沪教版八年级数学下册试题 第20章一次函数单元复习卷（含答案）

第20章《一次函数》单元复习卷
一、单选题
1．已知直线，将直线向下平移a（a>0）个单位，得到直线，设直线与直线y=x的交点为P，若，则a的值为（ ）
A．2 B． C． D．6
2．函数，当，对应的取值范围为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①，两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当甲、乙两车相距千米时，或或或．其中正确的结论有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．一次函数：和有下列结论：
①当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积为3，则；
②当时，函数与函数的图象有两个交点，则；
③当时，图象上有两点（a，b）、（c，d），则；
④直线交于点P（25，10），则方程的解为x=25；
其中正确的结论序号为（　　　）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．②③④
5．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则直线的函数解析式是（　　）
A． B． C． D．
6．已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接，，有以下说法：
①方程组的解为
②为直角三角形；
③；
④当的值最小时，点的坐标为．
其中正确的说法个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
7．已知y与z成正比例函数，且当时，，z与x成一次函数关系，函数关系式为，且过点，则y是x的 函数，函数关系式为 .
8．如果，，则直线不经过 象限．
9．若一次函数y＝﹣2x＋1的图像过A（m，n），则4m＋2n＋2022的值为 ．
10．已知一次函数，原点到直线的最大距离为 ．
11．无论 m 取任何实数，一次函数必过一定点，此定点坐标为 ；线段 AB 的端点分别为 A（1，3），B（3，0），一次函数图像与线段 AB 相交，则m 的取值范围是 ．
12．若，满足，且为常数），则称点为“和谐点”．一次函数存在“和谐点”，则b的取值范围 ．
13．直线为常数，，且与直线为常数，且交于点．下列四个结论：
①；
②关于的方程的解为；
③随着的增大而减小；
④直线沿轴平移后得到直线，直线交直线于点，若点的纵坐标为，则不等式的解集是．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=－2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，过点B的直线BC：y=kx+b交x轴于点C（－8，0）．
（1）k的值为 ；
（2）点M为直线BC上一点，若∠MAB=∠ABO，则点M的坐标是 ．
15．如图，直线：与坐标轴交于、两点，点为第一象限内一点，连接且轴，交直线于点，连接，，将沿着直线翻折，得到，点正好落在直线上，若，那么点C的坐标为 ．

16．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为 ．
17．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点A，过点A作，交轴于点；若，，，都是等腰直角三角形，其中点A，，，，都在反比例函数的图像上，则点的横坐标为 ．
18．平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接，将绕A点顺时针旋转得到，当点A在x轴上运动，取最小值时，点B的坐标为 ．
三、解答题
19．已知一次函数，当时的值为，当时的值为．
(1)在所给坐标系中画出一次函数的图象；
(2)求，的值；
(3)将一次函数的图象向上平移个单位长度，求所得到新的函数图象与轴，轴的交点坐标．
20．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线：交于点，且的面积为．
(1)求直线的解析式；
(2)直线经过原点，与直线交于点，与直线交于点，若点的横坐标为，求四边形的面积．
21．甲、乙两车分别从相距的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，两车分别以各自的速度匀速行驶，途经C地（A、B、C三地在同一条直线上）．甲车到达C地后因有事立即按原路原速返回A地，乙车从B地直达A地，甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车行驶所用的时间x（小时）的关系如图所示，结合图象信息回答下列问题：
(1)甲车的速度是___________千米/时，乙车的速度是___________千米/时；
(2)求甲车距它出发地的路程y（千米）与它行驶所用的时间x（小时）之间的函数关系式；
(3)甲车出发多长时间后两车会相距30千米？请你直接写出答案．
22．阅读下列一段话：材料1：已知平面直角坐标系内两点、，则这两点的距离可以用下列公式计算：，例如点、，则这两点的距离．材料2在平在直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为，例如已知点，，则线段PQ的中点M的坐标为，即，解答下列问题：如图，已知点A（2，4）、B（6，2），线段AB的中点为C
(1)求线段AB的长度和中点C的坐标；
(2)若点M为轴上的一个动点，当MA=MB时，求点M的坐标及直线MC的解析式．
23．已知函数y=，其中m为常数，该函数图象记为G．
(1)当m=1时．
①若点A（a，4）在图象G上，求a的值．
②当﹣1≤x≤2时，直接写出函数值y的取值范围．
(2)点B在图象G上，点B的横坐标为2m．
①用含m的代数式表示点B的坐标．
②当m＞0时，直线y=4m与图象G交于点C、D，当△BCD的面积为9时，求点B的坐标．
③过点B作x轴的垂线，与直线y=x+交于点H，当BH≥2时，直接写出m的取值范围．
24．甲、乙两家蓝莓采摘园的蓝莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案．甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠．优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为x （千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元）．根据题意列出下表：
采摘量：x（千克） 5 10 15 20 …
在甲采摘园所需总费用：（元） 150 240 330 m …
在乙采摘园所需总费用：（元） 150 300 375 450 …
(1)变化过程中采摘量x（千克）和在甲采摘园所需总费用（元），这两个变量中，自变量是_____，因变量是_____，表格中m的值为_____；
(2)当蓝莓采摘量超过10千克时，求表示在乙采摘园所需总费用和采摘量x这两个变量之间关系的表达式；
(3)如图，是小刚画出的表示在甲采摘园所需总费用（元）和在乙采摘园所需总费用（元）分别与采摘量x（千克）之间关系的图象．
①图中两图象的交点A表示的意义是：______________________________；
②若要采摘50千克蓝莓，去哪家比较合算？结合图象，你认为小刚应选择去哪家蓝莓采摘园采摘比较合算．
25．【模型建立】
如图1，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明．我们将这个模型称为“形图”，接下来我们就利用这个模型解决一些问题；
【模型应用】
(1)如图1，若，则的面积为__________；
(2)如图2，已知直线与坐标轴交于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线的函数关系式为：，点在直线上找一点，使直线与直线的夹角为45°，直接写出点的坐标．
26．已知：如图1．，B在x轴上，点在射线上．
(1)若，，．
①求证：点B为的中点；
②如图2，点D在第四象限，，，连接交x轴于点H，求点D和点H的坐标（直接写出答案）；
(2)如图3，点E、F分别在坐标轴上，，点P为的内角平分线的交点，、分别交x轴、y轴于N、M两点，若点P的纵坐标为m，求的周长（用含m的代数式表示）．
答案
一、单选题
1．D
【分析】根据题意得到点P的坐标为（-2，-2），代入平移后的解析式即可求出a．
【解析】解：如图，
∵点P在直线y=x上，
∴OA=PA，
∵，
∴OA=PA=2，
∵直线，将直线向下平移a（a>0）个单位，得到直线的解析式为，
∴点P的坐标为（-2，-2），
将点P的坐标代入，得4-a=-2，解得a=6，
故选：D．
2．C
【分析】求出当y=3和y=－2时的x的值，根据函数图像即可求出m的取值．
【解析】解：画出函数图象如图所示．
把代入得，
解得或，
把代入得，
解得，
当，对应的取值范围为，
由图可知．
故选：C．
3．A
【分析】直接根据函数图像可判断①②；分别求出两条直线的解析式，令可判断③；令，结合先出发的时间内以及乙到达目的地的时间进行计算可得结论④．
【解析】由图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，
①②都正确；
设甲车离开城的距离与的关系式为，
把代入可求得，
，
设乙车离开城的距离与的关系式为，
把和代入可得，
解得，
，
令可得：，
解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，
③正确；
令，可得，即，
当时，可解得，
当时，可解得，
又当时，，此时乙还没出发，
当时，乙到达城，；
综上可知当的值为或或或时，两车相距千米，
④正确；
综上可知正确的有①②③④共个，
故选：A．
4．B
【分析】（1）根据三角形面积公式得到，再解方程即可得到的b1值；
（2）由函数y=|x﹣2|可知函数的最低点为（2，0），把（2，0）代入求得，直线与平行时，．进而求出k2的取值范围．
（3）当时，解析式为，把（a，b）、（c、d）两点代入解析式整理可得：，进而可以求出（a﹣b）（c﹣d）．
（4）根据函数交点与方程组的关系可知，两函数交点为P（25，10），则该点对应的x=25，y=10为方程组的解，进而可以得出结论．
【解析】解：①当时，则一次函数为，
则一次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣，0），与y的坐标为（0，），
因为一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积为3，
所以，解得，
故①不正确；
②当时，则一次函数为，
∵y=|x﹣2|≥0，
∴函数y=|x﹣2|的最低点为（2，0），
把（2，0）代入得，，
解得：．
当直线与平行时，，
故当时，图象与函数y=|x﹣2|的图象有两个交点，则且．
故②不正确；
③当时，解析式为，
∵（a，b）、（c、d）在图象上，
把（a，b）、（c、d）两点代入解析式整理可得：，
∴，
∴，
故③正确；
④根据函数交点与方程组的关系可知，两函数交点为P（25，10），（）
则该点对应的为方程组的解，
方程组，①﹣②得：，
∴x=25是的解．
故④正确．
正确的是③④，
故选：B．
5．C
【分析】先求出点的坐标，从而得出的长度，运用勾股定理求出的长度，然后根据折叠的性质可知，，则，，运用勾股定理列方程得出的长度，即点的坐标已知，运用待定系数法求一次函数解析式即可．
【解析】解：当时，，即，
当时，，即，
所以，即，
设，则，，
∴在中，，
即，
解得：，
∴，
又，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为．
故选：C．
6．C
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解即可判断①；根据一次函数的解析式求得交点坐标，求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积，即可判断③；根据勾股定理的逆定理即可判断②；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，求得点P的坐标即可判断④，逐一判断即可得出答案．
【解析】解：直线与直线都经过，
方程组的解为：，故①正确；
把代入直线，可得
令，则
把，代入直线，可得
解得：
直线
令，则
，故③错误；
，，
，，
为直角三角形，故②正确；
点A关于轴对称点为
设过点，的直线为，则
解得：
令，则
当的值最小时，点P的坐标为，故④正确
故选C．
二、填空题
7． 一次，
【分析】由y与z成正比例函数，可设，根据当时，，可求出k，由，且过点，可求出b，再把z与x的关系代入到y与z的关系式中，整理即得结果.
【解析】解：∵y与z成正比例函数，∴设，
∵当时，，
∴，解得k=4，
所以y=4z，
∵一次函数过点（0,2），
∴b=2，
∴，
∴，
所以y是x的一次函数，且函数关系式为.
8．第二
【分析】由，得到，，然后根据一次函数图象与系数的关系易得直线经过第一、三、四象限．
【解析】解：，，
，
，，
，，
直线经过第一、三、四象限．
故答案为：第二．
9．2024
【分析】先把点（m，n）代入函数y＝﹣2x＋1求出n＝﹣2m＋1，得到，再整体代入所求代数式进行计算即可．
【解析】解：∵一次函数y＝﹣2x＋1的图像过A（m，n），
∴﹣2m＋1＝n，
∴2m＋n＝1，
∴4m＋2n＋2022＝2（2m＋n）＋2022＝2×1＋2022＝2024，
故答案为：2024．
10．
【分析】当时，，一次函数的图象过定点，设原点到直线的距离为d，点，根据斜边大于直角边，得到，求出的长，即为所求．
【解析】解：根据题意，设原点到直线的距离为d，
∵直线，当时，，
∴直线恒过定点，设，
则，
∴原点到直线的距离的最大值等于，
故答案为：．
11． /
【分析】将代入得：，即可求出定点坐标，画出图象，求出m的临界值，即可求出结果，
【解析】将代入得：，
∴此定点坐标为；
把A（1，3）代入得：，解得：，
把B（3，0）代入得：，解得：，
∴m 的取值范围是．
12．
【分析】本题考查了一次函数的性质，因式分解的应用；根据新定义得出，进而得出，根据，即可求解．
【解析】解：∵一次函数存在“和谐点”
∴，
∴，
∴
即
∵，即
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
13．①③④
【分析】根据一次函数的图象性质，一次函数与方程，一次函数与不等式，对每一项判断即可解答．
【解析】解：∵直线为常数，且经过点，
∴，
故①正确；
∵交点为，
∴关于的方程的解为，
故②错误；
∵直线过和，
∴随着的增大而减小，

故③正确；
∵，，
∴，
∴由图象可知：不等式的解集是，
故④正确；
故答案为：①③④．

14． （－2，3），（2，5）
【分析】（1）由y=－2x+4求得点的坐标，根据的坐标待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意画出图形，分在点左边与右边两种情况分类讨论即可求解．
【解析】（1）解：∵一次函数y=－2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，
令，得，则，令，得，则，
将，代入y=kx+b，
得，
解得，
∴直线得到解析式为，
故答案为：；
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴，
如图，∠MAB=∠ABO，点M为直线BC上
①当在点右侧时，
∵∠MAB=∠ABO，点M为直线BC上
,
所以的横坐标为2，代入，得，
所以，
②当在点左侧时，如果，设交轴于点，
∵∠MAB=∠ABO，
∴，
设，所以，
在中，，
∴，
解得，
∴，
设解析式为，
，
解得，
∴的解析式为，
联立解析式得，
解得：，
∴，
综上，，，
故答案为：或
15．
【分析】由直线与坐标轴交于A、B，得，．设，则，根据翻折可知，从而，又，即得：，解得：，则，，再由，即得出，故．
【解析】解：∵直线与坐标轴交于A、B两点，
∴，，
∴．
设，则．
∵将沿着直线翻折，得到，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
解得：或 (C在第一象限，舍去)，
∴，．
∵，即，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】由点的运动确定的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小．
【解析】解：由已知可得，
三角形是等腰直角三角形，
，
，
又是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转，
在线段上运动，所以的运动轨迹也是线段，
当在点时和在点时分别确定的起点与终点，
的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，
当线段与垂直时，线段的值最小，
在中，，，
，
又是等腰直角三角形，
，
．
故答案为．
17．/
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题，掌握一次函数、反比例函数图像上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
根据题意找到点的横坐标的规律，然后再求出的横坐标即可．
【解析】解：如图，过点A，，，，分别作轴，轴，轴，轴…，垂足分别为…..．
∵直线的关系式为，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可得……都是等腰直角三角形，
设，
则点，点A在反比例函数的图象上，
∴，解得：（负值舍去），
∴点A的横坐标为1，
设,
则点，点A1在反比例函数的图像上，
∴，解得：，
∴点的横坐标为
设，
则点，点在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴点的横坐标为
以此类推：点横坐标为：．
故答案为：．
18．
【分析】分三种情况：当点在轴正半轴时；当点在原点时；当点在轴负半轴时，利用三角形全等的判定与性质、旋转的性质、两点间的距离公式，分别进行求解即可得到答案．
【解析】解：当点在轴正半轴时，如图，作轴于，设，则，，

，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，，
，，
，
，
，
，
在和，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当点在原点时，如图所示，

，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
，
；
当点在轴负半轴时，如图，作轴于，设，则，，

，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，，
，，
，，
，
在和，
，
，
，，
，
点在第四象限，
，
，
，
，
综上所述：当时，取到最小值，为，此时，
故答案为：．
三、解答题
19．（1） 函数图象如图所示
（2）将当 ， ； ， 分别代入一次函数解析式得
解得
（3） 由 （2）可得，一次函数的关系式为
由一次函数 的图象向上平移4 个单位长度可得 新函数解析式为
令 ，则
∴
令 ，则
∴ 与 轴， 轴的交点坐标分别为 和 ．
20．（1）过作轴于，
直线：，令，则，解得，
，
，
，
的面积为，
，
，
当时，，解得，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为；
（2）连接，
直线与直线：交于点，点的横坐标为，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立直线：得，，
直线：，
，
，，
．
21．（1）解：由图可得，甲车的速度为：（千米/时），
乙车的速度为：（千米/时），
故答案为：100，50；
（2）解：甲车到达C地的时间为：（小时），
当时，设，
代入得：，
解得：，
∴；
当时，设，
代入，得：，
解得：，
∴，
综上：y与 x的函数关系式为：；
（3）解：设甲车出发a小时时两车相距30千米，
当甲从A地到C地时，
由题意得：，
解得：；
当甲从C地返回A地时，
由题意得：，
解得：；
当甲到达A地后，
由题意得：，
解得：；
答：甲车出发小时或小时或小时时，两车相距30千米．
22．（1）解：∵A（2，4）、B（6，2），
∴，
线段AB的中点C的坐标为即．
（2）解：设点M的坐标为M（m，0）
∵MA=MB，
∴，
∴
解得
所以点M的坐标为
设直线MC的解析式为
将M和代入，得
解得
所以直线MC的解析式为．
23．（1）当m=1时，y=，
①当a≥1时，4=2a+2，
解得a=1，
当a＜1时，，
解得．
∴a的值为1或．
②当1≤x≤2时，y=2x+2中，y随x增大而增大，
∴4≤y≤6，
当≤x＜1时，，y随x增大而减小，
∴1＜y≤3．
综上所述，4≤y≤6或1＜y≤3．
（2）①当2m≥m时，m≥0，将x=2m代入y=2x+2m得y=6m，
∴点B坐标为（2m，6m），
当2m＜m时，m＜0，将2m代入得y=0，
∴点B坐标为（2m，0），
综上所述，点B坐标为（2m，6m）或（2m，0）．
②将y=4m代入y=2x+2m得4m=2x+2m，
解得x=m，
将y=4m代入得4m=﹣x+2m，
解得，
∴，
∵，
解得m=或m=（舍），
∴点B坐标为（2，6）．
（3）把x=2m代入y=x+得y=2m+，
∴点H坐标为（2m，2m+），
当m＞0时，点B坐标为（2m，6m），
∴，
解得m≥或m≤（舍），
当m＜0时，点B坐标为（2m，0），
∴，
解得m≥（舍）或m≤，
综上所述，m≥或m≤．
24．（1）解：总费用（元）随采摘量（千克）的变化而变化，
这两个变量中，自变量是采摘量（千克），因变量是总费用（元），
表格中的值为；
故答案为：采摘量（千克），总费用（元），420；
（2）根据题意得：当千克时，，
所以总费用和采摘量这两个变量之间关系的表达式为；
（3）①图中两图象的交点表示的意义是：当采摘量为30千克时，甲、乙采摘园所需总费用都是600元；
故答案为：当采摘量为30千克时，甲、乙采摘园所需总费用都是600元；
②根据图象可知：当千克时，，
所以要采摘50千克蓝莓，小刚应选择去乙采摘园采摘比较合算．
25．（1）如图1所示：
∵，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∵，，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠CBE，∠BCE=∠CAD，
又，
∴（ASA）,
∴CE=AD=3，BE=CD=4，AC=BC，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得：
∴，
∵ ，
∴，
故答案为：；
（2）如图2所示，
∵直线与坐标轴交于点A、B，
令，则，
令，则，
∴点A（-3，0）、B（0，4），
过点B作BC⊥直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵OA⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴，，CE⊥CD，
∴,
∵BC⊥直线l2，
∴,
∴,
由旋转得：，
∴,
∴,
又,
∴（AAS），
∴，，
∴，
设，
∵，即，
解得： ，即，
∴,
∴点C坐标为（，），
设直线的函数表达式为：，
将点A、C代入得：，
解得：，
∴直线的函数表达式为：，
（3）如图3所示，
∵直线 ，
令，则，
∴点E（0，1），
在直线l上取一点F（2，5），连接AE、AF，
∵A（3，2），
∴,
，
，
∴，，
∴，
∴，
∴当点B与E或F重合时，直线AB与直线l的夹角为45°，此时B（0，1）或（2，5）
26．（1）证明：①过点C作轴于点E，如图所示：
∵，，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点B为的中点；
②过点D作轴于点F，过点C作轴于点E，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴点D的坐标为：；
设的解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴的解析式为，
把代入得：，解得：，
∴点H的坐标为：．
（2）过点P作轴于点Q，作轴于点H，连接，，，在y轴上截取，连接，如图所示：
则，平分，平分，平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵
，
∴，
，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
．