北京市第一六六中学2025届高三上学期期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

北京市第一六六中学 2025 届高三上学期期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知全集 = ，集合 = { | 2 4 < 0}， = { | ≥ 1}，则 ∩ =( )
A. (1,2) B. ( 2,2) C. ( ∞, 2) D. ( 2,1)

2.设复数 = 3 ，则复数 在复平面内对应的点的坐标是( )

A. (1,3) B. ( 1,3) C. ( 1, 3) D. ( 3, 1)
3.求圆 2 + 2 2 + 6 = 0的圆心到 + 2 = 0的距离( )
A. 2√ 3 B. 2 C. 3√ 2 D. √ 6
4.已知抛物线 ： 2 = 8 的焦点为 ，点 在 上，若 到直线 = 3的距离为5，则| | =( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
5.已知 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，能使 ⊥ 成立的一组条件是( )
A. // ， ⊥ ， ⊥ B. // ， ， ⊥
C. ⊥ ， ⊥ ， // D. ⊥ ， ， //

6.设函数 ( ) = sin( )( > 0)，已知 ( 0) = 1， ( 0 + ) = 1，则 的最小值为( ) 3 2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 + 5 , ≥ 0
7.已知函数 ( ) = {

若 ( ) ≥ ，则 的取值范围是( )
+ 1, < 0.
A. ( ∞, 0] B. ( ∞,5] C. (0,5] D. [0,5]
8.已知( 1, 1)，( 2, 2)是函数 = 的图象上的两个不同的点，则( )
+ + 2+ 2 2+ 2
A. 1+ 2 > 1 2 B. 1+ 2 < 1 2 C. 1+ 2 > 1 2 D. 1+ 2 < 1 2
2 2 2 2
9.△ 的外接圆的半径等于3， = 4，则 的取值范围是( )
A. [ 4,24] B. [ 8,20] C. [ 8,12] D. [ 4,20]
10.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为1，动点 在线段 1上，动
点 在平面 1 1 1 1上，且 ⊥平面 1，则线段 长度的取值范围为
( )
A. [1, √ 2]
B. [1, √ 3]
第 1 页，共 12 页
√ 2
C. [ , √ 2]
2
√ 6
D. [ , √ 2]
2
二、填空题：本题共 5 小题，共 30 分。
11.(2 1)6的展开式中含 3的项的系数为______．
12.设向量 = (1,2), = ( , 1)，且| + | = | |，则 = ______； 和 所成角为______．
13.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√ 3，则圆锥的体积为______．
2
14.直线 = ( 3)与双曲线 2 = 1的右支只有一个公共点，则 的取值范围为______．
4
15.设{ }与{ }是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合 = { | = , ∈ }，给出下列四个
结论：
①若{ }与{ }均为等差数列，则 中最多有1个元素；
②若{ }与{ }均为等比数列，则 中最多有2个元素；
③若{ }为等差数列，{ }为等比数列，则 中最多有3个元素；
④若{ }为递增数列，{ }为递减数列，则 中最多有1个元素．
其中正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
√ 3
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，∠ 为钝角， = 7， 2 = ，
7
(1)求∠ ；
5
(2)若 = √ 3，求△ 的面积．
2
17.(本小题12分)
如图，四棱柱 1 1 1 1的底面 是边长为2的正方形， 1 = 3，侧面 1 1 ⊥底面 ，
是棱 上一点， 1 //平面 1 ．
(1)求证： 是 的中点；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使四棱柱 1 1 1 1唯一
确定，
( )求二面角 1 1的余弦值；
第 2 页，共 12 页

( )设直线 1 与平面
1
1 的交点为 ，求 的值． 1
条件①： 1 = √ 13；条件②： 1 = √ 17；条件③： ⊥ 1D.
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
18.(本小题12分)
某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识.为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座
的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾
分类知识问卷.试讲讲座前后.这10位居民答卷的正确率如下表：
编号正确率 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号
试讲讲座前 65% 60% 0% 100% 65% 75% 90% 85% 80% 60%
试讲讲座后 90% 85% 80% 95% 85% 85% 95% 100% 85% 90%
根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级：
答卷正确率 < 70% 70 ≤ < 90% 90% ≤ ≤ 100
垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀
假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率．
(Ⅰ)正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率；
(Ⅱ)正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、
“良好”.设随机变量 为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’的人数”，试估计 的分布列和数学期
望；
(Ⅲ)在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问
卷.从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一
知识水平的概率最大？(结论不要求证明)
第 3 页，共 12 页
19.(本小题12分)
2 2 √ 3
设椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)，离心率为 ，长轴长为4.过点 (4,0)的直线 与椭圆交于 ， 两点，直 2
线 与 轴不重合．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知点 (1,1)，直线 与 轴交于 ，与 轴交于 ，直线 与 轴交于 ，与 轴交于 ，若3 △ = △ ，
求直线 的斜率．
20.(本小题12分)
已知函数 ( ) = (2 ) ( ∈ )．
(1)当 = 0时，求函数 ( )的单调区间；
(2)证明：当 = 1，曲线 = ( )的切线不经过点(0,0)；
(3)当 > 0时，若曲线 = ( )与直线 = 在区间(1,+∞)上有两个不同的交点，求实数 的取值范围．
21.(本小题12分)
已知 ： 1， 2，…， 为有穷整数数列．给定正整数 ，若对任意的 ∈ {1,2,… , }，在 中存在 ， +1，
+2，…， + ( ≥ 0)，使得 + +1 + +2 + + + = ，则称 为 连续可表数列．
(Ⅰ)判断 ：2，1，4是否为5 连续可表数列？是否为6 连续可表数列？说明理由；
(Ⅱ)若 ： 1， 2，…， 为8 连续可表数列，求证： 的最小值为4；
(Ⅲ)若 ： 1， 2，…， 为20 连续可表数列，且 1 + 2 + + < 20，求证： ≥ 7．
第 4 页，共 12 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】 160
12.【答案】 2 90°
13.【答案】3√ 3
1 1
14.【答案】[ , ]
2 2
15.【答案】①③④
√ 3 √ 3
16.【答案】解：(1)由 2 = ，可得2 = ，
7 7
√ 3
因为 为钝角，即 ≠ 0，所以2 = ，
7
2 √ 3 2
由正弦定理得 = = ，结合 = 7，解得 = ，所以 = ( = 不符合题意，舍去)．
√ 3 2 3 3
7
5√ 3
(2)法一：根据题意，可得 = 2 = 5，

1
根据余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 ，即以49 = 2 + 25 2 × 5 × ( )，
2
整理得 2
1 1 √ 3 15√ 3
+ 5 24 = 0，解得 = 3或 = 8(舍负)，所以 △ = = × 3 × 5 × = ． 2 2 2 4
5√ 3
法一：根据题意，可得 = 2 = 5，

7 5 5√ 3
由正弦定理得 = ，即 = ，解得 = ，
√ 3 14
2
5√ 3 11
结合 为锐角，可得 = √ 1 ( )2 = ，
14 14
第 5 页，共 12 页
2 2 2 √ 3 11 1 5√ 3 3√ 3
所以 = sin( + ) = sin( + ) = sin + cos = × + ( ) × = ，
3 3 3 2 14 2 14 14
1 1 3√ 3 15√ 3
可得 △ = = × 7 × 5 × = ． 2 2 14 4
17.【答案】解：(1)证明：连接 1交 1 于 ，连接 ，
因为 1 //平面 1 ， 1 平面 1 ，平面 1 ∩平面 1 = ，
所以 1 // ，又因为四边形 1 1是平行四边形，所以 是 1的中点，
所以 是 的中点；
(2)( )
选择条件①：
因为底面 是正方形，所以 ⊥ ，
侧面 1 1 ⊥平面 ，且侧面 1 1 ∩平面 = ， 平面 ，
故 CD⊥平面 1 1，又 1 平面 1 1，则 ⊥ 1，
即四边形 1 1为矩形，因为 1 = 3， = 1 1 = 2，则 1 = √ 13，
与选择条件①： 1 = √ 13等价，故条件 1 = √ 13不能进一步确定 1， 的夹角大小，故二面角
1 1不能确定；
选择条件②：
连结 1 ，因为底面 是正方形，所以 ⊥ ，
又因为侧面 1 1 ⊥平面 ，且侧面 1 1 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 1 1，又 1 ， 1 平面 1 1，所以 ⊥ 1 ， ⊥ 1 ，
在 △ 1 中，因为 1 = √ 17， = 2，所以 1 = √ 13，
在△ 1 中，因为 = 2， 1 = 3，所以 ⊥ 1，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 1 ⊥平面 ，又 ⊥ ，
所以如图建立空间直角坐标系 ，其中 (0,0,0)， 1(0,2,3)， (1,2,0)， (0,2,0)，
第 6 页，共 12 页
且 1 = (0,2,3)， = (1,2,0)，易知 = (0,2,0)为平面 1 1的一个法向量，
设 = ( , , )为平面 1 面的一个法向量，
⊥ = 0, 2 + 3 = 0
则{ 1，则{ 1 ，即{ ．
⊥ = 0, + 2 = 0
不妨设 = 3，则 = 6， = 2，
可得 = (6, 3,2)，


6 3
所以cos < , >= = = ，
| || | 2×√ 49 7
3
因为二面角 1 1的平面角是钝角，设为 ，故 = ， 7
3
所以二面角 1 1的余弦值为 ． 7
选择条件③：
因为底面 是正方形，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ 1 ，且 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1 ，
所以 ⊥平面 1 1 ，因为 1 平面 1 1 ，所以 ⊥ 1 ，
因为侧面 1 1 ⊥平面 ，且侧面 1 1 ∩平面 = ， 1 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，又 ⊥ ，
所以如图建立空间直角坐标系 ，(下面同选择条件②)．

( )设 1 = (0 ≤ ≤ 1)，又 (2,0,3)， (0,2,0)，
1
1
则 1 = 1 = ( 2,2, 3) = ( 2 , 2 , 3 )，所以 = (2 2 , 2 , 3 3 )，
所以 = (2 2 , 2 , 3 3 )，因为 平面 1 ，
3
所以 = 0，所以(2 2 ) 6 6 + 2(3 3 ) = 0，解得 = ，
4
1 3所以 = ．
1 4
18.【答案】解：正式讲座前，10位选取的居民中，垃圾分类知识水平为“一般”的人数为5人，所以垃圾
1
分类知识水平位“一般”的频率为： ，
2
1
所以估计居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率为： = ．
2
(Ⅱ)由表中提供的数据可得：正式讲座前，垃圾分类知识水平为“一般”的人在讲座后，达到“优秀”的概
2
率估计为： ，
5
1
正式讲座前，垃圾分类知识水平为“良好”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为： ，
3
第 7 页，共 12 页
由题意， 的值可以为：0，1，2，3，
3 2 4
且： ( = 0) = × ( )2 = ，
5 3 15
2 2 3 1 2 20
( = 1) = × ( )2 + 1
5 3 5 2
× × = ，
3 3 45
2 1 1 2 3 1 ( = 2) = × × × + × ( )2
11
2 = ， 5 3 3 5 3 45
2 1 2
( = 3) = × ( )2 = ．
5 3 45
所以 的分布列为：
0 1 2 3
4 20 11 2
15 45 45 45
4 20 11 2 16
所以 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × = ．
15 45 45 45 15
1
(Ⅲ)从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“一般”记为事件 ，则 ( ) = ，讲座后，知识水平
2
3
为“良好”的概率估计为 ；
5
3
从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件 ，则 ( ) = ，讲座后，知识水平为
10
2
“良好”的概率估计为 ；
3
1
从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“优秀”记为事件 ，则 ( ) = ，讲座后，知识水平为
5
“良好”的概率估计为0；
1
从参加讲座后的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件 ，则 ( ) = ．
2
1 3 3 2
( ) × 3 ( ) × 2
因为 ( | ) = = 2 5 = ， ( | ) = = 10 3 = ， ( | ) = 0．
( ) 1 5 ( ) 1 5
2 2
所以他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大．
19.【答案】解：(1)因为椭圆 的离心率为√ 3，长轴长为4，
2
2 = 4
√ 3
所以{ = ，
2
2 = 2 + 2
解得 = 2， = 1， = √ 3，
2
则 ： + 2 = 1．
4
第 8 页，共 12 页
(2)因为过点 (4,0)的直线 与椭圆交于 ， 两点，直线 与 轴不重合，所以直线 的斜率不为0，
设直线 得方程为 = + 4， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 4
联立{ 2 2 ，消去 并整理得(
2 + 4) 2 + 8 + 12 = 0，
+ = 1
4
此时 = 64 2 48( 2 + 4) > 0，
解得 < 2√ 3或 > 2√ 3，
√ 3 √ 3
∈ ( , 0) ∪ (0, )；
6 6
8 12
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ， = ， +4 1 2 2+4
32
所以 ， 4
2+64
1 + 2 = 2 1 2 = ， +4 2+4
若3 △ = △ ，
此时3 = ，
即3| | = | |，
1 1
直线 ： 1 = 1 ( 1)，直线 ： 1 = 2 ( 1)，
1 1 2 1
令 = 0，
1 1
可得 (0, 1 + 1)， (0, 2 + 1)，
1 1 2 1
令 = 0，
1 1
可得 (
1 + 1,0) ( 2， + 1,0) ， 1 1 2 1
1 1 2 1 1 1 2 1所以3| | = | |，
1 1 2 1 1 1 2 1
即| 1 2 ( 1 + 2) + 1| = 3| 1 2 ( 1 + 2) + 1|，
此时| 4 2 + 64 32 + 2 + 4| = 3|12 + 8 + 2 + 4|，
7
解得 = ，
2
2 √ 3 √ 3
直线斜率为 ∈ ( , 0) ∪ (0, )．
7 6 6
2
综上所述，直线 的斜率为 ．
7
第 9 页，共 12 页
20.【答案】解：(1)当 = 0时， ( ) = 2 ，函数定义域为(0,+∞)，
可得 ′( ) = 2 + 2，
1 1
当0 < < 时， ′( ) < 0；当 > 时， ′( ) > 0，

1 1
所以 ( )的单调递增区间为( , +∞)，单调递减区间为(0, )；

(2)证明：当 = 1时， ( ) = (2 + 1) ，函数定义域为(0,+∞)，
1
可得 ′( ) = 2 + 2 + ．

设曲线 = ( )的切点为( , ( ))( > 0)，
1
此时切线方程为 (2 + 1) = (2 + + 2)( )，

假设切线过原点，
1
可得 (2 + 1) = (2 + + 2) ( )，

整理得 2 1 = 0．
令 ( ) = 2 1，函数定义域为(0,+∞)，
1
可得 ′( ) = 2，

1
当0 < < 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
2
1
当 > 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
2
1
所以 ( ) ≤ ( ) = 2 2 < 0，
2
则方程 2 1 = 0无解，
综上可知，曲线 = ( )在点的( , ( ))切线不过原点；
(3)若曲线 = ( )与直线 = 在区间(1,+∞)上有两个不同的交点，
即 ( ) = 在区间(1,+∞)上有两个不同的解，
所以(2 ) = 在区间(1,+∞)上有两个不同的解，

即 = 2 + 在区间(1,+∞)上有两个不同的解，


设 ( ) = 2 + ，函数定义域为(1,+∞)，

1 ( +1)(2 1)
可得 ′( ) = 2 + 2 = 2 ，
ln ln
令 ′( ) = 0，
第 10 页，共 12 页
1
解得 1 = , 2
= √ ，
因为 > 1，
所以 = √ ，
当1 < < √ ， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > √ ， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) = (√ ) = 4√ ，
当 → 1时， ( ) → +∞；当 → +∞时， ( ) → +∞，

要使 = 2 + 在区间(1,+∞)上有两个不同的解，

此时 > 4√ ．
故实数 的取值范围为(4√ ,+∞)．
21.【答案】解：(Ⅰ)若 = 5，则对于任意的 ∈ {1,2,3,4,5}，
2 = 1， 1 = 2， 1 + 2 = 2 + 1 = 3， 3 = 4， 2 + 3 = 1 + 4 = 5，
所以 是5 连续可表数列；
由于不存在任意连续若干项之和相加为6，
所以 不是6 连续可表数列；
(Ⅱ)假设 的值为3，则 1， 2， 3最多能表示 1， 2， 3， 1 + 2， 2 + 3， 1 + 2 + 3，共6个数字，
与 是8 连续可表数列矛盾，故 ≥ 4；
现构造 ：1，2，3，4可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在 = 4满足题意．
故 的最小值为4．
(Ⅲ)先证明 ≥ 6．
从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，
取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，
取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，
所以对任意给定的5个整数，最多可以表示5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15个正整数，不能表示20个正整数，即 ≥ 6．
第 11 页，共 12 页
若 = 6，最多可以表示6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21个正整数，
由于 为20 连续可表数列，且 1 + 2 + + < 20，
所以其中必有一项为负数．
既然5个正整数都不能连续可表1 20的正整数，
所以至少要有6个正整数连续可表1 20的正整数，
所以至少6个正整数和一个负数才能满足题意，
故 ≥ 7．
第 12 页，共 12 页