河北省邢台市部分学校2025届高三上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

河北省邢台市部分学校 2025 届高三上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.|(2 )(1 3 )| =( )
A. 4√ 3 B. 5√ 2 C. 2√ 5 D. √ 6
3
2.已知单位向量 和 的夹角为 ，且 = ，则|2 | =( )
4
A. 1 B. √ 2 C. 2 D. 2√ 2
3.已知椭圆的两个焦点为(0, √ 2)，(0, √ 2)，点( 1, √ 2)在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( )
√ 2 √ 2 1 1
A. B. C. D.
2 4 2 4
√ 5 5
4.已知cos( ) = ，则sin( + 2 ) =( )
14 5 14
4 4 3 3
A. B. C. D.
5 5 5 5
5.已知 ， ， 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面， ， ， ∩ = ， ⊥ ，则“ ⊥ ”
是“ ⊥ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.设 是等差数列{ }的前 项和，若 2 = 2， 8 6 = 6，则 8 =( )
A. 12 B. 16 C. 24 D. 32
7.运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到 ， ， 三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个
场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为
( )
A. 72 B. 96 C. 114 D. 124
8.已知函数 ( )是定义在 上的减函数，且 ( 1) 2为奇函数，对任意的 ∈ [ 2,3]，不等式 ( ) +
( 2 1) ≤ 4恒成立，则实数 的取值范围是( )
3 5
A. ( ∞, 3] B. ( ∞, ] C. [13, +∞) D. ( , +∞)
4 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2
9.已知集合 = { |
2
= 1}恰有两个子集，则 的值可能为( )

7 7
A. B. C. 4 D. 4
4 4

10.若过点 ( , 0)恰好可作曲线 = 的两条切线，则 的值可以为( )

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A. B. 2 C. D. 2
11.在棱长为6的正方体 1 1 1 1中， 为 的中点，点 满足 = + 1， ∈ [0,1]， ∈
[0,1]，则下列说法正确的是( )
1
A. 当 = 时， ⊥
2
B. 当 = 时，三棱锥 1 的体积为定值
1
C. 当 = 时， //平面 1 1 2
1
D. 当 = ， = 1时，三棱锥 1 外接球的表面积为86 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12.某篮球运动员投球的命中率是 ，他投球4次，恰好投进3个球的概率为______. (用数值作答)
3
1 1
13.已知数列{ }，{ }满足 + = ， +1 = ，则 1 + 2 + 3 + + 100 = ______． +2
2
14.设 ， 为双曲线 2 = 1上两点，线段 的中点为(4, 0)， 0 > 0，则 0的取值范围为______． 4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在11月感冒易发季节对某一社区男性和女性的感冒情况进行
抽样调研，得到如下2 × 2列联表．
感冒情况 合计
性别
不感冒 感冒
男性 30 15 45
女性 45 10 55
合计 75 25 100
(1)请根据2 × 2列联表，并依据小概率值 = 0.05的独立性检验，分析能否认为性别与感冒情况具有相关性；
(2)利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取5人，再从这5人中选出2人分享发言，记分
享发言中女性的人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望．
2
2 ( )附： = ，其中 = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
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0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题15分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知sin2 + sin2 + cos2 + = 1．
(1)求角 ；
(2)若 为 上一点， ⊥ ， = 2 = 2，求△ 的面积．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， = = √ 5， = 2 = 2， = √ 6，平
面 ⊥平面 ．
(1)证明： ⊥ ．

(2)若点 在线段 上，且平面 与平面 的夹角为 ，求 ．
4
18.(本小题17分)
已知 是抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点， 是抛物线的准线与 轴的交点，且过点 的直线 与 相切于
点 ，| | = 2．
(1)求抛物线 的方程．
(2)设过点 的直线交 于 ， 两点，直线 与 的另一个交点为 ，点 在 与 之间．
( )证明： 轴平分∠ ．
( )记△ 的面积为 1，△ 的面积为 2，求5 2 1的取值范围．
19.(本小题17分)
定义： ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)( 1 < 2 < 3)是曲线 = ( )上三个不同的点，直线 与曲线 = ( )
在点 处的切线平行，若 1， 2， 3成等差数列，则称 ( )为“等差函数”，若 1， 2， 3成等比数列，则
称 ( )为“等比函数”．
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(1)若函数 ( )是二次函数，证明： ( )是“等差函数”．
(2)判断函数 ( ) = 是否为“等差函数”，并说明理由．
(3)判断函数 ( ) = 是否为“等比函数”，并说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
32
12.【答案】
81
100
13.【答案】
101
14.【答案】(0, √ 3) ∪ (2, +∞)
15.【答案】解：(1)零假设为 0：性别与感冒情况不具有相关性．
根据列联表中的数据，
2
2 100×(30×10 45×15) 100计算 = = ≈ 3.030 < 3.841 =
75×25×45×55 33 0.05
，
根据小概率值 = 0.05的独立性检验，没有充分证据推断 0不成立，
即认为性别与感冒情况无关．
30
(2)根据分层随机抽样原理知，男性有5 × = 2(人)，女性有5 2 = 3(人)，
75
所以随机变量 的所有可能取值为0，1，2；
2 1 1 1 3 2 3
计算 ( = 0) = 2 = ， ( = 1) = 3 2 = ， ( = 2) = 3 = ，
2 10 2 55 5
2 10
5
所以 的分布列为
0 1 2
1 3 3

10 5 10
1 3 3 6
所以数学期望为 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × = ．
10 5 10 5
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16.【答案】解：(1)根据题意，可得sin2 + sin2 + = 1 cos2 = sin2 ，
所以sin2 + sin2 sin2 = ，结合正弦定理得 2 + 2 2 = ．
2
2+ 2 1 2 由余弦定理，可得 = = = ，结合 ∈ (0, )，可得 = ．
2 2 2 3
2
(2)因为 ⊥ ，所以∠ = = ．
3 2 6
1

由 = △ = 2 = 2，即 = 21 ，可得 = ． △ ∠
2 6
由(1)可知 2 + 2 2 = ，结合 = 3，解得 = = √ 3．
所以△ 的面积 1 3√ 3 = ∠ = ．
2 4
17.【答案】解：(1)证明：因为 = √ 5， = 1， = √ 6，
所以 2 = 2 + 2，所以 ⊥ ，
又因为平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 ．
又因为 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)如图，取 为 的中点，连接 ，
在平面 中，作 ⊥ ， 交 于点 ，
因为 = = √ 5，所以 ⊥ ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又所以 平面 ，所以 ⊥ ，
以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,1,0)， (0, 1,0)， (0,0,2)， (1,1,0)，
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设 = (0 ≤ ≤ 1)，即 = (1,1, 2)，可得 ( , , 2 2 )，
所以 = (0,2,0)， = ( , 1,2 2 )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，则 ⊥ ， ⊥ ，
= 2 = 0
所以{ ，
= + ( 1) + (2 2 ) = 0
令 = ，则 = 2 2， = 0，所以 = (2 2,0, )，
由题知，平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，

因为平面 与平面 的夹角为 ，
4
√ 2
所以|cos < , > | = | | = = cos =| || | 2 2 4 2 ， √ (2 2) +
2 2
整理得：3 2 8 + 4 = 0，解得 = 或 = 2(舍去)，所以 = ，
3 3
又因为 ，所以 2√ 6| | = √ 1 + 1 + 4 = √ 6 = ．
3

18.【答案】(1)解：由已知得 ( , 0)，设 ( , )，由已知得直线 的斜率恒不为0， 2

故可设 ： = ．
2
2 = 2
联立{ ，得 2 2 + 2 = 0，
=
2
由 = 4 2 2 4 2 = 0，解得 = ±1，
2 2 2
则 = = ， =
= ．
2 2 2
∵ | | = 2，
2
∴ + = 2，解得 = 2，即抛物线 的方程为 2 = 4 ；
2 2
(2)( )证明：如图，
由已知得直线 的斜率恒不为0，故设 的方程为 = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
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由(1)得 ( 1,0)．
2 = 4
联立{ ，得 2 4 4 = 0，
= + 1
则 1 2 = 4， 1 + 2 = 4 ，
1 2 +2( + ) 8 +8 ∴ + = +
2 = 1 2 1 2 = = 0，
1+1 2+2 ( 1+2)( 2+2) ( 1+2)( 2+2)
故 轴平分∠ ；
( )解：由( )可知直线 与 关于 轴对称，则点 ， 关于 轴对称，则 ( 2, 2).
不妨设 2 > 0，∵点 在 与 之间，∴ 2 > 1， 2 > 2，
1 3 1
1 = × 2 2 × (
2
2 1) = ( 2 1) 2 = 2， 2 = × 2 × 2 = 2 2
，
2 4
3 3则 3
2 3
5 2 1 = 6 2
2，令 ( ) = 6 ( > 2)，则 ′( ) = 6 = (8 2)，
4 4 4 4
令 ′( ) > 0，则8 2 > 0，解得2 < < 2√ 2；由 ′( ) < 0，则8 2 < 0，解得 > 2√ 2．
则 ( )在(2,2√ 2)上单调递增，在(2√ 2, +∞)上单调递减，可得 ( ) = (2√ 2) = 8√ 2，
故5 2 1的取值范围为( ∞, 8√ 2]．
19.【答案】解：(1)证明：因为函数 ( )是二次函数，所以设 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)．
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)( 1 < 2 < 3)是曲线 = ( )上三个不同的点．
3 1 (
2 23 1)+ ( 则直线 的斜率 = = 3
1)
= ( 3 + 1) + ， 3 1 3 1
又 ′( ) = 2 + ，所以 = ′( 2) = 2 2 + ，
根据题意可得 = ，
所以2 2 + = ( 3 + 1) + ，所以2 2 = 3 + 1，
所以 ( )是“等差函数”；
(2)假设函数 ( ) = 为“等差函数”．
因为0 < 1 < 2 < 3，且 1， 2， 3成等差数列，所以 1 + 3 = 2 2．
3
ln
直线 的斜率 =
3 1 = 3 1 = 1 ，
3 1 3 1 3 1
1 1 2
因为 ′( ) = ，所以 = ′( 2) = = ， 2 3+ 1
3
+ +1
又 = ，所以2 =
3 1 ln 3 = 1 ln 3，
3

1 1 3 1 11

令 = 3 > 1，即( + 1) 2( 1) = 0，
1
令 ( ) = ( + 1) 2( 1)( > 1)，
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+1 1
则 ′( ) = + 2 = + 1．

1 1 1 1
令 ( ) = + 1( > 1)，则 ′( ) = = > 0，
2 2
所以 ( )在(1, +∞)上单调递增，
所以 ( ) > (1) = 0，所以 ′( ) > 0，
所以 ( )在(1, +∞)上单调递增，
所以 ( ) > (1) = 0．
所以当 > 1时，( + 1) 2( 1) > 0，即( + 1) 2( 1) = 0无解，
所以函数 ( ) = 不是“等差函数”．
(3)假设函数 ( ) = 为“等比函数”．
因为0 < 1 < 2 < 3，且 1， 2， 3成等比数列，设公比为 ( > 1)，
所以 2 = 1 ， =
2
3 1 ，
3 1 3 3 1
2
1 ( 1+2 ) 2
2
直线 的斜率 1 = = = 2 = 1 + 2 3 1 3 1 1 1
因为 ′( ) = + 1，所以曲线 = ( )在点 处的切线斜率 = ′( 2) = 2 + 1 = 1 + + 1，
2 1
则 = ，整理得 2 = 0． +1
2 2 2 1 1 4 ( 1)
令 ( ) = 2 ( > 1)，则 ′( ) = = ≥ 0， +1 2 2( 2+1) ( 2+1)
2 1
所以 ( ) = 2 在(1, +∞)上单调递增，所以 ( ) > (1) = 0， +1
2 1
所以 2 = 0在 > 1时无实数解，所以函数 ( ) = 不是“等比函数”． +1
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