第三章 函数及其图象 第2节 一次函数（含答案）

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第三章 函数及其图象
第2节 一次函数
考点分析
考点1 一次函数的图象和性质
课标要求导航：①能画一次函数的图象，根据图象和表达式探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况；②理解正比例函数.
例1 开放性设问 请写出同时满足以下两个条件的一个函数：_______________.
①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交.
1.1 开放性设问 一个函数过点(1,3),且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式____________.
例2 一次函数 的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ( )
2.1 一次函数y=x+1的图象不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.2 在同一平面直角坐标系中，函数和(a为常数，a＜0)的图象可能是 ( )
2.3 已知一次函数 (k，b是常数)的图象上有两点 若当 时， 则k的取值范围是______________.
2.4 已知一次函数 的图象不经过第三象限，且m为正整数.
(1)求 m的值;
(2)在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象；
(3)当 时，根据函数图象，求x的取值范围.
例3 同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间.甲、乙两车分别从A 地、B地同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶.如图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)的函数关系.下列结论正确的是( )
A.甲车行驶 与乙车相遇 B. A,C两地相距220 km
C.甲车的速度是70 km/h D.乙车中途休息36分钟
3.1 某公司生产了A，B两款新 能源电动汽车.如图， ， 分别表示A款，B 款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kw·h)与汽车行驶路程x(km)的关系.当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多_________ kw·h.
考点2 用待定系数法确定一次函数解析式
课标要求导航：①结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；②会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
例4 一辆汽车在行驶过程 y/千米中，其行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示.当0.5时，y与x之间的函数表达式为 当 时，y与x之间的函数表达式为____________.
【思路点拨】根据题意可设 利用待定系数法求出k，b即得x，y之间的函数关系式.
4.1 跨生物学科 生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为 ( )
尾长x(cm) 6 8 10
体长y(cm) 45.5 60.5 75.5
【思路点拨】根据题意可设 利用待定系数法求出k，b即得x，y之间的函数关系式.
4.2 在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.一根弹簧不挂物体时长12.5cm ，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm，当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为____________ cm.
4.3 如图，一次函数y= kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象互相平行，且经过点A，则一次函数y= kx +b的解析式为_____________.
4.4 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点A(1,0),B.
(1)求一次函数的解析式和点 B 的坐标；
(2)点C在x轴上，若△ABC是以边AB为腰的等腰三角形，请直接写出点 C 的横坐标.
例5 对于某个一次函数y= kx+b(k≠0),根据两位同学的对话得出的结论，错误的是 ( )
考点3 利用函数图象解方程(组)或不等式
课标要求导航：体会一次函数与二元一次方程的关系.
例6 如果方程组 无解，那么直线 不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.1 已知直线与 相交于点,则关于x的方程的解是 ( )
6.2 一次函数 的图象过点(1，0)，则不等式 的解集是 ( )
6.3 已知直线 与直线 相交于点 P(1,2).
(1)求m,n的值;
(2)请结合图象直接写出不等式 的解集；
(3)求直线 、直线 与y轴围成的三角形的面积.
考点4 一次函数的应用
课标要求导航：能用一次函数解决简单实际问题.
例7 如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的.小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位： cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律.下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：
x/个 1 2 3 4
y/cm 6 8.4 10.8 13.2
(1)依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由；
(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个
7.1 甲、乙两人相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15 分钟到缆车站，再乘坐缆车直达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度y(米)与甲登山的时间x(分钟)之间的函数图象如图所示.
(1)当 时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.
7.2 数学文化 中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的 用600 元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5 本.
(1)求两种图书的单价分别为多少元
(2)为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少
达标训练
基础达标训练
1.一次函数 的图象不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图,在平面直角坐标系xOy 中，菱形AOBC 的顶点 A 在x轴负半轴上，顶点 B 在直线 上，若点B的横坐标是8，则点 C的坐标为 ( )
3.已知不等式 的解集是 则一次函数 的图象大致是 ( )
4.点 P(x,y)在直线 上，坐标(x，y)是二元一次方程的解，则点 P 的位置在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.一次函数 的值随x的增大而增大，请写出一个满足条件的m的值______________.
6.如图,已知一次函数 的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若 则关于x的方程的解为___________.
7.某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售额5000 万元. 则投入80 万元时，销售额为____________万元.
8.端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗.节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200 盒进行销售.经了解，进价与标价如下表所示(单位：元/盒)：
种类 进价 标价
A 90 120
B 50 60
(1)设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式(不必写出自变量x的取值范围)；
(2)若购进的200 盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进A 种粽子多少盒
高分提能训练
9.当2≤x≤5时,一次函数 有最大值6，则实数 m的值为 ( )
A.-3或0 B.0或1 C. - 5或-3 D.-5或1
10.直线 与x轴交于点A，将直线l 绕点A 逆时针旋转 得到直线 ，则直线l 对应的函数表达式是___________.
11.如图，一束光线从点 出发，经过y 轴上的点 B(0,1)反射后经过点 C(m,n),则的值是_____________.
第11题图 第12 题图
12.如图,四边形AOBC 四个顶点的坐标分别是A(-1,3),O(0,0),B(3,-1),C(5,4),在该平面内找一点 P,使它到四个顶点的距离之和. PC 最小,则P 点坐标为____________.
13.如图,在平面直角坐标系中，点A在直线 上，且点A 的横坐标为4，直角三角板的直角顶点 C 落在x轴上，一条直角边经过点 A，另一条直角边与直线OA 交于点 B，当点 C在x轴上移动时，线段AB 的最小值为_________.
14.科技创新 我国航天事业发展迅速，2024年4月25 日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射.某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件.
(1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元.求利润y(元)关于售价x(元/件)的函数表达式；
(2)当售价定为60 元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10 000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具
15.在平面直角坐标系xOy 中，函数与 的图象交于点(2,1).
(1)求k,b的值;
(2)当 时，对于x的每一个值，函数y的值既大于函数 的值，也大于函数 的值，直接写出m的取值范围.
16.领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a 米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20 米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度
为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示. 请结合图象解答下列问题：
(1)a=___________米/秒,t=__________秒;
(2)求线段 MN所在直线的函数解析式；
(3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12 米 (直接写出答案即可)
冲刺满分训练
17. 综合与实践 项目化学习
项目主题：确定不同运动效果的心率范围.
项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数. 某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习.驱动任务：探究最大心率与年龄的关系.
收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下：
年龄x/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47
最大心率y/(次/分) 208 203 198 193 188 183 178 173
问题解决：
(1)根据表中的信息，可以推断最大心率y(次/分)是年龄x(周岁)的__________函数关系(填“一次”“二次”或“反比例”)；求y关于x的函数表达式；
(2)已知不同运动效果时的心率如下：
运动效果 运动心率占最大心率的百分比
燃烧脂肪 60%～70%
提升耐力 70%～80%
20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在_________次/分至_________次/分；30 周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在________次/分至__________次/分.
参考答案
考点分析
【例(答案不唯一)
1.1 (答案不唯一)
【例2】 D 2.1 D 2.2 D 2.3
2.4 解:(1)∵一次函数. 的图象不经过第三象限，
解得
∵ m 为正整数,
(2)如图所示.
(3)由(1)可知，一次函数的解析式为
当 时， 解得
当 时， 解得
由图象可得，当 时，x的取值范围是.
【例3】 A 解析：根据函数图象可知，AB 两地之间的距离为20 km，两车行驶了4 小时，同时到达 C 地.如图所示，在1-2小时，两车同向运动，在第2小时，即点 D 时，两者距离发生改变，此时乙车休息，E点的意义是两车相遇，F点意义是乙车休息后再出发，∴乙车休息了1小时，故D 不正确，不符合题意；设甲车的速度为 a km/h，乙车的速度为b km/h.根据题意，乙车休息后两者同时到达 C 地，则甲车的速度比乙车的速度慢，在 时，乙车不动，则甲车的速度是 ∴乙车速度为故C 不正确，不符合题意；∴ AC 的距离为 240(km),故 B 不正确,不符合题意；设x小时两辆车相遇，依题意，得 解得 即 小时时，两车相遇，故A 正确，符合题意.
3.1 12
【例4】
4.1 A 4.2 15 4.3
4.4 解:(1)把A(1,0)代入 得 解得
∴一次函数的解析式为
令 得 ∴点B 的坐标为(0,2).
(2)点C 的横坐标为 或 或
【例5】 C
【例6】 A 6.1 A 6.2 C
6.3 解:(1)把P(1,2)代入 和
得 解得
(2)不等式 的解集为
(3)如图,易得A(0,1),B(0,3),
∴直线 直线 与y轴围成的三角形的面积为
【例7】 解：(1)由表中的数据可知，y是x的一次函数.
设 由题意，得 解得
∴y与x之间的函数表达式为
(2)设碗的数量有x个.
根据题意，得 解得
∴x的最大整数解为10.
答：碗的数量最多为10个.
7.1 解：(1)设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为
∵直线过(15,0)和(40,300), 解得
∴乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为
(2)设甲的函数解析式为
将(25,160)和(60,300)代入,得 解得
∵ 乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度，
解得
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米.
7.2 解：(1)设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是 元.
根据题意，得解得
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
答：《孙子算经》的单价是 30 元，《周髀算经》的单价是40 元.
(2)设购买 m本《孙子算经》，则购买(80-m)本《周髀算经》.
根据题意，得 解得
设购买这两种图书共花费w元，则
∵,∴w随m的增大而减小.
又 且m为正整数，∴当m=53时,w取得最小值,
此时
答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少.
达标训练
1. B 2. B 3. B 4. D 5.1 6. x=- 2 7. 4500
8.解:(1)∵
∴y关于x的函数解析式为
(2)由题意，得 解得
故若购进的200 盒粽子销售完毕，总利润不低于3 000 元，至少需要购进A种粽子50盒.
9. A 解析:当 即 时，y随x的增大而增大，∴当 时，一次函数 有最大值6，. 6，解得 (舍去)；当即 时,y 随x的增大而减小，∴当 时，一次函数 有最大值6 解得 (舍去)，综上，当 时，一次函数 有最大值6，则实数m的值为0或
解析：如图所示，
将 代入,得,∴ 点 B 坐标为(0,-1).将y=0代入y =x-1,得x=1,∴ 点 A 的坐标为(1,0),∴ OA = OB =1,∴ ∠OBA = ∠OAB =45°. 由旋转可知,∠BAC = 15°,∴ ∠OAC =45°+ 15°= 60°. 在 Rt△AOC中, 则点C的坐标为 令直线 的函数表达式为y= kx + b,则 解得 直线 的函数表达式为
11. - 1
解析：如图，作 轴，垂足为M，轴,垂足为N,设点 C(x,0).
∵ 点 A 在函数 图象上,且点A 的横坐标为4,∴y=设点 B(4m,3m),则OB =5m,∴AB即 整理，得点 C在x轴上，∴方程必有实数解析，即解得 (舍去)或 ，∴m取最大值为
14.解:(1)y=1 000(x-50) =1 000x-50 000.
(2)设该商店继续购进了m件航天模型玩具.
根据题意,得(60-50)(1000 +m)×20% =10 000, 解得m=4000.
答：该商店继续购进了4 000 件航天模型玩具.
15.解:(1)∵ 函数 y = kx +b与 y =-kx +3的图象交于点(2,1),
∴ - 2k+3=1,解得k=1.将点(2,1)代入y=x+b,得2+b=1,解得b = - 1.
(2)∵ 当x>2 时,对于x的每一个值,函数y = mx(m≠0)的值既大于函数y=x-1的值，也大于函数y= - x+3的值,∴m≥1,∴m的取值范围是m≥1.
16.解:(1)8,20.
(2)由图象知,N(19,96).
∵甲无人机的速度为8 米/秒，∴甲无人机匀速从0 米到96 米所用时间为 (秒),∴ 甲无人机单独表演所用时间为(秒).
(秒),∴M(13,48).
设线段 MN所在直线的函数解析式为
将M(13,48),N(19,96)代入,得解得
∴线段 MN所在直线的函数解析式为
(3)2秒或10秒或16秒.
17.解:(1)一次.
设y关于x的函数表达式为
把 和 分别代入，
得 解得
∴y关于x 的函数表达式为
(2)140,160,114,133.
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