2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）1月综合自主测试数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）1 月综合自主测试数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变
化的为( )
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
2.已知集合 = { 5, 1,1,5}， = { | < < + 3}，若 ∩ 中有2个元素，则实数 的取值范围是( )
A. ( 2, 1) B. [ 2, 1] C. ( 2,2] D. [ 5, 1)
3.已知数列{ }是等差数列，若 、 、 ∈
，则“2 = + ”是“2 = + ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数 ( ) = cos ln(2 +2 )在区间[ 3 , 3 ]上的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带
有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为1斗，其形状可近
似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米(米均
匀分布在米斗中)，则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为( )
3 9 3√ √7 2√ 3 √ 14A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
2 2 3 2
3
6.已知函数 ( ) = sin + 2 2 ( > 0)在区间( , )上单调递增，则 的取值范围是( )
2 2 4
2 8 5 1 5
A. (0,4] B. (0, ] ∪ [ , 4] C. [ , 3] D. (0, ] ∪ [ , 3]
3 3 2 3 2
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7.已知数列{

}满足 1 = 1,

+1 = ( ∈ N ).记数列{ }的前 项和为 ，则( ) 1+√
3 9 9
A. < 100 < 3 B. 3 < 100 < 4 C. 4 < 2 100
< D. < < 5
2 2 100
8.已知 ， ， ， 是半径为2的圆 上的四个动点，若 = = 2，则 的最大值为( )
A. 6 B. 12 C. 24 D. 32
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 1， 2， 3，下列说法正确的有( )
A. 若 1 1 = 2 2，则|
2
1| = | 2| B. 若 1 +
2
2 = 0，则 1 = 2 = 0
C. 若 1 2 = 1 3，则 1 = 0或 2 = 3 D. 若| 1 2| = | 1 + 2|，则 1 2 = 0

1
10.已知二项式( 2 + ) (其中 ∈ )的展开式中存在常数项，且展开式的项数不超过9，则下列说法正确

的是( )
A. 的所有取值组成的集合中有且仅有3个元素
B. 若当 取最大值时常数项为30，则 = ±√ 2

1
C. 若当 取最小值时函数 ( ) = ( 2 + ) 的图象在点(
1
1, (1))处的切线与 轴平行，则 =
2
D. 若二项展开式中的所有项的系数和为0，则 = 1

11.对于 ∈ [0,1], ( )满足 ( ) + (1 ) = 1, ( ) = 2 ( )，且对于0 1 2 1.恒有 ( 1) ( 2).则3
( )
A. ∑100 =1 (
) 101 1 1= B. ( ) = 2 ( )
100 2 6 24
( 1 ) 1 1 1C. = D. ≤ ( )
1
≤
80 80 32 160 16
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 , 是空间中两个不同的平面， ， ， 是空间中三条不同的直线， // , , , ⊥ , ⊥ ，
给出下列五个结论，请写出一个一定正确结论的序号 .① // ；② , 是异面直线；③ , 没有公共点；
④ 与 没有公共点；⑤ ⊥ ．
2 2
13.已知双曲线 : 2 = 1(2 > 0, > 0)的左焦点为 ，过 的直线 交圆
2 + 2 = 2于 ， 两点，交 的

右支于点 ，若| | = | | = | |，则 的离心率为 ．
14.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究
》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的
应用.已知对于正整数 ， ( ≥ 2)，若存在一个整数 ，使得 整除 2 ，则称 是 的一个二次剩余，否则
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为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数 ，记事件 =“ 与12互质”， =“ 是12的二次
非剩余”，则 ( ) = . ; ( | ) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数 ( ) = + + 2，曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线与 轴平行．
(1)求实数 的值；
(2)若对于任意 ∈ [ ,+∞), ( ) ≤ 恒成立，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮
片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，
所有的比赛项目均采用2 1( 2, ∈ )局 胜的单败淘汰制，即先赢下 局比赛者获胜.造房子游戏是同
学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率
为 (0 < < 1)，乙获胜的概率为1 ．
2
(1)若 = 2， = ，设比赛结束时比赛的局数为 ，求 的分布列与数学期望；
3
(2)设采用3局2胜制时乙获胜的概率为 2，采用5局3胜制时乙获胜的概率为 3，若 3 > 2，求 的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，在底面为正方形的四棱锥 中，∠ = 60 ，∠ = 45 ， = 2 = 2．
(1)求证： ⊥平面 ．
(2)若 = ( > 0)，且三棱锥 的 体积是四棱锥 体积的一半．
①求点 到平面 的距离；
②求平面 与平面 所成二面角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，直线 过点 交 于 ， 两点， 在 ， 两点的切线相交于点 ，
的中点为 ，且 交 于点 .当 的斜率为1时，| | = 8．
(1)求 的方程;
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(2)若点 的横坐标为2，求| |;
(3)设 在点 处的切线与 ， 分别交于点 ， ，求四边形 面积的最小值．
19.(本小题12分)
定义两个 维向量 = ( ,1 , ,2 ,… , , )， = ( ,1 , ,2 ,… , , )的数量积 = ,1 ,1 + ,2 ,2 + +
2
, , ( , ∈ +)， = ，记 ， 为 的第 个分量( ≤ 且 ∈ +).如三维向量 1 = (2,1,5)，其中 1
的第2分量 1 ,2 = 1.若由 维向量组成的集合 满足以下三个条件：①集合中含有 个 维向量作为元素；②集
2 2
合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素 ， ，满足 = = ( 为常数)且 = 1.
则称 为 的完美 维向量集．
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在 为 的完美 维向量集，求证： 的所有元素的第 分量和 = ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】③(或④)
√ 97
13.【答案】
5
7 5
14.【答案】 ；
20 7
15.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = + +2，
可得 ′( ) = + 1，
所以 ′(1) = + 1，即曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线的斜率为 = + 1，
因为曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线与 轴平行，
1
所以 + 1 = 0，解得 = ，

1
故实数 的值为 ；

(2)由(1)知 ( ) = 1 + +2，
因为 ≥ ，所以由 1 + + 2 ≤ ，
1 2
即 ≥ + +1，

1 2
设 ( ) = + + 1( ≥ )，

1 1 2
则 ′( ) =
2 2
1(1 ) 2
= 2 < 0在[ ,+∞)上恒成立，
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所以函数 ( )在[ , +∞)上单调递减，
所以 ( ) 2
2
max = ( ) = + +1，
所以 ≥ 2
2
+ + 1，

2
即实数 的取值范围是[ 2 + + 1,+∞)．

16.【答案】解：(1)因为 = 2，所以比赛采用3局2胜制， 的所有可能取值为2，3，
2 1 5
( = 2) = ( )2 + ( )2 = ，
3 3 9
2 1 2 1 4
( = 3) = 1 × ( )22 × +
1 2
3 3 2
× × ( ) = ，
3 3 9
故 的分布列为
2 3
54

99
5 4 22
所以 ( ) = 2× +3 × = ．
9 9 9
(2)由题意知 = (1 )2 + 12 2 (1 )
2 = (1 )2(1+ 2 )，
3 = (1 )
3 + 2(1 )3 + 2(1 )3 23 4
= (1 )2( 6 3 + 3 2 + 2 +1)．
由 > 得(1 )2( 6 33 2 + 3
2 + 2 +1) > (1 )2(1+ 2 )，
且0 < < 1，则(1 )2 > 0，
可得 6 3 + 3 2 +2 + 1 > 1 +2 ，
1
整理得1 2 > 0，解得0 < < ，
2
1
所以 的取值范围为(0, )．
2
17.【答案】解：(1)
解法一：因为四棱锥 的底面为正方形，所以 ⊥ ，
因为∠ = 60 ， = 2 = 2，
所以在 中，根据余弦定理得：
2 = 2 + 2 2 cos∠ = 22 + 12 2 × 2 × 1 × cos60 = 3，
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所以 2 = 2 + 2，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
2
解法二：因为 = ( + ) = + ，
2 1
= + | | | |cos60 = 1 + 1 × 2 × = 0，
2
所以 ⊥ ，所以 ⊥ ，
因为四棱锥 的底面为正方形，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
(2)
①在底面为正方形的四棱锥 中，
以 为坐标原点， ， 分别为 ， 轴，
过 且垂直于平面 的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (1,0,0)， (1,1,0)， (0,1,0)，
设 ( , , )( > 0)，则 = (0,1,0)， = ( 1, , )， = ( 1,0,0)，
所以 = ， = 1 ，
因为∠ = 60 ，∠ = 45 ，
所以 = | | | | cos∠ = 1 × 2 × cos60 = 1，所以 = 1，
因为 = | || |cos∠ = 2 × 1 × cos45 = √ 2，
所以1 = √ 2，解得 = 1 √ 2，
所以 = ( √ 2, 1, )，
2
则| | = √ ( √ 2) + 12 + 2 = 2，
又 > 0，所以 = 1，
所以 = ( √ 2, 1,1)， (1 √ 2, 1,1)，
连接 ，因为三棱锥 的体积是四棱锥 体积的一半，
1 1
所以 = = × 2 2 2 = = ，
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又 = ( > 0)， ⊥平面 ，
所以 // ，且 = = 1，
所以 = (0,1,0)， (1 √ 2, 2,1)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1 , 1)，

则{
= 0 { √ 2 1 + 1 + 1 = 0，得 ，取 = 1，则 = (1,0, √ 2)，

1
= 0 1 = 0
设点 到平面 的距离为 ，
| |
因为 = (
1 √ 3
1,1,0)，所以 = = = ，
| | √ 2 3 12+02+(√ 2)
√ 3
即点 到平面 的距离为 ．
3
②由①知，平面 的一个法向量为 = (1,0, √ 2)，
设平面 的法向量为 = ( 2, 2 , 2)，
易知 = ( 1,0,0)， = ( √ 2, 1,1)，
= 0 2 = 0由{ ，得{ ，取 2 = 1，则 = (0,1, 1)， = 0 √ 2 2 + 2 + 2 = 0
√ 2 √ 3
所以cos , = = = ，
| || | √ 3×√ 2 3
设平面 与平面 所成二面角为 ，
2
√ 3 √ 6
则sin = √ 1 2 = √ 1 2 , = √ 1 ( ) = ，
3 3
√ 6
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ．
3
18.【答案】解：(1)由题意，直线 的斜率必存在．

设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)， 2
> 0,
= + ,
联立{ 2 得 2 2 2 = 0，( )，所以{ 1 + 2 = 2 ,
2 = 2 , 21 2 = .
当 = 1时， 1 + 2 = 2 ，

此时| | = 1 + 2 + = ( 1 + )+ ( 2 + ) + = ( 1 + 2)+ 2 = 8， 2 2
所以4 = 8，即 = 2．
所以 的方程为 2 = 4 ．
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(2)由(1)知， 中点 (2 , 2 2 +1)．

因为 2 = 4 ，所以 ′ = ，
2
1 1 1
则直线 方程为 1 = ( 1)，即 = 1
2
1， 2 2 4
1 1
同理，直线 方程为 = 2，
2 2 4 2
1 1
2 2
所以 = 4
1 4 2 1+ 2
1 = = 2 ，
( 1 ) 22 2
1( 1+ )
2
2
= 1
1 2
= = 1，所以 (2 , 1)． 4 4 4
因为 = 2，2 = 2，即 = 1，此时 (2,3)， (2, 1)，
所以直线 的方程为 = 2，
代入 2 = 4 ，得 = 1，所以 (2,1)，
所以| | = 2．
(3)由(2)知 (2 , 2 2 + 1)， (2 , 1)，
所以直线 方程为 = 2 ，
代入 2 = 4 ，得 = 2 2，所以 (2 , 2 2)，所以 为 的中点．
1
因为 在 处的切线斜率 ′ = × 2 = ，
2
所以 在 处的切线平行于 ，
又因为 为 的中点，所以
由(1)中( )式得 2 4 4 = 0，所以 1 + 2 = 4 ，
因为直线 方程为 = + 1，
所以| | = 1 + 2 + = ( 1 +1) + (
2
2 + 1) + 2 = ( 1 + 2)+ 4 = 4 + 4．
2
|2 +2| 2
又 (2 , 1)到直线 的距离 = = 2√ + 12 ， √ +1
3
所以 1 1 2 2 2△ = | | = (4 + 4) 2√ + 1 = 4( + 1)2 ≥ 4， 2 2
(当且仅当 = 0时取“=”)
所以 ，
所以四边形 的面积的最小值为3．
19.【答案】解：(1)依题意得，集合 中含有3个元素 ( = 1,2,3)，且每个元素中含有三个分量，
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2 2 2
∵ 1 = 2 = 3 = 2，
∴每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0，
所以每个元素可以是(1,1,0)、(1,0,1)或(0,1,1)，
又 1 2 = 1 3 = 2 3 = 1，所以每个元素各不相同，
所以2的完美3维向量集为 = {(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)}．
(2)依题意知，完美4维向量集 含有4个元素 ( = 1,2,3,4)，且每个元素中含有四个分量，
∈ {0,1,2,3,4}．
( )当 = 0时， ∈ {(0,0,0,0)}，不满足条件③，舍去，
( )当 = 1时， ∈ {(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)}，不满足条件③，舍去，
(ⅲ)当 = 2时， ∈ {(1,1,0,0)，(1,0,1,0)，(1,0,0,1)，(0,1,1,0)，(0,1,0,1)，(0,0,1,1)}，
因为(1,1,0,0) (0,0,1,1) = 0，故(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一个在集合 中；
同理(1,0,1,0)和(0,1,0,1)及(1,0,0,1)和(0,1,1,0)也至多一个在集合 中，故集合 中的元素个数小于4，不满足
条件①，舍去，
( )当 = 3时， ∈ {(1,1,1,0)，(1,1,0,1)，(1,0,1,1)，(0,1,1,1)}，不满足条件③，舍去，
( )当 = 4时， ∈ {(1,1,1,1)}，不满足条件③，舍去，
综上所述，不存在完美4维向量集．
(3)依题意得， 的完美 维向量集 含有 个元素 ( = 1,2, , )，且每个元素中含有 个分量，
2
∵ = ，∴每个元素中有 个分量为1，其余分量为0，∴ 1 + 2 + + = ( )，
由(2)分析知 ≠ 0，1， ，故2 ≤ < ，
假设存在 ，使得 +1 ≤ ≤ ，不妨设 + 1 ≤ 1 ≤ ，
( )当 1 = 时，如图1，由条件 ③知 = 0或 = 1( ≠ 1)，
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此时 1 + 2 + + ≤ + ( 1) = 2 1 < 2 ≤ ，与式( )矛盾，不合题意．
( )当 + 1 ≤ 1 < 时，如图2所示，
记 = 1, + 2, + + , ( = 1,2, ， )，
不妨设 1,1 = 2,1 = = +1,1 = 1， ,1 = 0， ,2 = = , +1 = 1．
下面研究 1 ， 2 ， ， + 1 的前 + 1个分量中所有含1的个数．
一方面，考虑 1 ， 2 ， ， + 1 中任意两个向量的数量积为1，
故 1, ， 2, ， ， +1, ( = 2,3, ， +1)中至多有1个1，
故 1 ， 2 ， ， + 1 的前 + 1个分量中，所有含1的个数至多有( + 1) + = 2 +1个1( )．
另一方面，考虑 = 1( = 1,2, ， + 1)，故 1 ， 2 ， ， + 1 的前 + 1个分量中，
含有( + 1) + ( + 1) = 2 +2个1，与式( )矛盾，不合题意，
故对任意 ≤ 且 ∈ +， ≤ ，由( )得 = ．
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