浙江省杭州市部分学校2024-2025学年高三上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

浙江省杭州市部分学校 2024-2025 学年高三上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 2, 2 + 4 , 12}，且 3 ∈ ，则 等于( )
A. 1 B. 3 C. 3 D. 3或 1
1
2.已知复数 与复平面内的点(1,2)对应，则 =( )
1
A. 1 + B. 1 C. 1 + D. 1
3
3.已知cos( ) = ，则sin( + ) =( )
3 5 6
4 4 4 3
A. ± B. C. D.
5 5 5 5
4.若√ 3| + | = √ 3| | = 2| |，则向量 与 的夹角为( )
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
1 4
5.已知 + = + + 8( , > 0)，则 + 的最小值为( )

A. 5√ 3 B. 9 C. 4 + √ 26 D. 10
6.某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员.在该班中随机
选取一名学生， 表示“选到的是团员”， 表示“选到的是男生”，则 ( | )等于( )
4 5 43 4
A. B. C. D.
11 8 55 7
7.已知 是等差数列{ }的前 项和，且 7 > 0， 6 + 9 < 0，则( )
A. 数列{ }为递增数列 B. 8 > 0
C. 的最大值为 7 D. 14 > 0
8.当 = 1时，函数 ( ) = + 2 + 3取得最大值2，则 (3) =( )
16
A. 2 3 + 2 B. C. 2 3 6 D. 4
3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )2 的部分图象如图所示，下
列说法正确的是( )
A. 函数 = ( )的最小正周期为2
2
B. 函数 = ( )在[ , ]单调递减
3 6
5
C. 函数 = ( )的图象关于直线 = 对称
12
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D. 该图象向右平移 个单位可得 = 2 2 的图象
6
10.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，准线 交 轴于点 ，直线 过 且交 于不同的 ， 两点， 在线段
上，点 为 在 上的射影．线段 交 轴于点 ，下列命题正确的是( )
A. 对于任意直线 ，均有 ⊥
B. 不存在直线 ，满足 = 2
C. 对于任意直线 ，直线 与抛物线 相切
D. 存在直线 ，使| | + | | = 2| |
11.已知四面体 的每个顶点都在球 ( 为球心)的球面上，△ 为等边三角形， 为 的中点， =
= 2， = √ 2，且 ⊥ ，则( )
A. ⊥平面 B. 平面
2√ 3 √ 6
C. 到 的距离为 D. 二面角 的正切值为
3 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
, ≤ 0
12.设函数 ( ) = { 2 1 ，若方程 ( ) = 有且仅有1个实数根，则实数 的取值范围是______． + + , > 0
4
2 2
13.已知 1、 2是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点， 为椭圆 上一点，且 ⊥ 1 2 .若△ 的 1 2
面积为9，则 =______．
3
14.甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为 ，乙每盘获
4
2
胜的概率为 .在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩
3
游戏活动中共获胜3盘的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
2 1 2
在① (1+ ) = ( 1)，② = ( )这两个条件中任选一个，补充在下面问题
3
中并解答．
√ 15
问题：在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，( )2 + = 6， = ，且_____，
4
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求 的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16.(本小题15分)
3 3
已知数列{ }满足 1 = ，

4 +1
= ．
1+2
1
(1)证明：{ 1}是等比数列；


(2)设 = +1
3
，证明： 1 + 3 2 + + < ． 8
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ， ⊥ ， // ， = = = 1， = 2， 为
棱 上一点．
(1)若 是 的中点，求证：直线 //平面 ；
(2)若 =
√ 6
，且二面角 的平面角的余弦值为 ，求三棱锥 的体积．
3
18.(本小题15分)
已知点 (0, √ 3), (0, √ 3)，曲线 上的点 与 ， 两点的连线的斜率分别为 和 ，且 = ，
在下列条件中选择一个，并回答问题(1)和(2)．
3 3
条件①： = ；条件②： = .问题：
4 4
(1)求曲线 的方程；
1 1
(2)是否存在一条直线 与曲线 交于 ， 两点，以 为直径的圆经过坐标原点 .若存在，求出 2 + 2的
| | | |
值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
对于函数 ( )，若存在 0 ∈ ，使 ( 0)= 0成立，则称 0为 ( )的不动点．已知函数 ( ) =
2 + ( + 1) +
( 1)( ≠ 0)．
(1)当 = 1， = 3时，求函数 ( )的不动点；
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(2)若对任意实数 ，函数 ( )恒有两个相异的不动点，求 的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若 ( )的两个不动点为 1， 2，且 ( 1)+ 2 = ，求实数 的取值范围． +1
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】( ∞,0] ∪ ( , 1]
2
13.【答案】3
5
14.【答案】
12
15.【答案】解：因为 ( + ) = = = 6 < 0，
可知角 是钝角，
√ 15 1
又因为 = ，则 = √ 1 cos2 = ，
4 4
可得 = 24．
选择条件①：
2 1
因为 (1+ ) = ( 1)，

2 1
即 (1 + ) = ( 1)，

2
化简得 sin( + ) = ，

2
即 = ，

由正弦定理得 = 2．
由{ = 24 ，
= 2
解得{ = 6，
= 4
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1
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 = 36 + 16 2 × 6 × 4× ( ) = 64，
4
所以 = 8．
选择条件②：
2
因为 = ( )，
3
2
由正弦定理可得 = ( )，
3
2
整理可得sin( + ) = ，
3
2
即 = ，
3
2
由正弦定理得 = ，
3
= 24
由{ 2 ，
=
3
{ = 6解得 ，
= 4
1
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 = 36 + 16 2 × 6 × 4× ( ) = 64，
4
所以 = 8．
1 2 +1 1 1 1 2 1 1 1
16.【答案】解：(1)由已知得 = ，即 = + , 1 = ( 1)，
+1 3 +1 3 3 +1 3
1 1
1 = ，
1 3
1 1 1
∴ { 1}是首项为 ，公比为 的等比数列．
3 3
1 1 3
(2)由(1)知， 1 = ( ) ，∴ = ， 3 3 +1
3 +1 3 1 1
= = ( )， (3 +1)(3 +1+1) 2 3 +1 3 +1+1
3 1 1 1 1 1 1
∴ 1 + 2 + + = ( + + + ) 2 4 10 10 28 3 +1 3 +1+1
3 1 1 3
= (
2 4 3 +1
) < ．
+1 8
17.【答案】解：(1)证明：取 的中点 ，连 ， ，
1
∵ 为 的中点，∴ // 且 = ，
2
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1
又 // ，且 = ，
2
∴ // ， = ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ // ，
又 平面 ， 平面 ，
故直线 //平面 ．
(2)以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示，
则 (0,0,0)， (0,0,1)， (0,2,0)， (1,1,0)，
设 ( , , )，则 = ( , , 1)， = (0,2, 1)，
∵ 在棱 上，∴可设 = (0 ≤ ≤ 1)，
故( , , 1) = (0,2, 1)，
= 0
解得{ = 2 ，即 (0,2 , 1 )，
= 1
易知平面 的法向量为 = (0,0,1)，
设平面 的法向量 = ( 2, 2 , 2)， = (0,2 , 1 )， = (1,1,0)，
{ ⊥ 则 ，∴ {
= 0，
⊥ = 0
( 2 , 2 , 2) (0,2 , 1 ) = 0即{ ，
( 2 , 2 , 2) (1,1,0)= 0
2 2 + (1 ) 2 = 0即{ ，
2 + 2 = 0
2 2
取 2 = 1，则 2 = 1， 2 = ( > 0)， 1 1
2
故 = (1, 1, )，
1
√ 6
因为二面角 的平面角的余弦值为 ，
3
所以 √ 6|cos , | = ，
3
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| | √ 6
即 = ，
| | | | 3
2 2 2
即( )2 = [1 + 1 + ( )2]，
1 3 1
1 2 2 4 ( ) = ( )2 = 1 2 = 1 2 + 2，
3 1 3 1
1
解得 = ，
2
故 E 是 的中点，
1 1 1 1 1 1 1
因此 = = × 2 2 3 △ = × × × 2 × 1 × 1 = ． 2 3 2 6
3
18.【答案】解：选择条件①： = ，
4
+√ 3 √ 3 √ 3
(1)设点 的坐标为( , )，则 = , = ， = ，
+√ 3 √ 3 3 2 2
由题意可得 = ，化简得 = 1，
4 3 4
2 2
进而曲线 的方程为 = 1( ≠ 0)．
3 4
(2)证明：若直线 的斜率不存在，则 = ±1，
2 2
不妨设 = 1，则 = ，代入方程 = 1，得 2 = 12， 3 4
1 1 1 1
∴ | |2 = | |2 = 24，则 2 + 2 = × 2 = ．
| | | | 24 12
= +
若直线 的斜率存在，设 ： = + ，由{ 2 2
= 1
3 4
得(4 2 3) 2 + 8 + 4 2 12 = 0，则 = 64 2 2 4(4 2 3)(4 2 12) > 0，即 2 +4 2 3 > 0，
8 4 2 12 4 2 12
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ， 1 2 = 2 ．
4 3 4 3 4 3
∵以 为直径的圆经过原点 ，∴ ⊥ ，则 1 2 + 1 2 = 0，
即 1 2 + ( 1 + )( 2 + ) = 0，整理得12(1+
2) = 2．
2 2 2
1 1 | | +| | | |
2 + 2 = 2 2 = 2 2，
| | | | | | | | | | | |
1 1 1
设 为点 到直线 的距离，则| | | | = | | ，∴ 2 + 2 = 2，
| | | |
2
| | 1 1 1+ 1
又 = ，∴ 2 + 2 = = ．
√ 2 | | | |
2 12
1+
综上，存在这样的直线 与曲线 交于 ， 两点，以 为直径的圆经过坐标原点 ．
1 1 1
且 2 + 2 = ．
| | | | 12
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3
选择条件②： = ，
4
+√ 3 √ 3 √ 3
(1)设点 的坐标为( , )，则 = , = ， = ，
+√ 3 √ 3 3 2 2
由题意可得 = ，化简得 + = 1，
4 4 3
2 2
进而曲线 的方程为 + = 1( ≠ 0)．
4 3
(2)证明：若直线 的斜率不存在，则 = ±1，
2 2 12
不妨设 = 1，则 = ，代入方程 + = 1，得
2 = ，
4 3 7
2 24 1 1 7 7∴ | | = | |2 = ，则 + = × 2 = ．
7 2 2| | | | 24 12
= +
若直线 的斜率存在，设 ： = + ，由{ 2 2
+ = 1
4 3
得(4 2 + 3) 2 + 8 + 4 2 12 = 0，
则 = 64 2 2 4(4 2 + 3)(4 2 12) > 0，即 2 + 4 2 +3 > 0，
8 4 2 12 4 2 12
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ， 1 2 = 2 ．
4 +3 4 +3 4 +3
∵以 为直径的圆经过原点 ，∴ ⊥ ，则 1 2 + 1 2 = 0，
即 1 2 + ( 1 + )( 2 + ) = 0，整理得12(1+
2) = 7 2．
2 2 2
1 1 | | +| | | |
2 + 2 = 2 2 = 2 2，
| | | | | | | | | | | |
1 1 1
设 为点 到直线 的距离，则| | | | = | | ，∴ 2 + 2 = 2，
| | | |
2
| | 1 1 1+ 7
又 = ，∴ 2 + 2 = = ．
√ 2 | | | |
2 12
1+
综上，存在这样的直线 与曲线 交于 ， 两点，以 为直径的圆经过坐标原点 ．
1 1 7
且 2 + 2 = ．
| | | | 12
19.【答案】解：(1)当 = 1， = 3时， ( ) = 2 2 4，
设 0为不动点，因此
2
0 2 0 4 = 0，
解得 0 = 1或 0 = 4，
所以 1、4为函数 ( )的不动点；
(2)因为 ( )恒有两个不动点，
即 ( ) = 2 + ( + 1) + ( 1) = 恒有两个不等实根，
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整理为 2 + + ( 1) = 0，
∴△= 2 4 ( 1) > 0恒成立．
即对于任意 ∈ ， 2 4 + 4 > 0恒成立．
令 ( ) = 2 4 + 4 ，
则 ( ) = (2 ) = (2 )
2 4 × 2 +4 > 0．
解得0 < < 1；

(3) ∵ ( 1)+ 2 = 1 + 2 = = ， +1
2 2 ( +1) 2( +1)+1 1
∴ = = = ( + 1) + 2．
+1 +1 +1
∵ 0 < < 1，即1 < + 1 < 2，
1 5
∴ 2 < ( + 1)+ < ，
+1 2
1 1
∴ 0 < ( + 1)+ 2 < ，
+1 2
1
∴ 0 < < ．
2
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