四川省达州市达川中学等校2024-2025学年高一上学期期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

四川省达川中学等校 2024-2025 学年高一上学期期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,2}， = { , 2 }， ∩ = {0}， ∪ =( )
A. {0} B. {0,2} C. {0,1} D. {0,1,2}
2.命题“ ≤ 0，2 ≤ 1”的否定为( )
A. > 0，2 > 1 B. ≥ 0，2 ≤ 1 C. ≤ 0，2 > 1 D. ≥ 0，2 ≤ 1
3.两个三角形全等是这两个三角形相似的( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

4.声强级 (单位： )公式 = 10 3 12，其中 为声强(单位： / )，繁忙的交通道路声强约为10
5 / 3，
10
其声强级为( )
A. 60 B. 70 C. 80 D. 90
5.下列叙述正确的是( )
+
A. 若 > ，则 < B. 若 > 2，则 <
2
C. 若 2 > 2，则 > D. 若 3 > 3，则 >
2
6.关于 的不等式 2 + + ≤ 0的解集为[ , 2 ]，则 最大值为( )
1
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
, > 0,
7.函数 ( ) = { 为奇函数，则 (2) =( )
( ), < 0
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
8.已知 + = + ， ∈ [0,1]，则实数 的取值范围是( )
A. [0,1] B. [1, ] C. ( ∞, 1] D. [0, +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2
9.函数 ( ) = ，下列说法正确的是( )
1+ 2
A. ( )是偶函数 B. ( )在(0, +∞)上单调递减
1
C. ( ) + ( ) = 1 D. 0 ≤ ( ) < 1

10.下列说法正确的是( )
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A. 函数 ( ) = 3的对称中心是(0,0)
B. 方程 2 + = 0有一个正根一个负根，则 < 0
C. 不等式 2 + 1 < 0对一切实数 恒成立，则 4 < < 0
D. 是函数 ( ) = 0 + 4的零点，则1 < 0 < 2
11.函数 ( )满足： 2( + ) + 2( ) = 2 2( ) + 2 2( )， ( ) ≥ 0，则( )
A. (0) = 0 B. (1) = 1
C. ( )图象不关于(0,0)对称 D. ( )的解析式可以是 ( ) = | |
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.请写出一个在(0, +∞)上单调递减且为偶函数的幂函数______．
13.设函数 1 = 2
, 22 = 2 , 3 = ，当 > 4时， 1， 2， 3从大到小依次为______．
14.已知函数 ( ) = ( )2 + | 2 |(0 ≤ ≤ 1)，若 ( )有零点，则| |的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
集合 = { | 2 (log23 + log32) + 1 > 0}， = { | = ln( + )( + )}．
(1)若 = 1，求 ， ；
(2)已知集合 = (1,2)， ∩ = ，求 的取值范围．
16.(本小题12分)
1
函数 ( ) = 2 2 , = 2 5 + 4 + 22 + ( > 0且 ≠ 1)． 4
(1)求 ；
(2)对 ∈ ，不等式 ( ) + 1 ≥ 0恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + + ， ( + 1)为偶函数， ( )最小值为 1．
(1)求 ， ；
(2)用函数单调性定义证明函数 ( ) = ( ) + ln( 1)在定义域上单调递增．
18.(本小题12分)
2
已知偶函数 ( )和奇函数 ( )满足： ( ) + ( ) = 2 + 2 + 2 ． 2+
(1)求 ( )， ( )解析式；
(2)解不等式 ( ) < 2；
(3)存在实数 ， ， ∈ [0, ]满足5| ( ) ( )| < 4 ( )， ( )存在最值大值，求 的取值范围．
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19.(本小题12分)
已知函数 ( )和点 ( , )，设 ( , , ) = ( )2 + [ ( ) ]2，对于 0，若 ( 0, , )有最小值，设这个
最小值为 ，则称点( 0, )是 ( )的 ( 0)点．
√ 2
(1)若 (0,0), ( ) = + ( > 0)，判断 ( )是否有 (1)点；

(2)若 (0,1)， ( ) = 2 ( ≥ 0)，判断 ( )是否有 ( 0)点；
(3)若 1( , 0)，点 2(0, ), ( ) = 2
, ( ) = 2 ，是否存在 0，使得 ( )的 1( 0)点，又是函数 ( )的
2( 0)点？若存在，求出 0；若不存在，说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 = 2(答案不唯一)
13.【答案】 1 > 3 > 2(或 1， 3， 2)
1
14.【答案】[0, ]
4
15.【答案】解：(1) = 1时：由 2 (log23 + log32) + 1 > 0，得 < log32或 > log23，
所以 = ( ∞, log32) ∪ (log23, +∞)．
由( + 1)( + 1) > 0 ( + 1)( 1) < 0 1 < < 1．
所以 = ( 1,1)．
(2)由 ∩ = 得 ，
由( + )( + ) > 0 ( + )( ) < 0
≤ 1
当 > 0时， = ( , )，所以{ ≥ 2．
≥ 2
≤ 1
当 < 0时， = ( , )，所以{ ≤ 2，
≥ 2
综上所述， 的取值范围( ∞, 2] ∪ [2, +∞)．
1
16.【答案】解：(1) = 2 5 + 4 + 2 +
2 = 2 5 + 2 2 + 2 22 + 2 = 2 2 + 2 = 2； 4
(2)由(1)知， ( ) = 22 2 ，
1
所以 ( ) + 1 ≥ 0，即为 2 ≤ 22 + 1， ≤ 2 + ，
2
1
所以 ≤ (2 + ) ， 2
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1 1
而2 + ≥ 2√ 2 = 2， 2 2
1
当且仅当2 = ，即 = 0时取等号，因此 ≤ 2，
2
所以 的取值范围为( ∞, 2]．
17.【答案】解： ( ) = 2 + + ，
(1) ∵ ( + 1)为偶函数，∴ ( + 1) = ( + 1)，
即( + 1)2 + ( + 1) + = ( + 1)2 + ( + 1) + ，
则 2 = ，∴ = 2，
故 ( ) = 2 2 + ，
当 = 1时， ( ) 2 = 1 2 + = 1 = 1，
所以 = 0．
(2)证明：∵ ( ) = 2 2 + ln( 1)， 1 > 0，∴ ∈ (1, +∞)．
设1 < 1 < 2，∴ 1 2 < 0， 2 + 1 2 > 0，
1 1
∴ 0 < 1 1 < 2 1,0 <
1 < 1, ln 1 < 0，
2 1 2 1
则 ( 1) ( 2) =
2 2
1 2 1 + ln( 1 1) [ 2 2 2 + ln( 2 1)]
1
= ( 21
2
2 ) 2( 1
1
2) + ln 2 1
1
= ( 1 2)( +
1
1 2 2) + ln < 0， 2 1
∴ ( 1) ( 2) < 0， ( 1) < ( 2)，
∴ ( )在定义域内单调递增．
18.【答案】解：(1) ∵ ( )为奇函数， ( )为偶函数，
∴ ( ) + ( ) = 0， ( ) = ( )，
2
∵ ( ) + ( ) = 2 + 2 + 2 ，① 2+
2+
∴ ( ) + ( ) = 2 + 2 + 2 ， 2
2+ ∴ ( ) ( ) = 2 + 2 + 2 ，② 2
2
联立①②得， ( ) = 2 + 2 ， ( ) = 2 , ∈ ( 2,2)． 2+
2
(2) ∵ ( ) = 2 < 2, ∈ ( 2,2)． 2+
2 1
∴ 2 < ， 2+ 2 4
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2 1 6
∴ < ，解得 < < 2，
2+ 4 5
6
不等式 ( ) < 2的解集为( , 2)．
5
(3) ∵ ( ) = 2 + 2 ， ∈ ( 2,2)，
当 ∈ [0,2)时，令 = 2 ∈ [1,4)为增函数，
1
由 = + 在[1,4)上单调递增知，知 ( )在[0,2)单调递增，

∴ ( )的最小值为 (0) = 2．
2 4
∵ ( ) = 2 = 2( 1 + ), ∈ ( 2,2)， 2+ +2
知 ( )在[0,2)单调递减， ( )的最大值为 (0) = 0．
∴当 ∈ [0,2)时， ( ) > ( )．
∵存在实数 ， ， ∈ [0, ]满足5| ( ) ( )| < 4 ( )，
∴ 5| ( ) ( )| < 4 ( ) ，
5
∴ 10 < 4 ( ) ， ( ) > ， 2
∵ ， ， ∈ [0, ]，∴ > 0，
∵ ( )在[0, ]取到最大值，∴ < 2，
5
∴ 2 + 2 > ，解得 < 1，或 > 1．
2
综上所述， 的取值范围为(1,2)．
√ 2
19.【答案】解：(1)因为 (0,0), ( ) = + ( > 0)，

√ 2 2
所以 ( , 0,0) = 2 + ( + )2 = 2 2 + 2 + 2√ 2 ≥ 4 + 2√ 2，
2
当且仅当2 2 = 2，即 = 1时等号成立，所以 ( , 0,0)的最小值为4 + 2√ 2，
所以 ( )有 (1)点．
(2)因为点 (0,1)， ( ) = 2 ( ≥ 0)，
所以 ( , 0,1) = 2 + (2 1)2．
因为 = 2在[0, +∞)单调递增， = (2 1)2在[0, +∞)单调递增，
所以 ( , 0,1) = 2 + (2 1)2在[0, +∞)单调递增，
所以当 = 0时， ( , 0,1)取到最小值0，
所以函数 ( )有 ( 0)，它是 (0)点．
(3)不存在，理由如下：
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因为点 1( , 0), ( ) = 2
，
所以 1( , , 0) = ( )
2 + (2 )2，
所以 1( 0, , 0) = (
2 0 2
0) + (2 ) ．
当 = 0 20时， 1( 0, , 0)取得最小值(2 ) ．
因为点 2(0, )， ( ) = log2 ，
所以 ( , 0, ) = 22 + ( 2 )
2，
所以 2 22( 0, 0, ) = ( 2 0) + 0．
当 = log 时， ( , 0, )取得最小值 22 0 2 0 0 = (2
)2．
若 ( )的 1( 0)点，又是函数 ( )的
0 2 2
2( 0)点，则(2 ) = (2 ) ，
所以 0 = ，即 0 = log2 0．
因为 = 与 = log2 无交点， 0 = log2 0不成立，
故不存在这样的 0，使得 ( )的 1( 0)点，又是函数 ( )的 2( 0)点．
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