2025年九年级中考数学一轮复习专项巩固练习04--二次根式（含解析）

2025年中考数学一轮复习专项巩固练习04--二次根式
一、单选题
1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．估计的值应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
6．把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
8．实数的整数部分为，小数部分为，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．计算的结果等于 ．
10．若，则的值是 ．
11．如果，那么 ．
12．已知为实数，，则 ．
13．已知若、是分别是整数部分和小数部分，则的值为 ．
14．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ．
15．已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ．
16．已知，则的值为 ．
三、解答题
17．已知，求的值．
18．计算：
(1)
(2)
19．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如：；．
解答下列问题：
(1)的有理化因式是________；的有理化因式是________；
(2)观察下面的变形规律，请你猜想：________．
，，…
(3)利用上面的方法，请化简：
20．先阅读下列材料：
材料一：像，这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：，
材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值．
他是这样解答的：，，
请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题：
(1)请用以上方法化简： ；（直接填空）
(2)计算：（没有过程不给分）
(3)若，求的值．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可．
【详解】解：①当时，不是二次根式；
②当时，不是二次根式；
③是二次根式；
④当时，不是二次根式；
⑤是二次根式；
⑥是二次根式．
故选B．
2．B
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据在实数范围内有意义，得到，解不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
【详解】解：在实数范围内有意义，
，解得，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式加减乘除的运算法则逐一计算判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不合题意；
B、，计算正确，故此选项符合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，计算错误，不符合题意．
故选B．
4．C
【分析】此题考查了最简二次根式．对原式进行化简得到结果，即可做出判断．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，本选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．先计算二次根式的乘法运算，再进行估算即可．
【详解】解：
，
，
，
故选：A．
6．A
【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：根据题意可得，得到，
那么
故选：A．
7．A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握：在二次根式中，要求字母必须满足条件，即被开方数是非负的，则当时，二次根式有意义，当时，二次根式无意义．据此得到关于的不等式组，继而得到、的值，再代入计算即可．也考查了负整数指数幂．
【详解】解：根据题意，得，
解得：，
∴，
∴，
∴代数式的值为．
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了实数的估算、代数式求值、二次根式运算等知识，正确确定的值是解题关键．利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
9．2
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式等知识点．利用平方差公式计算即可得解．
【详解】解：
故答案为：2．
10．
【分析】本题考查了二次根式的概念，理解二次根式被开方数大于或等于零是解决问题的关
键．和被开方数互为相反数，且必须大于或等于零，所以，由此可以求得，的值．
【详解】解： 和有意义，
，
，
，
，
．
故答案为：．
11．1
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得、的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
，
解得，
，
故答案为：．
12．3
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件和算术平方根，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用算术平方根的意义求解．
根据二次根式和分式有意义的条件得出x，y的值，代入求值即可．
【详解】解：由题意得：且，
即且，
所以，
又∵，即
∴，
故，
故答案为：3．
13．7
【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值以及无理数整数部分的有关计算，先得即，从而求得，，代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
∵
∴，
∴即，
∵、是分别是整数部分和小数部分，
∴，
∴
，
故答案为：．
14．5
【分析】本题考查二次根式的性质及运算，先利用二次根式的性质将原等式变形为，根据m，n均为正整数，可得的最小值为1，此时m最小值为5，由此可得答案．
【详解】解：原式，
均为正整数，
的最小值为1，此时m最小值为5，
的最小值为．
故答案为：5．
15．
【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键．
先由数轴确定a、b、c的符号，再确定相关代数式的正负，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算法则计算即可．
【详解】解：由图示可得：且，则，
所以
．
故答案为．
16．
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
17．．
【分析】先对a、b分母有理化，然后，，将因式分解，最后将，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，代数式求值，正确的对a、b分母有理化是解答本题的关键．
18．(1)0
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算．
（1）先将二次根式化为最简二次根式，并计算零指数幂，最后合并即可；
（2）先计算根式的乘法，并将二次根式化为最简二次根式，最后合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．(1)；（答案不唯一）
(2)
(3)9
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算及二次根式的化简，分母有理化，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
（1）根据材料中的定义及二次根式的乘法可以得到解答；
（2）根据材料中给出的规律解答；
（3）根据（2）得到的规律将式子化简变形求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的有理化因式是，
∵，
∴的有理化因式是，
故答案为：，；
（2）解： ，
，
，
…
通过观察可得：
故答案为：；
（3）解：
．
20．(1)
(2)
(3)4
【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式、代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解答的关键．
（1）仿照例题中求解过程解答即可；
（2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可；
（3）先化简，然后代入计算即可．
【详解】（1）解：
故答案为：；
（2）解：原式
（3）解：