吉林省友好学校2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

吉林省友好学校 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过 (3, 1)， ( 3,5)两点的直线的倾斜角是( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 135°
2.已知向量 = (2, 1,3)， = ( 4,2, )，若 // ，则 =( )
1 1
A. 4 B. 6 C. D.
6 4
1
3.已知数列{ }满足 +1 = 1 ( ∈
)，且 1 = 2，则数列{ }的前50项和为( )
53 55
A. 24 B. 26 C. D.
2 2
2 2
4.已知方程 = 1表示双曲线，则 的取值范围是( )
2+ +1
A. ( ∞, 2) ∪ ( 1,+∞) B. ( ∞, 2)
C. ( 1,+∞) D. ( 2, 1)
2 2
5.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的上顶点、左焦点、右顶点分别为 ， ， ，且点 为△ 的垂心，
则椭圆 的离心率为( )
√ 5 1 1 √ 2 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
6.在直三棱柱 1 1 1 中，∠ = 90°， 1， 1分别是 1 1， 1 1的中点， = = 1，则 1与
1所成角的余弦值是( )
√ 30 1 √ 30 √ 15
A. B. C. D.
10 2 15 10
7.已知 为抛物线 2 = 18 的焦点，点 ， ， 在抛物线上， 为△ 的重心，则| | + | | + | | =( )
27
A. 27 B. 18 C. D. 9
2
2 2
8.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)，以双曲线 的右顶点 为圆心， 为半径作圆 ，圆 与双曲线 的
一条渐近线交于 ， 两点，若∠ = 60°，则双曲线的离心率为( )
4 2√ 3
A. √ 2 B. C. D. 2
3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若圆 ：( )2 + ( 1)2 = 8与圆 ：( 1)2 + ( )2 = 2相交，则 的取值可能为( )
3
A. B. 1 C. 3.8 D. 4.2
2
10.已知等差数列{ }的前 项和为 ，公差为 ， 1 < 0，若 1 + 18 + 20 = 0，则下列命题正确的是( )
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A. 数列{ }是递增数列 B. 12和 13是{ }中的最小项
C. 13是数列{ }中的最小项 D. 满足 < 0的 的最大值为25
11.在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 是棱 1的中点，点 是底面 1 1 1 1内的一点(包括边界
)，则下列说法正确的是( )
A. 存在点 ，使得△ 的周长为7
B. 存在点 ，使得 ⊥
C. =
D. 若点 满足 ⊥ ，则点 的轨迹长度为√ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若点 ( 4,2)在抛物线 2 = 2 上，则该抛物线的焦点到准线的距离为______．
13.已知向量 = (3, 2,3), = ( 1,3, 2), = (7,0, )，若 , , 共面，则 = ______．
14.已知数列{ }满足(
2 2
+1 +1) + ( 1) = 2 +1 +1， 1 = 8，则 = ______；对任意实数 ，总
存在正整数 ，使得 +3 + ( + 2 ) = 0，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知点(1,3)，(3,1)在圆 上，直线2 + 3 = 0平分圆 ．
(1)求圆 的标准方程；
(2)求过点 ( 1,0)且与圆 相切的直线方程．
16.(本小题15分)
(1)已知椭圆的焦距为8，离心率为0.8，求椭圆的标准方程；
(2)已知双曲线的渐近线方程为 = ±√ 5 ，虚轴长为4，求双曲线的标准方程．
17.(本小题15分)
如图， 是圆柱下底面的圆心，该圆柱的轴截面是边长为4的正方形 ， 为线段 上的动点， ， 为
下底面上的两点，且 = ，∠ = 120°， 交 于点 ．
3
(1)当 = 时，证明： ⊥平面 ；
2
(2)当△ 为等边三角形时，求二面角 的余弦值．
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18.(本小题17分)
已知过抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点 ，斜率为2的直线交抛物线于 ， 两点，且| | = 10．
(1)求抛物线的方程；
(2)抛物线的准线与 轴交于点 ′，过点 ′的直线 交抛物线于 ， 两点，当 ′ ′ = 64时，求直线 的方
程．
19.(本小题17分)
已知数列{ }的前 项和为

，且 2 = 2， +1 = 1( ∈ )．
(1)求{ }的通项公式；
, = 2 , ∈
(2)若 = {

，求数列{ }的前2 项和 2 ； 2 , = 2 1, ∈
+50
(3)若数列{ }满足 = ，记{ }的前 项和 ，判断是否存在正整数 ，使得 = 成立？若存在，
2 1
则求出所有 值；若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4
13.【答案】5
14.【答案】9 6
15.【答案】解：(1) ∵点(1,3)，(3,1)在圆 上，且直线2 + 3 = 0平分圆 ，
∴点(1,3)，(3,1)所成线段的中垂线过圆心，
此中垂线与直线2 + 3 = 0的交点即为圆心，
1+3 1+3
∴点(1,3)，(3,1)所成线段的中垂线为： = ，即 = ，
2 2
=
联立{2 + 3 = 0，可得圆心(1,1)，
圆 的半径 = √ (1 1)2 + (1 3)2 = 2，
∴圆 ：( 1)2 + ( 1)2 = 4；
(2)①当切线的斜率不存在时，直线方程为 = 1，此时圆心(1,1)到直线 = 1的距离 = 2 = ，此时直
线与圆相切；
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为 = ( + 1)，整理得 + = 0，
|2 1| 3
有 = 2，解得 = ，
√ 2 4 +1
3 3
可得切线方程为 = 0，整理为3 + 4 + 3 = 0，
4 4
由①②知，过点 ( 1,0)且与圆 相切的直线方程为 = 1或3 + 4 + 3 = 0．
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16.【答案】解：(1)已知2 = 8，则 = 4，又 = 0.8，

∴ = 5，则 = √ 2 2 = 3，
2 2 2 2
∴椭圆的标准方程为 + = 1或 + = 1；
25 9 25 9
(2)若双曲线的焦点在 轴上，
2 2
设方程为 = 1( > 0, > 0)，
2 2
2√ 5
由已知可得 = √ 5，2 = 4，解得 = ， = 2，
5
2 2
得双曲线的标准方程是 4 = 1； 4
5
若双曲线的焦点在 轴上，
2 2
设方程为 2 2 = 1( > 0, > 0)，

由已知可得 = √ 5，2 = 4，解得 = 2√ 5， = 2，

2 2
得双曲线的标准方程是 = 1．
20 4
2 2 2 2
综上所述，双曲线的标准方程为 4 = 1或 = 1． 4 20 4
5
17.【答案】(1)证明：由题，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
3
此时 (0,2,0), (0,0, ), (0,4,4)，
2
由于 = , ∠ = 120°，可求出 ( √ 3, 1,0), (√ 3, 1,0)，
因此
3
= (0, 2, ), = ( √ 3, 3, 4), = (√ 3, 3, 4)，
2
设平面 的法向量 = ( , , )，
√ 3 3 4 = 0, 3 3
则{ 令 = 2，则 = 0, = ，即 = (0,2, )，
√ 3 3 4 = 0, 2 2
所以 = ，即 // ，
所以 ⊥平面 ；
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(2)解：由(1)则有 ( √ 3, 1,0), (√ 3, 1,0), (0,4,4), (0,1,0)，
设 (0,0, )，若△ 为等边三角形，则| | = | | = 2√ 3，
又 = ( √ 3, 1, ), | | = √ 3 + 1 + 2 = 2√ 3，于是 = 2√ 2或 = 2√ 2(舍去)，
由(1)
3
知平面 的法向量为 = (0,2, )，
2
= ( √ 3, 1, 2√ 2), = (√ 3, 1, 2√ 2)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1 , 1)，
√ 3 1 + 1 2√ 2 1 = 0,
则{ 取 1 = 2√ 2，则 1 = 1, 1 = 0, = (0,2√ 2,1)，
√ 3 1 + 1 2√ 2 1 = 0,
3
| | 4√ 2 8√ 2 3
设二面角 为 ，由图知 为锐角， = |cos < , > | = = 2 = ．
5 | | | | 3× 15
2
1
18.【答案】解：(1)由题意得， ( , 0)，设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 2 , 2)， 2 2 2
1
= +
由{ 2 2，得 2 2 = 0，
2 = 2
+ = ， = 21 2 1 2 ．
∴ ( 1 2)
2 = ( 1 + 2)
2 4 1 2 = 5
2，
1 5
∴ | | = √ 1 + × | 1 2| = = 10， 4 2
∴ = 4，∴抛物线 的方程为 2 = 8 ．
(2) ′( 2,0)，显然直线 斜率不为零，设直线 的方程为 = 2， ( 3 , 3)， ( 4 , 4)，
= 2
联立{ ，得 2 8 + 16 = 0， = 64 22 64 > 0，解得： > 1或 < 1， = 8
2 2
∴ 3 + 4 = 8 ， 3 4 = 16， 3 + 4 = ( 3 + 4) 4 = 8
2 4， 3
3 4
4 = × = 4， 8 8
∵ ′ ′ = 64，∴ ( 3 +2)( 4 + 2) + 3 4 = 64，
即 23 4 +2( 3 + 4)+ 4 + 3 4 = 64，∴ 4 + 16 8 + 4 +16 = 64，解得 = ±√ 3，
√ 3
∴直线 的方程为 = ±√ 3 2，即 = ± ( + 2)．
3
19.【答案】解：(1)由 = 1( ∈ +1 )，得 2 1 = 2 1 = 1，
又 2 = 2，得 1 = 1，
当 ≥ 2时，又 1 = 1，

两式作差得： +1 ( 1) = +1 2 = 0，即
+1
= 2( ≥ 2)，

又 2

= 2，则 +1 = 2，
1
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可得{ }是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴ = 2
1；
, = 2 , ∈
(2)由 = { ，且 = 2 1 ， 2 , = 2 1, ∈


2 1得 = { , = 2 , ∈

， 1, = 2 1, ∈
∴ 2 = 1+ 2+. . .+ 2 = ( 1 + 3+. . .+ 2 1)+ ( 2 + 4+. . .+ 2 )
= (0 + 2+ 4+. . . +2 2) + (2 + 23+. . . +22 1)
(2 2) 2(1 4 ) 1 2
= + = 22 +1 + 2 ；
2 1 4 3 3

(3) ∵ = ，∴ = = 1， 2
1 2
则 = 0 + +. . .+ ， 2 21 2 1
1 1 2
= 1 + 2 +. . .+2 2 ， 2 2
1
1 1 1 1 2 +2两式相减得 = 1 + +. . .+ 1 = 1 = 2 ， 2 2 2 2 1 2 2
2
+2
∴ = 4 1， 2
+50 +2 +50
由 = 1，得4 1 = 1，则2 26 = 0， 2 2 2
令 = 2 26，则 = 2 +1 +1 ( + 1) 26 (2
26) = 2 1 > 0，
可得数列{ }是递增数列，
又 4 = 2
4 4 26 = 6， 55 = 2 5 26 = 1，
∴不存在正整数 ，使得2 26 = 0，
+50
即不存在正整数 ，使得 =
2 1
成立．
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