江苏省扬州市宝应县安宜高级中学2025届高三上学期期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

江苏省扬州市宝应县安宜高级中学 2025届高三上学期期末数学模拟试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3,4,5}，且 ∪ = ，则集合 可以是( )
A. {1,2,3,4} B. { | 2 > 1}
C. { |2 > 1} D. { |log2( 2) < 2}
2.已知复数 = (1 + ) ( + )( ∈ )，则“ > 0”是“复数 的实部大于0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
1
3.在(2 2 )6的展开式常数项是( )

A. 15 B. 15 C. 60 D. 60
4.设 ， 均为非零向量，且 ⊥ ( + )，| | = 2| |，则 与 的夹角为( )
2
A. B. C. D.
6 4 3 3
5.过点 ( 1,1)的直线 与圆 ： 2 + 2 + 4 1 = 0交于 ， 两点，则| |的最小值为( )
A. 2√ 3 B. √ 15 C. √ 3 D. 2
1
6.函数 = 的图象大致为( ) +1
A. B.
C. D.
7.已知直线 经过抛物线 ： 2 = 4 的焦点，且与抛物线交于 ， 两点，若使得 = + 成立的点 的
横坐标为3，则四边形 的面积为( )
A. 2√ 5 B. 3√ 5 C. 4√ 5 D. 5√ 5
8.已知函数 ( ) = 3 2 ， ∈ (0, )，若 ( )有两个零点 1， 2( 1 < 2)，则( )
第 1 页，共 9 页

A. ∈ { , } B. = 3
5 1 2 2 1
1 1
C. 1 + 2 = D. 1 2 2
=
4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 5 = 50， 7 = 35，则( )
A. 数列{2 }为等比数列
B. 9 = 20
C. 当且仅当 = 4时， 取得最大值
2 3 5
2+85
D. 1 + + + + = 2 3 4
10.已知两个变量 与 对应关系如下表：
1 2 3 4 5
5 8 9 10.5

若 与 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为 = 1.25 + 4.25，则( )
A. 与 正相关 B. = 7
C. 样本数据 的第60百分位数为8 D. 各组数据的残差和为0
11.如图，在棱长为1的正四面体 中，点 是顶点 在底面 内的射影， 为
的中点，则( )
A. ⊥
B. ⊥
√ 2
C. 点 到平面 的距离为
2
3
D. 三棱锥 的外接球的表面积为
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12.已知直线 = 2 是双曲线 ： 2 = 1( > 0)的一条渐近线，则双曲线 的离心率为______． 4
13.某流水线上生产的一批零件，其规格指标 可以看作一个随机变量，且 ～ (98, 2)，对于 ≥ 100的零
件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取400个，用 用表示400个零件的规
格指标 位于区间(96,100)的个数，则随机变量 的方差是______．
第 2 页，共 9 页
14.已知函数 ( ) = 3 3 2 + 1的两个极值点为 1， 2，且 ( 1)+ ( 2) ≥ 4，则实数 的取值范围
为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
1
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 + = ，且 = 2√ 2， > > ．

(1)求 的值；
(2)若△ 的面积 = √ 7，求 ， 的值．
16.(本小题12分)
已知数列{ }的前 项和 满足2 + 1 = 0．
(1)求{ }的通项公式；
1
(2)设 = log27 ，求数列{ }的前 项和 ． +1
17.(本小题12分)
如图，在三棱锥 中，底面△ 是边长为2的正三角形， = = 4．
(1)求证： ⊥ ；
(2)若平面 ⊥平面 ，在线段 (包含端点)上是否存在一点 ，使得平面 ⊥平面 ，若存在，求
出 的长，若不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为 类题和 类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定
要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地、大小一样的5个球，3个标有字母 ，另外2个标有字母 ，小
张从中任取3个小球，若取出的 球比 球多，则答 类题，否则答 类题．
(Ⅰ)设小张抽到 球的个数为 ，求 的分布列及 ( )．
(Ⅱ)已知 类题里有4道论述题和1道计算题， 类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型
后需要从相应题目中任选一道题回答．
第 3 页，共 9 页
( )求小张回答论述题的概率；
( )若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是 类题的概率．
19.(本小题12分)
2 2 √ 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且过点 (2,1)，点 与点 关于原点对称，过点 (1, 2) 2
作直线 与 交于 ， 两点(异于 点)，设直线 与 的斜率分别为 1， 2．
1
(1)若直线 的斜率为 ，求△ 的面积；
2
(2)求 1 2 2 2的值．
第 4 页，共 9 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】√ 5
13.【答案】36
14.【答案】[1,3)
2 2 2 + 2 + 2 2 1
15.【答案】解：(1)由题意，结合余弦定理得， + = ，
2 2
则 = 2 = 8；
1
(2)由于 △ = = 4 = √ 7， 2
√ 7
解得 = ，
4
又∵ > > ，
3
∴ 为锐角，即 = ，
4
2 2 2
+ 2 2 ( + ) 3 ( + ) 24 3
∴ = = = = ，
2 2 16 4
∴ + = 6，
又 = 8， > > ，
∴ = 2， = 4．
16.【答案】解：(1) ∵ 2 + 1 = 0，
1 1
∴ 1 = ，2 3 +1
= 2 +1 2 = (1 +1) (1 ) +1 = ， 3
第 5 页，共 9 页
1 1 1 1 1
∴数列{ }是以 为首项， 为公比的等比数列，则 = × ( )
1 = ( ) ．
3 3 3 3 3

(2) ∵ = 27 = ， 3
1 9 1 1
∴ = = 9( )，
+1 ( +1) +1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
∴ = 9( + + + + ) = 9(1 ) = ． 1 2 2 3 3 4 +1 +1 +1
17.【答案】解：(1)取 的中点 ，连接 ， ，
因为△ 是边长为2的正三角形，所以 ⊥ ，由 = ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ；
(2)由(1)得 ⊥ ， ⊥ ，因为平面 ⊥平面 且交线为 ，
所以 ⊥平面 ，
以点 为原点，建立空间直角坐标系，
则 (1,0,0)， (0,0,√ 15)， ( 1,0,0)， (0, √ 3, 0)，
设 = (0 ≤ ≤ 1)，则 = (0, √ 3, √ 15)， = (0, √ 3 , √ 15 )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 3 √ 15 = 0

√
= ( 1, √ 3, 0)，则有{ ，取 = (√ 15, √ 5, 1)，
= + √ 3 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )， = + = ( 1, √ 3 , √ 15 √ 15 )，
= 2 = 0
则有{ ，
= + √ 3 + (√ 15 √ 15 ) = 0

所以 = (0,√ 5, )，
1
5
若平面 ⊥平面 ，则 = 0 + 5 + = 0，求得 = ，
1 6
第 6 页，共 9 页
所以 15√ 2| | = ．
6
18.【答案】解：(Ⅰ)根据题意， 可取的值为1、2、3，
1 2 2 1 3 03 3 1
( = 1) = 3 23 = ， ( = 2) =
3 2 3 2
10 3
= ， ( = 3) = = ，
5 3 10
5 5 5
故 的分布列为：
1 2 3
3 3 1

10 5 10
3 3 1 9
( ) = 1 × + 2 × + 3 × = ；
10 5 10 5
(Ⅱ)( )记事件 =“小张回答 类题”， =“小张回答 类题”， =“小张回答论述题”，
7 3
则 ( ) = ( = 2) + ( = 3) = ， ( ) = 1 ( ) = ，
10 10
4 3
( | ) = ， ( | ) = ，
5 5
4 7 3 3 37
则 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = × + × = ，
5 10 5 10 50
4 7 28
( ) ( ) = ( ) ( | ) = × = ，
5 10 50
( ) 28
故 ( | ) = = ．
( ) 37
第 7 页，共 9 页
√ 2
19.【答案】解：(1)因为椭圆 的离心率为 ，
2
2
√ 2
所以 = √ 1 2 = ， 2
整理得 2 = 2 2，①
因为点 (2,1)在椭圆 上，
4 1
所以 2 + 2 = 1，②
2
联立①②，
解得 2 = 6， 2 = 3，
2 2
则椭圆 的方程为 + = 1，
6 3
因为点 与点 关于原点对称，
所以 ( 2, 1)，
1 1 3
此时直线 的方程为 = ( 1) 2 = ，
2 2 2
不妨设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
1 3
=
联立{ 2 22 2 ，消去 并整理得
2 + 2 1 = 0，

+ = 1
6 3
由韦达定理得 1 + 2 = 2， 1 2 = 1，
1 √ 5
所以| | = √ 1 + ( )2 √ ( 1 + )2 4 1 2 2
= √ 4 4 × ( 1) = √ 10，
2
1 3
| ×2 1 | 7
而 到直线 的距离 = 2 2 = ，
1 2 √ 5
√ 1+( )
2
1 1 7 7√ 2
所以 △ = | | = √ 10 = ； 2 2 √ 5 2
(2)当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 = 1，
= 1
联立{ 2 2 ，
+ = 1
6 3
√ 10 √ 10
解得 1 = ， 2 = ， 2 2
√ 10 √ 10
不妨设 (1, )， (1, )，
2 2
因为 (2,0)， ( 2, 1)，
√ 10 √ 10
1
2 √ 10 +1 1 √ 10所以 1 = = 1 ，
2
1 2 2 2
= = (1 )，
1+2 3 2
√ 10 1 √ 10 1 3 1
则 1 2 2 2 = ( 1 2) 2 = ( 1 ) × (1 ) = × = ； 2 3 2 3 2 2
第 8 页，共 9 页
当直线 斜率存在时，
不妨设直线 的方程为 + 2 = ( 1)， ( 1, 1)， ( 2 , 2)，
+ 2 = ( 1)
联立{ 2 2 ，消去 并整理得(2 2 + 1) 2 4 ( + 2) + 2( + 2)2 6 = 0，
+ = 1
6 3
2 2
4 +8 2 +8 +2
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
2 +1 2 +1
1 1 2+1 1 3 2 1则 1 2 2 2 = ( 1 2) 2 = ( 2) = ( 2) 1 2 2+2 1 2 2+2
2 2 2 2
[( 2) 1 +1]( 2 1) ( 2 ) 1 2 ( 2) 1 ( ) 2+ 1= =
( 1 2)( 2+2) 1 2+2 1 2 2 4
2 2 2
( 2 ) 1 2 ( )( 1+ 2)+ 1+2 = 1
1 2 2( 1+ 2) 4+4 1
2 2 2 2 2 2
( 2 )(2 +8 +2) ( )(4 +8 )+( 1)(2 +1)+2
= 12 2 2
2 +8 +2 2(4 +8 ) 4(2 +1)+4 1
2
7 4 1+2
= 1
1
2 = ．
14 8 2+4 2 2
1
综上得 1 2 2 2 = ． 2
第 9 页，共 9 页