天津市河西区2025届高三上学期期末质量调查数学试卷（含答案）

天津市河西区2025届高三上学期期末质量调查数学试卷
一、单选题：本大题共9小题，共45分。
1.已知全集，则( )
A. B. C. D.
2.已知曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.某中学组织高中学生参加数学知识竞赛，现从中随机抽取名学生成绩的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数为( )
A. B. C. D.
5.已知函数为奇函数，一个周期为，则 的 解析式可能为( )
A. B. C. D.
6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
9.如图，在体积为的三棱锥中，分别为棱上的点，且，记为平面的交点，记三棱锥的体积为，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
10.是虚数单位，复数满足，则 ．
11.展开式中的常数项为 ．
12.已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为 ．
13.甲袋中有个白球个黑球，乙袋中有个白球个黑球若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是 ；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是 ．
14.在中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆上的两个动点，线段过点，则可用表示为 ；的最小值为 ．
15.若函数在上恰有个零点，则符合条件的的个数为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，内角所对的边分别为，已知．
求角的大小；
设．
求的值；
求的值．
17.如图所示，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，点在平面上的投影为线段的中点分别是线段的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且．
求椭圆的方程；
设斜率不为的直线过点，与椭圆交于两点，点分别为直线与轴的交点，记的面积分别为，求的值．
19.已知公差不为零的等差数列的前项和为成等比数列，．
求数列的通项公式及；
设，求的最小值，并求取得最小值时的值；
设其中，求．
20.已知函数的导函数为，为自然对数的底数．
当时，求函数在点处的切线的斜率；
若且函数在上是单调递增函数，求的取值范围；
若满足，证明：．
参考答案
1.
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14. ． ．
15.
16.【小问】
在中，由及正弦定理，得，
即，则，
由，得，又，
所以．
【小问】
由及余弦定理，得，
整理得，而，解得，
所以．
由正弦定理，得，
由，得，则，
因此，
所以．

17.【小问】
证明：点在平面上的投影为线段的中点平面，
四边形是直角梯形，，
，且，
如图，以为原点，分别以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得，，
所以，，
设平面的一个法向量，
则，则
令，故，
，
平面，
平面．
【小问】
由，，
设平面的一个法向量，
则，则
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【小问】
设点到平面的距离为，由，
则，
所以点到平面的距离为．

18.【小问】
由点在椭圆上，且，
得，即，于是，解得，
所以椭圆的方程为．
【小问】
由知，设直线，
由消去得，，
直线的方程为，令，得点的纵坐标，
同理得点的纵坐标，又，
所以
．

19.【小问】
设等差数列的公差为，
由题意得，解得
故数列的通项公式，．
【小问】
由得，
当且仅当，即时，等号成立，
，当时，；当时，，
所以当时，取得最小值．
【小问】
当时，，
当时，，可知数列是等差数列，
，
．

20.【小问】
当时，，
，
所以函数在点处的切线的斜率为．
【小问】
当时，，
因为在上是单调递增函数，所以在上恒成立，
令，则，
当时，，
令，所以在上递增，
即，所以在上恒成立，符合题意；
当时，，且在为单调递增函数，
所以存在唯一使得，
所以当时，在递减，
即，不符合题意；
综上所述．
【小问】
证明：，
当时，由可知是增函数，所以，
设，
移项得，
由知，即，
所以，即，
设，
所以当时，，即，
所以当时，，即，
所以，
代入式中得到
即，所以，
即命题得证．

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