初中数学沪教版（五四学制）八年级下册 20.3 一次函数的性质（含解析）
文档属性
| 名称 | 初中数学沪教版（五四学制）八年级下册 20.3 一次函数的性质（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 989.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-13 16:53:21 | ||
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文档简介
20.3一次函数的性质
一、单选题
1．若一次函数的函数值y随x增大而增大，则（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象上有两点，，如果，那么与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．下表中，y是x的一次函数，则下列结论正确的是（ ）
x … 0 1 …
y … 5 3 1 …
A．随的增大而增大
B．该一次函数的图象经过第二、三、四象限
C．该一次函数的图象与轴的交点是
D．该一次函数的表达式为
4．如图，下列结论中错误的是（ ）
A．方程的解为，
B．当时，有
C．，，
D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
5．已知一次函数，当时，对应的的取值范围是，则的值为（ ）
A．1 B．9 C．1或9 D．或
6．如图，将直线向下平移m（m＞0）个单位长度后得到直线l，直线l与反比例函数的图像在第一象限内相交于点A，与x轴相交于点B，则（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
二、填空题
7．已知一次函数（是常数），如果函数值随着的增大而减小，那么的取值范围是 ．
8．已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是 ．
9．已知一次函数图像上两点，，当时，，那么m的取值范围是 ．
10．若一次函数 的函数值随x的增大而增大，且函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是
11．已知，如果，且，那么不等式的解集是 ．
12．函数的图像，如图所示与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，若时，则y的取值范围是 ．
13．如图，已知直线和直线交于点，则关于，的二元一次方程组的解是 ．
14．设函数与的图象的交点坐标为，则的值为 ．
15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，,两点，则不等式的解集为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，，直线与线段有公共点．
（1）直线一定经过的定点是 ；
（2）的取值范围是 ．
17．正方形，，，…按如图所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ．
18．已知函数满足当时，对应的函数值y的范围是，我们称该函数为关于和的方块函数．如果一次函数、为常数，是关于和的方块函数，且它的图像不经过原点，那么该一次函数的解析式为 ．
三、解答题
19．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和．
(1)求反比例函数的解析式和点的坐标；
(2)根据图象回答，当在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？
20．已知一次函数．
(1)画出该函数图象；
(2)若图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且点，求的面积；
(3)结合图象，写出时x的取值范围．
21．已知与成正比例，且当时，．求：
(1)y与x之间的函数表达式；
(2)若，求x的取值范围；
(3)若点，在该一次函数的图像上，且，求实数m的取值范围.
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，
(1)求反比例函数的表达式；
(2)已知点为反比例函数图象上一点，，求点的坐标.
23．用函数方法研究动点到定点的距离问题．
在研究一个动点到定点的距离时，小明发现：
与的函数关系为，并画出图象如图：
借助小明的研究经验，解决下列问题：
(1)写出动点到定点的距离的函数表达式，并求当取何值时，取最小值？
(2)设动点到两个定点、的距离和为．写出与的函数表达式，结合函数图像，说出随着增大，怎样变化？
答案
一、单选题
1．D
【分析】本题考查了一次函数的性质，，当时，函数值随的增大而增大．根据一次函数的性质，可得答案．
【解析】解：一次函数的函数值随的增大而增大，
，
解得，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键．根据一次函数的性质，进行判断即可．
【解析】解：∵一次函数，，
∴y随x的增大而减小，
∵一次函数的图象上有两个点，，，
∴；
故选B．
3．B
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，以及待定系数法求一次函数的表达式，逐项判断即可．
【解析】由表格可知：函数经过．
设一次函数表达式为：．
将代入表达式得：
解得：
所以：一次函数的表达式为．
A、随的增大而减小，故A错误；
B、该一次函数的图象经过第二、三、四象限，故B正确；
C、该一次函数的图象与轴的交点是，故C错误；
D、该一次函数的表达式为，故D错误．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，求三角形的面积，函数图象与方程组的解的关系，体现了数形结合的思想．观察直线和反比例函数的图象的交点坐标，即可判定A；观察直线位于反比例函数的图象上方的部分对应的x的取值，即可判断B．利用待定系数法分别求出直线位于反比例函数的解析式，从而可知与0的关系；根据直线的解析式，首先求出它与两坐标轴的交点，然后由三角形的面积公式可求出结果．
【解析】解：观察图象，发现直线直线和反比例函数的图象交于点，
则方程组方程的解为，，故A正确；
观察图象，可知当或时，有，故B错误；
∵反比例函数，的图象经过点，
，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴，，，故C正确；
④∵，
直线的解析式为，
∴当时，，
∴此直线与x轴交点的坐标是，
当时，，
∴此直线与y轴交点的坐标是．
∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故D正确．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查一次函数的性质，根据题意知，一次函数经过两点或两点，所以这两点满足，将这两点代入，列出方程组，解方程组即可．
【解析】解：根据题意知，①当两点满足一次函数时，
，
解得，；
∴；
②当两点满足一次函数时，
，
解得，，
∴，
综上，的值为1或9．
故选：C．
6．B
【分析】本此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移规律，平移后解析式是，代入求出与x轴交点B的坐标是，设A的坐标是，求出，代入求出即可．
【解析】解：∵平移后解析式是，
代入得：，
即，与x轴交点B的坐标是，，
设A的坐标是，
∴
故选：B．
二、填空题
7．/
【分析】由一次函数的函数值y随x的增大而减小可得为负，从而可求得m的取值范围．
【解析】解：由题意知，，
则，
故答案为：．
8．/
【分析】根据一次函数的性质，通过题中，可判断随着x的增大而增大，即可得答案．
【解析】解：，
，
随着x的增大而增大，
点在一次函数的图像上，，
，
故答案为：．
9．
【分析】根据题意可得随的增大而减小，可得，从而可得答案．
【解析】解：∵一次函数图像上两点，，当时，，
∴随的增大而减小，
∴，
解得：，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握当k大于零时，函数值随x的增大而增大；图像与y轴的交点不高于原点，列式计算即可．
【解析】∵一次函数 的函数值随x的增大而增大，且函数的图像不经过第二象限，
∴，
解得，
故答案为：．
11．
【分析】首先根据判断出一次函数的增减性，然后利用图象求解即可．
【解析】∵，，
∴，
∴随x的增大而减小，
∵，
∴如图所示，函数与x轴的交点为，
∴当时，函数的图象在x轴上方，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
12．/
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，根据函数图象找到当时，y的取值范围即可．
【解析】解：由函数图象可知，当时，y的取值范围是，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组之间的关系，熟知两直线的交点的横纵坐标是两直线对应的二元一次方程解的解是解题的关键．
【解析】解：∵直线和直线交于点，
∴关于，的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
14．
【分析】有两函数的交点为，将代入一次函数与反比例函数解析式中得到与的值，再整体代入计算即可求出值．
【解析】解：把代入 ，
得
，
把代入，
得，
∴，
，
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查反比例函数、一次函数的图象和性质，利用数形结合思想，通过图象直接得出一次函数的值大于或等于反比例函数值时自变量的取值范围是解题关键．将不等式变形为，根据A、两点的横坐标和图象，直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集．
【解析】解：由，则
实际上就是一次函数的值大于反比例函数值时自变量的取值范围，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，,两点，
∴根据图象可得，其解集有两部分，即：或．
故答案为：或．
16． 或
【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数表达式．
（1）直线一定经过一个定点，说明y的值与k的值无关，因此想到把转化成的形式，即可求出定点的坐标．
（2）利用待定系数法分别求出直线经过A点和B点时k 的值，再结合已知条件即可得出k的取值范围．
熟练掌握待定系数法是解题的关键．注意：不要忘记这个条件．
【解析】（1）由得，
∵无论k为何值时，当时，，则y的值都为1，
∴直线一定经过的定点．
故答案为．
（2）当直线经过时，
，
解得．
当直线经过时，
，
解得．
又∵，
∴的取值范围是或，
故答案为：或．
17．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点坐标的变化找出变化规律“点的坐标为”是解题的关键．
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点、、、的坐标，根据点坐标的变化找出点的坐标，依此即可得出结论．
【解析】解：当时，，
点的坐标为．
为正方形，
点的坐标为，点的坐标为．
同理，可得：，，，
点的坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为．
故答案为：．
18．
【分析】根据新定义，分与分别讨论，待定系数法求解析式即可求解．
【解析】解：∵一次函数、为常数，是关于和的方块函数，且它的图像不经过原点，
∴当时，
当时，；
∴
解得：，（舍去）
当时，；
∴
解得：，
∴解析式为，
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：设反比例函数的解析式为，
反比例函数图象经过点，
，
，
∴反比例函数的解析式为，
在的图象上，
，
，
∴点的坐标为；
（2）解：根据图象得，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
20．（1）解：对于一次函数，
令，则，
∴的坐标为（0，4）；
令，则，
∴的坐标为（-2，0），
在平面直角坐标系中描出点的坐标为（-2，0），的坐标为（0，4），连线即可得到直线
的图象，如图所示：
（2）
解：连接，，交轴于点D．
设所在的一次函数为
将， 两点坐标带入解析式得
∴，，
∴解析式为，
∴D点坐标为，
∴，
∴．
（3）解：如图所示，直线与直线的交点坐标为（-3，-2）；
直线与直线的交点坐标为（1，6），且一次函数，随的增大而增大，
∴时的取值范围为．
21．（1）解：设，
将当，代入得：
，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∵，
∴随x的增大而增大，
∴当时，；
（3）解：由（1）得，
∴y随x的增大而增大，
∵点A、B在该一次函数的图像上，
且，
∴，
∴．
22．（1）由题意，将代入中，
∴．
∴．
∴．
将代入反比例函数，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）对于，
当时，，
∴，
∵，
∴，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，
∵，
∴，
即，
解得，
∴点P的纵坐标为或，
将代入得：，
或代入得，
∴点或．
23．（1）解：（1）；当时，的最小值为0．
（2）图象如图：
由题意得|，根据绝对值的意义，
可转化为，
当时，随增大而减小；
当时，是一个固定的值；
当时，随增大而增大．
一、单选题
1．若一次函数的函数值y随x增大而增大，则（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象上有两点，，如果，那么与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．下表中，y是x的一次函数，则下列结论正确的是（ ）
x … 0 1 …
y … 5 3 1 …
A．随的增大而增大
B．该一次函数的图象经过第二、三、四象限
C．该一次函数的图象与轴的交点是
D．该一次函数的表达式为
4．如图，下列结论中错误的是（ ）
A．方程的解为，
B．当时，有
C．，，
D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
5．已知一次函数，当时，对应的的取值范围是，则的值为（ ）
A．1 B．9 C．1或9 D．或
6．如图，将直线向下平移m（m＞0）个单位长度后得到直线l，直线l与反比例函数的图像在第一象限内相交于点A，与x轴相交于点B，则（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
二、填空题
7．已知一次函数（是常数），如果函数值随着的增大而减小，那么的取值范围是 ．
8．已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是 ．
9．已知一次函数图像上两点，，当时，，那么m的取值范围是 ．
10．若一次函数 的函数值随x的增大而增大，且函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是
11．已知，如果，且，那么不等式的解集是 ．
12．函数的图像，如图所示与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，若时，则y的取值范围是 ．
13．如图，已知直线和直线交于点，则关于，的二元一次方程组的解是 ．
14．设函数与的图象的交点坐标为，则的值为 ．
15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，,两点，则不等式的解集为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，，直线与线段有公共点．
（1）直线一定经过的定点是 ；
（2）的取值范围是 ．
17．正方形，，，…按如图所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ．
18．已知函数满足当时，对应的函数值y的范围是，我们称该函数为关于和的方块函数．如果一次函数、为常数，是关于和的方块函数，且它的图像不经过原点，那么该一次函数的解析式为 ．
三、解答题
19．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和．
(1)求反比例函数的解析式和点的坐标；
(2)根据图象回答，当在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？
20．已知一次函数．
(1)画出该函数图象；
(2)若图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且点，求的面积；
(3)结合图象，写出时x的取值范围．
21．已知与成正比例，且当时，．求：
(1)y与x之间的函数表达式；
(2)若，求x的取值范围；
(3)若点，在该一次函数的图像上，且，求实数m的取值范围.
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，
(1)求反比例函数的表达式；
(2)已知点为反比例函数图象上一点，，求点的坐标.
23．用函数方法研究动点到定点的距离问题．
在研究一个动点到定点的距离时，小明发现：
与的函数关系为，并画出图象如图：
借助小明的研究经验，解决下列问题：
(1)写出动点到定点的距离的函数表达式，并求当取何值时，取最小值？
(2)设动点到两个定点、的距离和为．写出与的函数表达式，结合函数图像，说出随着增大，怎样变化？
答案
一、单选题
1．D
【分析】本题考查了一次函数的性质，，当时，函数值随的增大而增大．根据一次函数的性质，可得答案．
【解析】解：一次函数的函数值随的增大而增大，
，
解得，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键．根据一次函数的性质，进行判断即可．
【解析】解：∵一次函数，，
∴y随x的增大而减小，
∵一次函数的图象上有两个点，，，
∴；
故选B．
3．B
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，以及待定系数法求一次函数的表达式，逐项判断即可．
【解析】由表格可知：函数经过．
设一次函数表达式为：．
将代入表达式得：
解得：
所以：一次函数的表达式为．
A、随的增大而减小，故A错误；
B、该一次函数的图象经过第二、三、四象限，故B正确；
C、该一次函数的图象与轴的交点是，故C错误；
D、该一次函数的表达式为，故D错误．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，求三角形的面积，函数图象与方程组的解的关系，体现了数形结合的思想．观察直线和反比例函数的图象的交点坐标，即可判定A；观察直线位于反比例函数的图象上方的部分对应的x的取值，即可判断B．利用待定系数法分别求出直线位于反比例函数的解析式，从而可知与0的关系；根据直线的解析式，首先求出它与两坐标轴的交点，然后由三角形的面积公式可求出结果．
【解析】解：观察图象，发现直线直线和反比例函数的图象交于点，
则方程组方程的解为，，故A正确；
观察图象，可知当或时，有，故B错误；
∵反比例函数，的图象经过点，
，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴，，，故C正确；
④∵，
直线的解析式为，
∴当时，，
∴此直线与x轴交点的坐标是，
当时，，
∴此直线与y轴交点的坐标是．
∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故D正确．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查一次函数的性质，根据题意知，一次函数经过两点或两点，所以这两点满足，将这两点代入，列出方程组，解方程组即可．
【解析】解：根据题意知，①当两点满足一次函数时，
，
解得，；
∴；
②当两点满足一次函数时，
，
解得，，
∴，
综上，的值为1或9．
故选：C．
6．B
【分析】本此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移规律，平移后解析式是，代入求出与x轴交点B的坐标是，设A的坐标是，求出，代入求出即可．
【解析】解：∵平移后解析式是，
代入得：，
即，与x轴交点B的坐标是，，
设A的坐标是，
∴
故选：B．
二、填空题
7．/
【分析】由一次函数的函数值y随x的增大而减小可得为负，从而可求得m的取值范围．
【解析】解：由题意知，，
则，
故答案为：．
8．/
【分析】根据一次函数的性质，通过题中，可判断随着x的增大而增大，即可得答案．
【解析】解：，
，
随着x的增大而增大，
点在一次函数的图像上，，
，
故答案为：．
9．
【分析】根据题意可得随的增大而减小，可得，从而可得答案．
【解析】解：∵一次函数图像上两点，，当时，，
∴随的增大而减小，
∴，
解得：，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握当k大于零时，函数值随x的增大而增大；图像与y轴的交点不高于原点，列式计算即可．
【解析】∵一次函数 的函数值随x的增大而增大，且函数的图像不经过第二象限，
∴，
解得，
故答案为：．
11．
【分析】首先根据判断出一次函数的增减性，然后利用图象求解即可．
【解析】∵，，
∴，
∴随x的增大而减小，
∵，
∴如图所示，函数与x轴的交点为，
∴当时，函数的图象在x轴上方，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
12．/
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，根据函数图象找到当时，y的取值范围即可．
【解析】解：由函数图象可知，当时，y的取值范围是，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组之间的关系，熟知两直线的交点的横纵坐标是两直线对应的二元一次方程解的解是解题的关键．
【解析】解：∵直线和直线交于点，
∴关于，的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
14．
【分析】有两函数的交点为，将代入一次函数与反比例函数解析式中得到与的值，再整体代入计算即可求出值．
【解析】解：把代入 ，
得
，
把代入，
得，
∴，
，
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查反比例函数、一次函数的图象和性质，利用数形结合思想，通过图象直接得出一次函数的值大于或等于反比例函数值时自变量的取值范围是解题关键．将不等式变形为，根据A、两点的横坐标和图象，直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集．
【解析】解：由，则
实际上就是一次函数的值大于反比例函数值时自变量的取值范围，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，,两点，
∴根据图象可得，其解集有两部分，即：或．
故答案为：或．
16． 或
【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数表达式．
（1）直线一定经过一个定点，说明y的值与k的值无关，因此想到把转化成的形式，即可求出定点的坐标．
（2）利用待定系数法分别求出直线经过A点和B点时k 的值，再结合已知条件即可得出k的取值范围．
熟练掌握待定系数法是解题的关键．注意：不要忘记这个条件．
【解析】（1）由得，
∵无论k为何值时，当时，，则y的值都为1，
∴直线一定经过的定点．
故答案为．
（2）当直线经过时，
，
解得．
当直线经过时，
，
解得．
又∵，
∴的取值范围是或，
故答案为：或．
17．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点坐标的变化找出变化规律“点的坐标为”是解题的关键．
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点、、、的坐标，根据点坐标的变化找出点的坐标，依此即可得出结论．
【解析】解：当时，，
点的坐标为．
为正方形，
点的坐标为，点的坐标为．
同理，可得：，，，
点的坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为．
故答案为：．
18．
【分析】根据新定义，分与分别讨论，待定系数法求解析式即可求解．
【解析】解：∵一次函数、为常数，是关于和的方块函数，且它的图像不经过原点，
∴当时，
当时，；
∴
解得：，（舍去）
当时，；
∴
解得：，
∴解析式为，
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：设反比例函数的解析式为，
反比例函数图象经过点，
，
，
∴反比例函数的解析式为，
在的图象上，
，
，
∴点的坐标为；
（2）解：根据图象得，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
20．（1）解：对于一次函数，
令，则，
∴的坐标为（0，4）；
令，则，
∴的坐标为（-2，0），
在平面直角坐标系中描出点的坐标为（-2，0），的坐标为（0，4），连线即可得到直线
的图象，如图所示：
（2）
解：连接，，交轴于点D．
设所在的一次函数为
将， 两点坐标带入解析式得
∴，，
∴解析式为，
∴D点坐标为，
∴，
∴．
（3）解：如图所示，直线与直线的交点坐标为（-3，-2）；
直线与直线的交点坐标为（1，6），且一次函数，随的增大而增大，
∴时的取值范围为．
21．（1）解：设，
将当，代入得：
，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∵，
∴随x的增大而增大，
∴当时，；
（3）解：由（1）得，
∴y随x的增大而增大，
∵点A、B在该一次函数的图像上，
且，
∴，
∴．
22．（1）由题意，将代入中，
∴．
∴．
∴．
将代入反比例函数，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）对于，
当时，，
∴，
∵，
∴，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，
∵，
∴，
即，
解得，
∴点P的纵坐标为或，
将代入得：，
或代入得，
∴点或．
23．（1）解：（1）；当时，的最小值为0．
（2）图象如图：
由题意得|，根据绝对值的意义，
可转化为，
当时，随增大而减小；
当时，是一个固定的值；
当时，随增大而增大．