山东省济宁市2025届度高三上学期1月期末质量检测数学试卷（含答案）

山东省济宁市2025届度高三上学期1月期末质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知函数且，若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再将函数的图象向下平移个单位长度，所得图象与的图象重合，则实数( )
A. B. C. D.
6.若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线交的右支于点，且，则的离心率等于( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在上单调递增
C. 在上有两个极值点
D. 点是曲线的一个对称中心
10.已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知正方体的棱长为，为棱的中点，则( )
A. 直线与所成的角为
B. 平面
C. 过点且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为
D. 以为球心，为半径的球面与侧面的交线的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点在抛物线：上，则点到抛物线的准线的距离是 ．
13.已知，则 ．
14.已知点，点在曲线上，则其中为坐标原点的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求证：；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知数列满足，，记．
证明：数列是等差数列；
记，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在正三棱柱中，为棱的中点，．
证明：平面；
若直线到平面的距离等于，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数，．
讨论函数零点的个数；
若，求的最大值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，对于给定的点集，，若中的每个点在中都存在点使得两点间的距离最小，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为已知椭圆：的离心率为，其短轴上的点的集合记为，椭圆上的点的集合记为，且．
求椭圆的方程；
已知直线与椭圆相切，且与圆：交于，两点，线段上的点的集合记为，圆上的点的集合记为．
若点为圆上的一个动点，当的面积最大时，求；
求的值．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.【小问详解】
在中，由余弦定理得，
即，整理得，
由正弦定理得，整理得，
所以．
【小问详解】
由知，，
由余弦定理得，即，解得，，
所以的面积为．

16.【小问详解】
因为
，
所以数列是以为公差的等差数列．
【小问详解】
因为，所以，
所以，
所以，
所以
．

17.【小问详解】
证明：连接交于点，则为的中点，连接
为棱的中点
又平面，平面，
所以平面
【小问详解】
方法一为棱的中点，
直线到平面的距离即为点到平面的距离，
点到平面的距离等于
设，则，，，
，
过点作，则平面，
如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，
所以，，，
设平面的法向量为
则，即
令，则，，
所以平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，，
所以平面的一个法向量，
所以
所以平面与平面夹角的余弦值为
方法二过点作，则平面，如图所示，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
所以，，，，
所以，，，，，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，，
所以平面 的 一个法向量，
所以点到平面的距离，
平面的一个法向量
设平面的法向量为，
则，即
令，则，，
所以平面的一个法向量，
所以，
所以，平面与平面夹角的余弦值为

18.【小问详解】
因为，，
当时，，所以的零点个数为；
当时，由得，
令，则，
当或时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，；当时，，，，
作出的大致图象，如图，
所以当，即时，与的图象没有交点；
当，即时，与的图象有个交点；
当，即时，与的图象有个交点；
当，即时，与的图象有个交点；
综上，当时，函数有个零点；当时，函数有个零点；
当时，函数有个零点；当时，函数有个零点．
【小问详解】
因为，所以，
因为，则，
令，则，
当时，由与的性质可知，
当时，，，
所以不恒成立，不符合题意；
当时，，只需，所以；
当时，则当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
所以，即，
所以，
令，，则，
易知当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
所以，所以，
当且仅当，时，，
所以的最大值为．

19.【小问详解】
由题目条件，可得，
又因为离心率为，所以，
所以，，
所以椭圆的方程为．
【小问详解】
设圆心到直线的距离为．
当直线的斜率存在时，设的方程为，
联立消去得，
由直线与椭圆相切，得，
整理得，
则，
，，，即
则的面积为
，
设，
则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
因此当时，取得最大值，此时的最大值为，
当直线的斜率不存在时，
由可知，直线的方程为，
联立，可求得，
，
由于，所以的面积最大时，．
对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点，
则是圆上与最近的点，
当为线段的中点时，取得最大值，所以．
对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点，
则是圆上与距离最近的点，
当为线段的中点时，取得最大值，所以，
对于圆上任意点，由向线段引垂线，垂足为，
当在线段上时，则是线段上与距离最近的点，
当不在线段上时，则线段上的点与点距离最近的点的距离小于，
所以当经过圆心时，取得最大值，
所以；
所以．

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