山东省烟台市2025届高三上学期期末学业水平诊断数学试卷（含答案）

山东省烟台市2025届高三上学期期末学业水平诊断数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知为抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知三棱锥的底面的面积为，顶点到底面三条边的距离均相等，且三个侧面的面积分别为，，，则该三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知为定义在上的奇函数，其导函数为，且为奇函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递减
D. 图象与轴有个公共点
10.阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之比为常数，且，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆若点到点与点的距离之比为，则( )
A. 点的轨迹方程为
B. 点到直线距离的最小值为
C. 点到圆上的点的最大距离为
D. 若到直线的距离为的点至少有个，则
11.若数列满足，则称其为“数列”给定数列，若为“数列”，定义上的变换：从中任取两项，，将添加在所有项的最前面，然后删除，，记新数列为约定：一个数也视作数列下列结论正确的有( )
A. 若，，则数列为“数列”
B. 若，，则数列为“数列”
C. 若无穷数列为“数列”，则为“数列”
D. 若数列为，，，，，则为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数同时满足以下三个条件，则其一个解析式可以为 ．
在其定义域内有
，，，有
13.在三棱锥中，，，两两垂直，，若点为三棱锥外接球上一动点，则点到平面距离的最大值为 ．
14.已知，为椭圆上关于原点对称的两点异于顶点，点在椭圆上且，设直线与轴的交点为，若，则椭圆离心率的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且．
求
若，求周长的取值范围．
16.本小题分
已知函数，
若曲线在处的切线方程为，求实数，的值
讨论函数的单调性．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形．
证明：
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知为坐标原点，双曲线的一条渐近线方程为，且点在上
求双曲线的方程
若直线与的右支交于点，异于顶点，且以为直径的圆过的右顶点．
(ⅰ)直线是否过定点若是，求出该定点，若否，说明理由
(ⅱ)设直线与轴交于点，求的取值范围．
19.本小题分
已知数列的前项和
求数列的通项公式
设，，，是，，，的任意排列，表示其中同时满足条件和，，，的排列的个数，为数列的前项和．
(ⅰ)证明：
(ⅱ)证明：能被整除．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：因为，由正弦定理得，化简得，
由余弦定理又因为，所以．
由正弦定理，所以，，
又，所以，所以，
所以的周长
，
又为锐角三角形，，，即，
所以，所以，
所以周长．
16.解：，因为点在上，所以．
又，所以，
联立，解得，或，．
的定义域为，，
令，
当时，，函数在上单调递减
当时，，当时，，，即，在上单调递增
当时，，有正根，．
当，或时，，单调递增
当时，，单调递减．
综上，当时，函数在上单调递减
当时，在和上单调递增，
在单调递减
当时，在单调递增．
17.解：连接，取中点，连接，，在直角梯形中，由已知可得，，
又，为等边的边中点，所以．
又因为为等边三角形，为中点，所以．
因为，平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以．
由可知为二面角的平面角，所以
以为坐标原点，以，以及垂直于平面的直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
故有，，，
设为平面的法向量，
则有，即，取，可得，
所以，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：设双曲线，将点代入方程可得，解得，
所以双曲线的方程为．
设直线与的右支交于点，
当的斜率存在时，不妨设，联立消可得，
于是，因为以为直径的圆过双曲线的右顶点，
所以，即，
又，，所以．
所以，
整理可得，即，所以或，
当直线为时，过定点，不满足条件
当直线为时，过定点，
又当的斜率不存在时，由，得直线：，亦过点，
所以直线过定点．
因为直线与双曲线的右支交于两点，
所以，，，
所以，，
又，所以，
对于直线，令，可得，即，
所以
，
当且仅当，即时，“”成立，
综上，的取值范围为
19.解：当时，，所以．
当时，，又，，
所以，即，
所以数列是以为首项、为公比的等比数列，
所以．
因为，所以或．
当，则，，，各项分别除以后，恰是，，，满足条件的排列，其个数为；
当，，则，此时，，，各项分别除以后，恰是，，，满足条件的排列，其个数为；
当，，设是该排列中第一个出现的的偶数次幂，则前个数应是，，，，，
应是或．
由条件知，排在后的各数，要么都小于，要么都大于．
因为在后面，此时仅有个排列，即递增排出所有的奇数次幂，
再依递减的顺序排出所有的的偶数次幂．
综上，得到递推关系．
因为，，，，，
将所有式子相加，得：，
又因为，所以，得证．
因为，，，
由递推公式可得除以的余数依次为：
，，，，，，，，，，，，，，，，猜测余数列以为周期．
事实上，令表示除以的余数，
则

所以数列的周期为．
又，所以，
所以能被整除，命题得证．
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