利用待定系数法求出和关于的函数解析式，再利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：依题意，设，，其中，都大于零，
在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元，
，，
，，
，，其中，
费用之和，
当且仅当，即时，等号成立，
故这家公司应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小．
故答案为．
13.若函数则函数的值域是 ．
【答案】
【解析】由，得；由，，，，函数的值域为．
14.若时，取得最大值，则______________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的求解，涉及二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、辅助角公式等，考查分析与计算能力，属于中档题．
由题利用二倍角公式及辅助角公式及两角差的正弦公式计算得其中，，
再由当取最大值可得，然后利用诱导公式即两角和的正弦公式计算求解即可．
【解答】
解：
其中，，
当取最大值时，，，
，，
，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
15.（本小题满分13分）
若关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（1）已知是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围．
解：（1）不等式可化为，解得，
集合. 不等式可化为集合. 是的充分不必要条件，是的真子集，则的取值范围是.
（2）为真命题 令，则 解得，所以实数的取值范围是.
16.本小题分
已知点在函数为实数的图象上．
求函数的解析式并用定义法证明在区间上的单调性；
判断函数的奇偶性，并求函数在区间上的值域．
【答案】解：由题意得函数的定义域为，
因为点在函数的图象上，
所以，得，
，
对，，且，
则
因为，，且，则，．
又，，
所以，
，即
所以函数在上单调递减．
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，
函数在上是奇函数，
由得，函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
故函数在区间上单调递减，
此时函数的最大值为，
最小值为，
故函数在区间值域为
【解析】本题考查函数的解析式、单调性、奇偶性和值域，属于中档题．
求出，即可得解析式，利用单调性的定义，则有，，且，，即可单调性
利用奇偶性的定义可判断出奇偶性，结合单调性可求最值，即可得值域．
17.本小题分
如图，墙上有一壁画，最高点处离地面米，最低点处离地面米，距离墙米处设有防护栏，观察者从离地面高米的处观察它．
当时，观察者离墙多远时，视角最大？
若，视角的正切值恒为，观察者离墙的距离应在什么范围内？
【答案】解：当时，过作的垂线，垂足为，
则，且，
设观察者离墙米，则，
且，，
所以，
，
当且仅当时取等号．
所以，当观察者离墙米时，视角最大
由知，
所以，，即
当时，，所以
即，解得或，
又因为，所以，
所以观察者离墙的距离应在至米范围内．
18.本小题分
已知函数，的最小正期为．
求的值域；
方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；
是否存在实数满足对任意，都存在，使成立．若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】解：函数，
的最小正周期为，，
，．
那么的解析式，
则当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值．
所以函数的值域为．
方程在上有且有一个解，转化为函数的图象与函数的图象在上只有一个交点．
，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，，，
或，
所以或．
由可知，．
实数满足对任意，都存在，使得成立．
即成立，
令，
设，则，
，，
可得在上恒成立．
令，其对称轴，，
当，即时，在上单调递增，，解得；
当，即时，，解得；
当，即时，，解得 ；
综上可得，存在，可知的取值范围是
19.（本小题满分17分）
已知函数 ．
（1）若，判断并证明函数 的单调性；
（2）若，函数在区间上的值域是，求的值．
解：（1）若，，的定义域为.
在上单调递增，证明如下： ………………………………………………2分
对且，
，所以，则，
，则在上单调递增. …………………………………………6分
，从而，由知，所以. ……7分
当时，函数在上均单调递减.
若，则，与矛盾，舍去；
则，且 …………9分
相减得 ……………………11分
，即.
