辽宁省协作体2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省协作体 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于平面向量，下列说法正确的是( )
A. 零向量没有方向
B. 两个单位向量是相等向量
C. 共线的两个向量方向相同
D. 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
2.已知集合 = { | 2 5 14 < 0}， = { || + 4| < 3}，则 ∩ =( )
A. ( 7,7) B. ( 2, 1) C. ( 7, 2) D. ( 1,7)
3.若幂函数 ( ) = ( 2 + 1) +1是偶函数，则 =( )
A. 2 B. 3 C. 1 D. 1或3
4.某学校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别为1600，1200，2000，现按年级采用分层随机抽样的
方法从中选取120人，若按照样本比例分配，则高二年级被选中的学生人数为( )
A. 50 B. 40 C. 30 D. 20
1 1
5.已知正数 ， 满足 = 2，则 + 的最小值为( )

√ 2
A. 2 B. 2√ 2 C. D. √ 2
2
3 + 2, ≤ 0,
6.已知 > 0，且 ≠ 1，则“ < < 2”是“函数 ( ) = { 2 在 上单调速增”的( ) 2 ( 2) + 2 , > 0
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知( 1, 1)、( 2, 2)是函数 = log2 图象上不同的两点，则( )
1+ 2 + + + A. < 1 2 B. 1 2 > 1 2
2 2 2 2 2 2
+ +
C. + < 1 2 D. + > 1 21 2 2 2 1 2 2 2
8.先后投掷两枚质地均匀的骰子， 1表示事件“第一次投掷的骰子朝上的数字为2”， 2表示事件“第二次
投掷的骰子朝上的数字为6”， 3表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3”， 4表示事
件“两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数”，则( )
A. 1与 3相互独立 B. 1与 4相互独立 C. 2与 3相互独立 D. 2与 4相互独立
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点 (3,5)， ( 2,1)， ( 3, 2)， (7,6)，则( )
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A. = (4,1) B. + = ( 1, 3)
C. = 2 D. = 2
10.数据 1， 2， 3， 4， 5的平均数、中位数都是 3，则( )
A. 数据 1， 2， 3， 4， 5与数据 1， 2， 4， 5的平均数相等
B. 数据 1， 2， 3， 4， 5与数据 1， 2， 4， 5的方差相等
C. 数据 1， 2， 3， 4， 5与数据 1， 2， 4， 5的极差相等
D. 数据 1， 2， 3， 4， 5与数据 1， 2， 4， 5的中位数相等
11.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + ) ( ) = 2 ( )，且当 > 0时， ( ) > 0，则( )
A. (0) = 0 B. (32) = 32 (1) C. ( ) = D. ( )是增函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.已知事件 与 互斥，且 ( ) = 0.3， ( ) = 0.1，则 ( + ) = ______．
1 1
13.(2 )2 312 + 2 32 + (√ 2)
2 = ______．
4
14.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且当 > 0时， ( ) = .若 ∈ ， ( 2) ≤ ( )，则 的取值
范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某地发起“低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了 份，将得分(满分100分)进行适当
的分组(每组为左闭右开的区间)，画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在[90,100)内的人数为20．
(1)求 ， 的值；
(2)若该地计划按得分从高到低选取15%的参赛选手为低碳生活知识宣传员，估计当选宣传员的选手的最低
分．
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16.(本小题15分)
+4
已知函数 ( ) = ．
1
(1)证明： ( ) = ( + 1) 1是奇函数．
1 1
(2)求 ( 2 ) + ( 224) + ( 3 ) + ( 327)的值． 6 3
17.(本小题15分)
如图，在等腰梯形 中， // ， = 2 ，
1 2
= ， = ， 与 交于点 ，记 = ，
2 3
= ．
(1)试用基底{ , }表示 ， ；

(2)记△ 的面积为 1，△ 的面积为 2，求
1的值．
2
18.(本小题17分)
学校组织知识竞赛，题库中的试题分为 ， 两种类型，每个学生选择两题作答，第一题从 ， 两种试题中
3
随机选择一题作答，学生若答对第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为 ，若答错第一题，则第二
4
1 3 1
题选择同一种试题作答的概率为 .已知学生甲答对 种试题的概率均为 ，答对 种试题的概率均为 ，且每道
3 4 2
试题答对与否互相独立．
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(1)求学生甲两题选择 ， 两种试题作答的概率；
(2)求学生甲两题均答对的概率．
19.(本小题17分)
2 1
已知函数 ( ) = ( > 0)，且 ( 1) + (1) = 0． 2 +1
(1)求 + 的值；
(2)若函数 ( ) = ( ) 2 存在零点，求 的取值范围；
(3)若 = 1，证明： > 1， (log3 ) > [ (log )]
2
5 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】0.6
13.【答案】1
14.【答案】( ∞, 0] ∪ [2,+∞)
15.【答案】解(1)根据题意可得(0.005 + 2 + 0.02 + 0.035 + 0.02) × 10 = 1，解得 = 0.01，
又竞赛成绩落在[90,100)内的人数为20，
20
∴ = = 200；
0.1
(2)设估计当选宣传员的选手的最低分为 ，
∵竞赛成绩落在[90,100)内的频率为0.1，
竞赛成绩落在[80,90)内的频率为0.2，
又0.1 < 0.15 < 0.1 + 0.2，
∴ 在[80,90)内，
∴ (90 ) × 0.02 + 0.1 = 0.15，解得 = 87.5，
∴当选宣传员的选手的最低分为87.5分．
+4 +5 5
16.【答案】解：(1)证明：函数 ( ) = ， ( ) = ( + 1) 1 = 1 = ，
1
其定义域为{ | ≠ 0}，有 ( ) = ( )，
故 ( ) = ( + 1) 1是奇函数；
(2)根据题意，由(1)的结论， ( ) = ( + 1) 1，则有 ( + 1) 1 + ( + 1) 1 = 0，
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变形可得 ( ) + (2 ) = 2，
1 1
由于log2 + log224 = log24 = 2，log3 + log 27 = log 9 = 2， 6 3 3 3
1 1 1 1
故 ( 2 ) + ( 224) + ( 3 ) + ( 327) = [ (log2 ) + (log224)] + [ (log3 ) + (log327)] =6 3 6 3
2 + 2 = 4．
17.【答案】解：(1)由图可知 = + ，因为 // ， = 2 ，
1
所以 = +
1
= + ，
2 2
因为
1
=
2
， = ，
2 3
2 1 1 1 2 1
所以 = + = + = + ( + ) =
2
=
1 1 1
( + ) =
3 3 3 3 3 3 3 3 2 2
1 1 1 = ；
3 2 3
即
1 1
= ；
2 3
(2) 与 交于点 ，设 = ， = ，
= =
1 1 3 1
( + ) = ( + ) ( + ) = + ( 1) ，
2 6 6


= ，
2 3
3 1
=
所以{ 6 2
5 1
，解得 = ， = ，
1 = 6 2
3
1
设△ 边 上的高为 1，△ 边 上的高为 ，则
1
2 = = 6， 2 1
1

则 1
1
= 21 = 18． 2
2 2
1 3 1 1
18【. 答案】解：(1)若学生甲第一题选择 种试题作答，则第二题选择 种试题作答的概率 1 = × × + ×2 4 4 2
1 2 17
× = ，
4 3 96
1 1 1 1 1 2 11
若学生甲第一题选择 种试题作答，则第二题选择 种试题作答的概率 2 = × × + × × = ， 2 2 4 2 2 3 48
17 11 13
故学生甲两题选择 ， 两种试题作答的概率 = + = ；
96 48 32
1 3 3 3 27
(2)若学生甲两题都选择 种试题作答，则两道试题均答对的概率 3 = × × × = ， 2 4 4 4 128
1 1 3 1 3
若学生甲两题都选择 种试题作答，则两道试题均答对的概率 4 = × × × = ， 2 2 4 2 32
1 3 1 1
若学生甲第一题选择 种试题作答，第二题选择 种试题作答，则两道试题均答对的概率 5 = × × × =2 4 4 2
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3
，
64
1 1 1 3
若学生甲第一题选择 种试题作答，第二题选择 种试题作答，则两道试题均答对的概率 6 = × × × =2 2 4 4
3
，
64
27 3 3 3 51
故学生甲两题均答对的概率 = + + + = ．
128 32 64 64 128
2 1
19.【答案】解：(1)函数 ( ) = ( > 0)，且 ( 1) + (1) = 0，
2 +1
1
1
可得 2
1 1 1 1
1 + = 0，即 + + + 1 0，
+1 2 +1 2 2 2
2
化为 + = 1；
2 1
(2)由(1)可得 ( ) = ，
2 +
2 1
若函数 ( ) = ( ) 2 存在零点，即 ( ) = 0有解，即有 = 2 ， 2 +
2 1
即 = ( > 0, > 0)有解，
2 (2 +1)
2 1 1
由 > 0，可得 =
(2
2 = 2 ，
1) +3(2 1)+2 (2 1)+ +32 1
2
由于 > 0，2 1 > 0，可得2 1 + ≥ 2√ 2，当且仅当2 = 1 + √ 2时，取得等号，
2 1
1 1
则0 < 2 ≤ = 3 2√ 2，即有 的取值范围是(0,3 2√ 2]； (2 1)+ +3 3+2√ 22 1
2 1 2
(3)证明：若 = 1，则 ( ) = = 1 ， 2 +1 2 +1
2
由 = 2 在 上递增，可得 = 在 上递减，即有 ( )在 上递增， 2 +1
当 > 0时， ( ) ∈ (0,1)，则 ( ) > [ ( )]2，
当 > 1时，log3 > log5 > 0，则 (log5 ) > [ (log
2
5 )] ，
由 ( )在(0,+∞)上递增，可得 (log3 ) > (log5 )，则 (log3 ) > [ (log5 )]
2．
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