2024-2025学年北京市丰台区高三上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市丰台区高三上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本大题共10小题，共40分。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数( )
A. B. C. D.
3.设，为非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，满足“，”的是( )
A. B.
C. D.
6.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，且点在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点若经过的圆弧的长为，则点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
7.如图，在三棱锥中，与都是边长为的等边三角形，且，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.溶液酸碱度是通过计量的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度单位：室温下，溶液中氢离子和氢氧根离子的浓度之积为常数，即，其中表示溶液中氢氧根离子的浓度单位：室温下，某溶液的值为，若加水稀释后，该溶液的值变为，则稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为( )
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，则对任意实数，的最小值为( )
A. B. C. D.
10.各项均为正整数的数列，，，，，，，为递增数列从该数列中任取项构成的递增数列既不是等差数列也不是等比数列，则有序数对的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.设抛物线的准线方程为 ．
12.在的展开式中，的系数为 用数字作答
13.在中，，．
若，则 ；
面积的最大值为 ．
14.已知函数，，，，则 ；方程的所有实数解的和为 ．
15.已知曲线、为常数，给出下列四个结论：
曲线关于坐标原点对称；
当时，曲线恒过两个定点；
设、为曲线上的两个动点，则存在，，使得有最大值；
记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，存在，使得．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.已知函数，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使唯一确定，求：
的值及的单调递增区间；
在区间上的最大值和最小值．
条件：函数图象的相邻两个对称中心间的距离为；
条件：函数的图象可以由函数的图象平移得到；
条件：直线为函数图象的一条对称轴．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.为弘扬社会主义核心价值观，加强校园诚信文化建设，提升中小学生的信息技术素养，某市开展了“中小学诚信主题短视频征集展示活动”，入围短视频在某公共平台展播其中，，，，，，这个入围短视频展播前天的累计播放量如下表：
短视频
前天累计播放量万次
从这个入围短视频中随机选取个，求该短视频前天的累计播放量超过万次的概率；
某学生从这个入围短视频中随机选取个观看，记为选取的个短视频中前天的累计播放量超过万次的个数，求的分布列和数学期望；
若这个入围短视频第天的单日播放量如下表：
短视频
第天单日播放量万次
记这个入围短视频展播前天的累计播放量的方差为，前天的累计播放量的方差为，试比较与的大小关系结论不要求证明
19.已知椭圆的上顶点为，离心率为．
求椭圆的方程；
设为椭圆的下顶点，动点到坐标原点的距离等于与，不重合，直线与棈圆的另一个交点为记直线，的斜率分别为，，问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20.已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求的极值；
设函数，求证：的最小值大于．
21.给定数列：，，，和序列：，，，，其中满足：；对数列进行如下次变换：将的第项，第项，第项，第项分别加，，，后得到的数列记作；将的第项，第项，第项，第项分别加，，，后得到的数列记作；；以此类推，得到数列，简记为．
已知数列：，，，，写出一个序列：，，使得为，，，；
对数列：，，，，是否存在序列：，，，，使得中恰有三项相等？若存在，写出一个序列，若不存在，说明理由；
对数列：，，，，若存在序列：，，，，使得中恰有三项相等，求的所有取值．
参考答案
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16.取的中点，连接，．
因为为的中点，所以，．
又因为，，所以，且．
所以四边形是平行四边形所以．
又因为平面，平面，所以平面．
因为平面，所以，．
又因为，所以如图建立空间直角坐标系，
则，，所以，．
设平面的一个法向量为，
则即
令，则于是．
不妨取平面的一个法向量为．
设平面与平面夹角为，则．
所以平面与平面夹角的余弦值为．

17.．
选择条件：
因为函数图象的相邻两个对称中心间的距离为，所以，故．
因为，所以．
因为，令，
即，所以的单调递增区间为．
选择条件：
因为函数的图象可以由函数的图象平移得到，
所以函数与函数的周期相同，故．
因为，所以所以．
以下解答过程同选择条件．
选择条件：因为为图象的对称轴，
所以，即，
故，其中，此时不唯一，故不选．
选择条件或时，
因为，所以，
当，即时，取最大值，最大值为；
当，即时，取最小值，最小值为．

18.这个入围短视频中，前天的累计播放量超过万次的有个．
设事件“从这个入围短视频中随机选取个，该短视频前天的累计播放量超过万次”，
则．
的所有可能取值为，，，，
，，
，，
所以的分布列为：
．
前天累计播放量的平均数为：，
所以．
前天累计播放量的平均数为：
前天累计播放量的平均数为：
所以
所以．

19.由题意得解得，．
所以椭圆的方程为．
因为为椭圆的下顶点，所以．
设且，则直线的斜率．
由点到坐标原点的距离等于，可知点在以为直径的圆上，
所以直线与直线垂直．
由题意得直线的斜率，
所以直线的斜率所以．
因为点在椭圆上，所以，
故，所以，
所以存在，使得恒成立．

20.因为，所以，．
因为，所以曲线在点处的切线方程为．
函数的定义域为令，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：
单调递减 单调递增
当时，取得极小值，极小值为；无极大值．
因为，所以．
因为函数和在上单调递增，
所以在上单调递增．
又，，
所以存在，使得
当变化时，，的变化情况如下表：
单调递减 单调递增
当时，取到最小值，最小值为．
由得，所以设．
因为，在区间上单调递减，
所以，即所以函数的最小值大于．

21.，．
或，
不存在．
由条件可得，，，，四个数中恰有三个和一个，即都是奇数．
因此得到结论：对数列进行一次变换，新数列的每项与原数列对应项奇偶不同．
假设对数列：，，，，存在序列：，，，，
使得中恰有三项相等．
由于数列：，，，中，，，三项是偶数，是奇数，
由结论可得，只能，，这三项经过一系列变换后相等．
若在次变换中，经过次“”的变换和次“”的变换后，
结果为；
经过次“”的变换和次“”的变换后，结果为．
所以，即，偶数等于奇数，矛盾．
所以不存在序列：，，，使得中恰有三项相等．
数列：，，，中，，两项是奇数，是偶数，
由中的结论可得，，，这三项经过次变换后相等．
设在次变换中，经过次“”的变换和次“”的变换后，
结果为；
经过次“”的变换和次“”的变换后，结果为；
经过次“”的变换和次“”的变换后，结果为；
所以且，
即且．
令，则，．
当时，于是；
当时，于是；
当时，于是；
当时，于是；
当时，于是；
当时，，且，于是，
即，与矛盾．
综上，，且

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