2024-2025学年湖北省十堰市高三（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年湖北省十堰市高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2
1.已知集合 = { |1 ≥ 0}， = { | ≤ 0}，则 ∩ =( )

A. [0,1] B. [ 1,0) C. (1,2) D. (0,1]
1
2.下列双曲线，焦点在 轴上且渐近线方程为 = ± 的是( )
2
2 2 2 2 2 2
A. 2

= 1 B. = 1 C. = 1 D. 2 = 1
4 2 8 3 12 4
3.如图，在△ 中， 是 延长线上一点，且 = 3 ，则 =( )
A. 4 3
4
B. 3 2 C.
1 1 2
D.
3 3 3 3
3
4.已知sin( + ) = ，则sin =( )
2 5 2
2√ 5 2√ 5 √ 5 √ 5
A. B. ± C. D. ±
5 5 5 5
5.已知 > 0，且 ， + 1， 2，2 的中位数为1，则 =( )
1 2 3
A. B. C. 1 D.
3 3 2
√ 6
6.已知正三棱锥 的体积为 ， = √ 3，则该三棱锥外接球的表面积为( )
4
7 9
A. 7 B. C. 9 D.
2 2
2
7.在△ 中，∠ = ， 为 上一点， ⊥ ， = 2 = 2，则△ 的面积为( )
3
√ 3 3√ 3 3 3
A. B. C. D.
2 4 4 2

| |, 2, 1 1 1
8.已知函数 ( ) = { 3 若实数 ， ， 满足 < < ，且 ( ) = ( ) = ( )，则 + + 的取
+ 4, > 2,
值范围为( )
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11 11 7 5 7 2 5
A. ( , 1) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
12 12 6 6 6 3 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知虚数 满足 2 = ，则( )
1 √ 3
A. 的实部为 B. 的虚部为 C. | | = 1 D. 可能为纯虚数
2 2
10.已知 ∈ +，函数 ( ) = (
2 2 ) ，则下列说法正确的是( )
A. 若 为奇数，则 = 2是 ( )的极小值点
B. 若 为奇数，则 = 0是 ( )的极大值点
C. 若 为偶数，则 = 2是 ( )的极小值点
D. 若 为偶数，则 = 0是 ( )的极大值点
11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线 : 3 2 + 3 2 2| | = 8就是其中之一，则下列四个结论正确的是
( )
A. 曲线 关于原点对称，且关于直线 = 对称
B. 曲线 上任意一点到原点的距离都不超过2
C. 若 ( , )是曲线 上的任意点，则3 的最大值为√ 35
D. 已知 (1,1)，直线 = ( > 0)与曲线 交于 ， 两点，则| | + | |为定值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，若 ( ) = ( ) + 2， (3) = 1，则 ( 3) = ．

13.已知 ∈ +，函数 ( ) = sin( + )在[ , ]上单调递减，则 的最大值为 ． 6 4 3
14.由数字1，2构成一个9位的数字序列，含有连续子序列1221的数字序列有 个. (例如122122211，
212112211符合题意)
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不喜欢.为了调查人们对这种交通方式是否喜欢，
某同学从交通拥堵严重的 城市和交通拥堵不严重的 城市随机调查了100名市民，得到了一个市民是否喜
欢的样本，具体数据如下2 × 2列联表：
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总计
喜欢 40 10 50
不喜欢 20 30 50
总计 60 40 100
(1)请根据2 × 2列联表，并依据小概率值 = 0.001的独立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的
拥堵情况有关联;
(2)为进一步了解 城市的拥堵情况，该同学从样本中 城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法抽
取6人，并从这6人中选出2人代表发言，记代表发言中喜欢骑“共享单车”的人数为 ，求随机变量 的分
布列及数学期望．
2
( )
参考公式： 2 = ，其中 = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题12分)
如图，在直四棱柱 1 1 1 1中，底面 是边长为2的正方形，侧棱 1 = 6，点 ， 分别在侧
棱 1， 1上，且 1 = = 2．
(1)求平面 与平面 夹角的余弦值．
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(2)已知 为底面 1 1 1 1的中心，在 1上是否存在点 ，使得 //平面 若存在，求出 ;若不存在， 1
请说明理由．
17.(本小题12分)
1
已知等比数列{ }的前 项和为 ，且 =
+1
． 2
(1)求{ }的通项公式;
(2)若 = (2 1) ，记数列{ }的前 项和为 ，若 +1 1 ≤ 4
恒成立，求 的取值范围．
18.(本小题12分)
已知抛物线 : 2 = 2 的焦点 在直线 + 2 2 = 0上， ， ， 是 上的三个点．
(1)求 的方程;
(2)已知 ( 2, )，且直线 经过点 ， ⊥ ，求直线 的方程;
(3)已知 ， 在 轴的两侧，过点 ， 分别作抛物线 的切线 1， 2，且 1与 2交于点 ，直线 = 1与 1和 2分
别交于点 ， ，求△ 面积的最小值．
19.(本小题12分)
设函数 = ( )在区间 上有定义，若对任意 1， 2 ∈ ， 1 > 2，都满足 ( 1) ( 2) > ( 1 )
2
2 ，
则称函数 = ( )在区间 上为 级速增函数．
(1)判断函数 ( ) = 2 3 + 在区间 上是否为1级速增函数，说明理由．
(2)若函数 = ( )在区间(0,+∞)上为2级速增函数，且 (1) = 1，证明：对任意 ∈ +， ≥ 2， ( ) > 2 1
恒成立．
(3)若 ( ) = 在区间(0,+∞)上为 级速增函数，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】10
14.【答案】174
15.【答案】解：(1)零假设为 0:市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况无关联，
根据列联表中的数据，
2
得 2 100×(40×30 20×10) 50 = = ≈ 16.667 > 10.828 = ，
50×50×60×40 3 0,001
根据小概率值 = 0.001的独立性检验，我们推断 0不成立，即认为市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的
拥堵情况有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．
(2)根据分层随机抽样的知识可知，随机抽取的6人中喜欢骑“共享单车”的有4人，不喜欢骑“共享单车”
的有2人，所以随机变量 的所有可能取值为0，1，2，
04
2
2 1
1
4
1
2 8
2
4
0 2
( = 0) = = ， ( = 1) = = ， ( = 2) = 22 2 = ， 6 15 6 15
2
6 5
所以 的分布列为
1 8 2 4
所以 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × = ．
15 15 5 3
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16.【答案】解：(1)因为在直四棱柱 1 1 1 1中，底面 是边长为2的正方形，
所以以 为原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (2,0,0)， (2,2,0)， (2,0,4)， (0,2,2)，
所以 = (0,2,0)， = (0, 2,4)， = ( 2,2, 2)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 + 4 = 0,
则{
= 2 + 2 2 = 0,
令 = 1，则 = (1,2,1)，
易知 = (0,0,1)是平面 的一个法向量，
1 √ 6
所以|cos < ， > | = | | = | | = ，
| || | √ 6×1 6
即平面
√ 6
与平面 夹角的余弦值为 ．
6
(2)由(1)可得 (1,1,6)， 1(2,2,6)， 1 = (0,0,6)，
假设存在满足条件的点 ，设 (2,2, )，
所以 = (1,1, 6)，
因为 //平面 ，
所以 = 1 + 2 + 6 = 0，
解得 = 3．
1
故当 = 时， //平面 ．
1 2
1 1
17.【答案】解：(1)由 = +1 ，可得
+2
2 +1
= ，
2
+2 两式相减可得 +1 =
+1，
2 +2
= 3 +1，即数列{ }的公比为3．
1 3 1
当 = 1时， 1 =
2 ，则 1
2 1
= ，
2
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解得 1 = 1，所以
1 1
= 1 × 3 = 3 ．
(2) = (2 1) = (2 1) 3
1
，
= 1 + 3 × 3 + 3
2 × 5 + + 3 1 (2 1)，
3 = 3 × 1 + 3
2 × 3 + 33 × 5 + + 3 (2 1)，
则 3 = 2 = 1 + 2 × (3 + 3
2 + + 3 1) 3 (2 1)，
3 3
即 2 = 1 + 2 × 3
(2 1) = 1 + 3 3 3 (2 1)，
1 3
解得 = 1 + 3 ( 1)．
3
+1
由 +1 1 ≤ 4 ，可得 ≥ 4
．
( +1) 3 +2
3 +1
令 = ，则 +1 = 4
+1 3 +3
= ． 4 3 +1 4
4

当1 ≤ < 3时， +1
3 +3
= > 1，
4

当 = 3时， +1
3 +3
= = 1，
4
+1 3 +3当 > 3时， = < 1，
4
243
所以 1 < 2 < 3 = 4 > 5 > 6 > 7 > ，所以 ≥ 3 = ， 64
243
所以 的取值范围为[ , +∞).
64

18.【答案】解：(1)由题可知 (0, )，所以0 + 2 × 2 = 0，解得 = 2，
2 2
所以 的方程为 2 = 4 ．
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，由题可知 (0,1)， ( 2,1)，
依题意知直线 的斜率必存在，设直线 的方程为 = + 1．
= + 1,
由{ 2 整理得
2 4 4 = 0，则 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4． = 4 ,
21
2
1 1 2 1
2 1 2
1 = =
4 = 1 ， = 2 = 4 = 2 ，
1+2 1+2 4 2+2 2+2 4
1 2 2因为 ⊥ ，所以 2 = 1，
4 4
所以 1 2 2( 1 + 2) + 4 = 16， 4 8 + 4 = 16，
解得 = 2，所以直线 的方程为2 + 1 = 0．
(3)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，直线 的方程为 = + ，
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= + ,
由{ 整理得 22 4 4 = 0， = 4 ,
则 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4 ，
= 16 2 + 14 > 0,
因为 ， 在 轴的两侧，所以不妨设 1 > 0， 2 < 0，由{ 1 2 = 4 < 0,
得 > 0， ∈ .
1 1 1 1
设切线 1， 2的斜率分别为
2
1， 2，又 = ，所以 ′ = ，则 = ′|4 2 1 =
= 1， 1 2 2
= ′| = = 2， 2 2
2 1 2
所以 1的方程为
1 = 1( 1)，即 =
1 1，
4 2 2 4
2
同理可得 2 22的方程为 = ． 2 4
2
= 1

1 1+ = 2
2 4 + 由{ 2 ,解得{
2 1 2 1 2
即 ( , ). 2 = 2 =
1 2 2 4
2 4 4
2 2
令 = 1，可得 ( 1 + , 1)， ( 2 + , 1)，
2 1 2 2
1 2 2 2 1 2 1 1
| | = ( + ) ( + ) = ( 1 2)( ) = ( 1 2 2 2 2
)( + )
1 2 1 2 2 2
1 1
= √ ( 1 + 22) 4 1 2( + ) 2 2
1 1
= 4√ 2 + ( + ).
2 2

点 到直线 = 1的距离为1 1 2 = 1 + ，
4
1 1 1 1 1
故△ 的面积为 × (1 + ) × 4√ 2 + ( + ) = √ 2 + (2 + + ) ≥ √ (2 + + ). (当 = 0
2 2 2
时，等号成立)
1 1
令√ = ， ∈ [0,+∞)，记 ( ) = 3 + 2 + ，则 ′( ) = 3 2 + 2，
2
√ 3 √ 3 √ 3 √ 3 16√ 3
令 ′( ) > 0，则 > ，所以 ( )在(0, )上单调递减，在( , +∞)上单调递增，所以 ( )
3 3 3 min
= ( ) = ，
3 9
16√ 3
故△ 面积的最小值为 ．
9
19.【答案】(1)解：因为 1 > ，则 (
2 3
2 1) ( 2) ( 1 2) = (2 1 + 1) (2
3
2 + 2) (
2
1 2)
= 2( 2 2 21 2)( 1 + 1 2 + 2) + ( 1 2) ( 1 2)
= ( 2 21 2)(2 1 + 2 1 2 + 2 2 + 1 1 + 2)
1 1 1
= ( 1 2)[(
2 2
1 + 2) + ( 1 ) + ( + )
2
2 + ] > 0， 2 2 2
即 ( 1) ( 2) > ( 1 2)
2，
所以函数 ( ) = 2 3 + 在区间 上为1级速增函数．
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(2)证明：因为函数 = ( )在区间(0,+∞)上为2级速增函数，
所以任意 1， 2 ∈ (0,+∞)， 1 > 2，都满足 ( 1) ( 2) > 2(
2
1 2) ，
已知 ∈ +，令 1 = + 1， 2 = ，所以 ( + 1) ( ) > 2，
故 ≥ 2时， ( ) = [ ( ) ( 1)] + [ ( 1) ( 2)] + + [ (2) (1)] + (1) > 2( 1) +
(1) = 2 1;
(3)解：由题设，令 1 2 = > 0，而 ( 1) ( 2) = 1
1 22 > (
2
1 2) ，
( +
所以 < 2
+ ) 2 2 2 1
2 = 2
2 22 + 在 2， ∈ (0,+∞)上恒成立．
1
令 ( ) = + 2 ，则 ( )在 ∈ (0,+∞)上单调递增，

则 ( ) > (0) = ，

( 1)
令 ( ) = ，则 ′( ) = ，
2
所以在 ∈ (0,1)上， ′( ) < 0，即 ( )在(0,1)上单调递减，在 ∈ (1,+∞)上， ′( ) > 0，即 ( )在(1,+∞)上
单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = ．
综上， ( 2) > ，
故只需 ≤ ，
即 的取值范围为( ∞, ]．
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