天津市河东区2025届高三上学期期末质量检测数学试卷（含答案）

天津市河东区2025届高三上学期期末质量检测数学试卷
一、单选题：本大题共9小题，共45分。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，则“”是“”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于分的人数为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则这三个数的大小顺序是( )
A. B. C. D.
6.如图，正三棱柱的底面边长为，高为，已知为棱的中点，分别在棱上，，记四棱锥，三棱锥与三棱锥的体积分别为，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则下列说法中，正确的是( )
A. 的最小值为
B. 在区间上单调递增
C. 的最小正周期为
D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
8.抛物线：的焦点是双曲线：的右焦点，点是曲线，的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为．
A. B. C. D.
9.已知且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
10.已知为虚数单位，复数，则复数的虚部为
11.在的展开式中，的系数是 ．
12.已知圆与抛物线的准线交于两点，且，则的值为 ．
13.某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ．
14.在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ．
15.已知函数，若有三个不等零点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.的内角的对边分别为，已知，．
求；
若，求．
17.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，点在线段上，且．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面所成角的正弦值．
18.已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
求椭圆的方程；
过点的直线斜率为，与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交交于点，，当时，求的取值范围．
19.设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知，．
求和的通项公式；
设数列的前项和记，求；
求．
20.已知函数与为函数的极值点．
求的值；
求在点处的切线方程；
若恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.或
11.
12.
13.

14.

15.
16.解：
因为，由余弦定理有：，所以；
因为，由正弦定理得：，所以，
所以．
因为，所以，
，
．

17.解：
证明：如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，得，，，
所以，，即，，又，所以平面；
解：由可是，
由，可得，所以，
设为平面的法向量，
则不妨设，则，故，
设直线与平面所成角为，所以，
则直线与平面所成角的正弦值为；
解：因为为平面的法向量，设二面角的大小为，
所以，所以则二面角的正弦值为．

18.解：
因为椭圆过，故，
因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，
故椭圆的标准方程为：．
设，
因为直线的斜率存在，故，
故直线，令，则，同理．
直线，由可得，
故，解得或．
又，故，所以
又
故即，
综上，或．
19.解：
设数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，公比大于，其前项和为．
已知，所以，解得，则，
由于，所以，，解得，则．
由知：，所以，
所以．
【小问详解】
由得，设，
所以，，
得：，
整理得．

20.解：
由题意可为，的定义域为
因为在处取得极值，所以，解，
当时，单调递增；当时，单调递减，
经检验，符合题意，
所以．
所以切线方程为．
．
若恒成立，则，
由，
因为，所以，
令，则，
令，则，
所以在区间上单调递增，
因为，，
所以存在唯一，使得，
即，即
令，则，
所以函数在上单调递增，
因为，则，，由，
则，所以，
当时，，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
则，
所以实数的取值范围为

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