2024-2025学年北京市朝阳区高三上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区高三上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本大题共10小题，共40分。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知抛物线若其焦点到准线的距离为，则抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
4.函数的图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
5.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知圆，过点的直线与圆交于两点．当取最小值时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
7.沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的，则这些细沙的体积为( )
A. B. C. D.
8.若函数，恰有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.“三分损益法“是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽“，则“宫“与“角“所对琴弦长度之比为( )
A. B. C. D.
10.设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论：
若，则是间隔递减数列；
若，则是间隔递减数列；
若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是．
其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.在的展开式中，的系数为 用数字作答
12.双曲线的渐近线方程是 ；设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则 ．
13.使不等式成立的一个的值是 ．
14.已知为所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则 ； ．
15.在棱长为的正方体中，点在线段上不与重合，于于，以下四个结论：
平面；
线段与线段的长度之和为定值；
面积的最大值为；
线段长度的最小值为．
其中所有正确的结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，．
求；
若，再从条件，条件，条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．
条件：；条件：；条件：
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，的赋能潜力巨大为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了名教师，对使用、、、四种大模型的情况统计如下：
使用大模型的种数性别
男
女
在上述样本所有使用种大模型的人中，统计使用、、、的大模型人次如下：
大模型种类
人次
用频率估计概率．
从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种大模型、、、中的概率；
从该地区使用种大模型、、、中的教师中，随机选出人，记使用的有人，求的分布列及其数学期望；
从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型、、、中的种数分别为，比较的数学期望的大小．结论不要求证明
18.如图，在五面体中，平面，，，，，，分别为的中点，连接．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19.已知函数，其中是常数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求的极值．
20.已知椭圆的离心率为，右顶点为．
求椭圆的方程；
过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．已知点，直线与椭圆的另一个交点分别为证明：直线过定点．
21.已知无穷数列，给定正整数，若数列满足以下两个性质，则称为数列：；
已知和分别为数列和数列，且，求和；
已知正整数数列是数列．
无穷数列满足且为奇数，其中，证明：对于任意的，；
求满足条件的，并写出与对应的所有可能取值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

13.答案不唯一
14.

15.
16.因为，
所以．
由正弦定理得．
又，所以．
又，所以．
选条件：
根据余弦定理有，则．
又，则．
两式相减，解得可得或
所以．
选条件：
由知，则，
所以，不符合题意；
选条件：
因为且，所以．
由正弦定理可知．
又．
所以．

17.记事件为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种大模型”，
则估计．
记事件为“从该地区使用种大模型的名教师中随机选人，该人使用模型”，
根据题中数据，．
的可能取值为，
，
，
．
．
的分布列为
．
由题意可得该地区男，女教师人数分别为：和，
则易求，
，故．

18.因为平面平面，所以．
又因为，平面，所以平面．
又平面，所以．
又因为为线段的中点，所以．
因为，所以．
因为分别为线段的中点，所以．
又，所以即四点共面．
又平面平面，
所以平面．
因为平面，所以．
又，所以两两垂直．
如图建立空间直角坐标系．
于是．
可得
由可得平面．
所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角为，则有
．
则直线与平面所成角的正弦值为．
设是线段上的一点，则存在，使．
，从而．
由点的坐标可得．
设平面的法向量为
则有，即
令，则法向量为
令，即，解得．
此时，又显然有平面，从而平面．
所以，线段上存在点，使得平面，此时．

19.当时，，所以．
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为
，即．
依题意，．
当时，由可知，，
所以在上单调递减，无极值．
当时，．
当时．
，所以在上单调递减，无极值．
时．
时．在上单调递增，
时，在上单调递减．
所以时，取极大值，无极小值．
综上，当时，无极值；
当时有极大值，无极小值．

20.由题意可得，解得
所以椭圆的方程为．
设点，则，且．
直线，即．
由，得．
所以，则．
所以．
所以同理．
依题意，所以．
所以直线的方程为，整理得．
所以直线过定点．

21.根据数列的定义可知：，
则；
根据数列的定义可知：，
则．
假设结论不成立，不妨设为满足且使得取最小的某个整数．
由，可知，因为是奇数，
从而，且，这与最小性矛盾，
所以对于任意的，．
假设及的取值已使得为数列且每一个项均为整数．
由中所定义出的构成数列，
首先证明满足对任意的，有．
若，则，从而；
若，则．
分三种情况讨论
若，则故；
若，则故；
若，则．
又因为为奇数，所以也为奇数，从而有；
综上所述，对任意的，有．
又根据的结论可知必存在某个，使得对于任意的，均有；
由于当时，总有，于是，数列中存在无穷多项小于，
从而，可取某个，使得．
由前面的证明可知只有当且时，
才可使得及同时成立，所以．
又因为对任意的，有，所以对任意，有，
进而对任意均为的次幂．
由，依次得，
因此也为的次幂．显然，只有当时才成立．
因此，只能为．
对，若，则数列的各项为，满足要求．
当时，数列的各项为，也符合题意．
若，则，不满足要求．
综上，，且此时的全部可能取值为．

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