天津市河东区2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

天津市河东区 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角 终边上一点 的坐标为(1, √ 3)，则 等于( )
1 1 √ 3 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
2.设函数 = √ 4 2的定义域为 ，函数 = ln(1 )的定义域为 ，则 ∩ =( )
A. (1,2) B. (1,2] C. ( 2,1) D. [ 2,1)

3.为了得到函数 = sin(2 )的图象，可以将函数 = 2 的图象( )
6

A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向左平移
6 12 6 12
个单位
4.已知 = 2，则 =( )
2 2 4 4
A. B. C. D.
3 5 5 5
1
5.已知定义域为 的偶函数 ( )在[0, +∞)上是增函数，且 ( ) = 0，则不等式 (log4 ) > 0的解集是( ) 2
1
A. { | > 2} B. { |0 < < }
2
1 1
C. { |0 < < 或 > 2} D. { | < < 1 或 > 2}
2 2

6.设函数 ( ) = 2 ( )的图象的一个对称中心为( , 0)，则 ( )的一个最小正周期是( )
3 6
2
A. B. C. D.
3 4 5 5
6
7.已知函数 ( ) = log2 ，在下列区间中，包含 ( )零点的区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,4) D. (4, +∞)
2
8.函数 ( )满足 ( + 2) = ( )，且当 ∈ [0,1) ∪ (1,2]时， ( ) = ，则函数 ( )与函数 = 2 +
1
1(0 ≤ ≤ 4)的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
9. 20° 10° + 70° 10° = ______．
1+√ 5
10.已知 为锐角， = ，则sin = ______．
4 2
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11.已知常数 > 0， ≠ 1，假设无论 为何值，函数 = log ( 2) + 1的图像恒经过一个定点，则这个定
点的坐标是______．
( ) (3sin + +cos )
12. 2 2 =__________．
sin( + )+cos( )
13.设0 ≤ ≤ ，不等式8 2 (8 ) + 2 ≥ 0对 ∈ 恒成立，则 的取值范围为 ．
14.甲、乙两人解关于 的方程2
17
+ 2 + = 0，甲写错了常数 ，得到的根为 = 2或 = 2 ，乙4
写错了常数 ，得到的根为 = 0或 = 1，则原方程所有根的和是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 44 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：
(1)已知扇形的圆心角是 = 60°，半径为 = 10 ，求扇形的弧长 ；
2
(2)2 2 + 25 22 26 ln√ ．
3
16.(本小题8分)

已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0)的最小正周期为 ．
3

(1)求 ( )的值；
6
(2)求函数 ( )的单调递减区间．
17.(本小题8分)
设 ( ) = log (1 + ) + log (3 )( > 0, ≠ 1)，且 (1) = 2．
(1)求 的值及 ( )的定义域．
3
(2)求 ( )在区间[0, ]上的最大值．
2
18.(本小题10分)
某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量．已知其车流量 (单位：千辆)是时间 (0 ≤ ≤ 24，单位： )
的函数，记为 = ( )，如表是某日桥上的车流量的数据：
( ) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
(千辆) 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1
经长期观察，函数 = ( )的图象可以近似地看做函数 ( ) = ( + ) + (其中 > 0， > 0， > 0，
≤ ≤ 0)的图象．
(1)根据以上数据，求函数 = ( )的近似解析式；
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(2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁
止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？
19.(本小题10分)
已知函数 ( ) = ( + 1) ( > 0且 ≠ 1， ∈ )是偶函数，函数 ( ) =
( > 0且 ≠ 1)．
(1)求实数 的值．
(2)当 = 2时，
①求 ( )的值域．
②若 1 ∈ (1, +∞)， 2 ∈ ，使得 (2 1) + ( 1) (2 2) > 0恒成立，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
1
9.【答案】
2
√ 5 1
10.【答案】 ．
4
11.【答案】(3,1)
12.【答案】1
5
13.【答案】[0, ] ∪ [ , ]
6 6
14.【答案】1

15.【答案】解：(1)因为 = 60° = ，
3
10
所以 = = ．
3
22 2 1 2 1
(2)原式= 4 + 25
2 6
× = 100 = 2 1 = 1．
2 3 2 3 3

16.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = 2 ( + )( > 0)的最小正周期为 ，
3
2
所以 = ，可得 = 2，可得 ( ) = 2 (2 + )，
3

所以 ( ) = 2 (2 × + ) = √ 3；
6 6 3

(2)由(1)可得 ( ) = 2 (2 + )，
3
3 7
令2 + ≤ 2 + ≤ 2 + ， ∈ ，解得 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
2 3 2 12 12
7
可得函数 ( )的单调递减区间为：[ + , + ]， ∈ ．
12 12
17.【答案】解：(1) ∵ ( ) = log (1 + ) + log (3 )( > 0, ≠ 1)，
∴ (1) = log 2 + log 2 = 2 2 = 2，
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∴ = 2；
∴ ( ) = log2(1+ ) + log2(3 )，
{1 + > 0∴ ，
3 > 0
解得 1 < < 3；
∴ ( )的定义域是( 1,3)．
(2) ∵ ( ) = log2(1 + ) + log2(3 ) = log2(1 + )(3 ) = log
2
2[ ( 1) + 4]，
且 ∈ ( 1,3)；
3
∴当 = 1时， ( )在区间[0, ]上取得最大值，是log24 = 2． 2
5 1 + 18.【答案】解(1) = = = 2， =
5+1
= = 3，
2 2 2 2
2 2
= 12， = = = ，
12 6

由 × 9 + = ，得 × 9 + = ，解得 = ，
2 6 2 2

函数 = ( )的近似解析式是 = 2 ( ) + 3，(0 ≤ ≤ 24)
6 2
1
(2)依题意由 ≥ 4，得2 ( ) + 3 ≥ 4，得sin( ) ≥ ，
6 2 6 2 2
7
∵ 0 ≤ ≤ 24，∴ ≤ ≤ ，
2 6 2 2
5 13 17
结合正弦函数的图象可得 ≤ ≤ 或 ≤ ≤ ，
6 6 2 6 6 6 2 6
解得4 ≤ ≤ 6或16 ≤ ≤ 20．
所以估计一天内将有6小时不允许这种货车通行．
19.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = ( + 1) ( > 0且 ≠ 1， ∈ )是偶函数，
所以有 ( ) = ( )，
即 (
+ 1) + = (
+ 1) ，
所以 (
+ 1) + ( 1) = ( + 1) ，
1
则 1 = ，解得 = ；
2
2 +1
(2)①由(1)及 = 2知： ( ) = 2 ， ( ) = log2(2
+ 1) = log2(2
+ 1) 222 = 2 2
=
22
1
log 22(2 + )，
22
1
由 = 22 > 0在 ∈ 上递增， = + 在 ∈ (0,1)上递减， ∈ (1, +∞)上递增，

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1
故 > 0时 ≥ 2，即 = 2 + ≥ 2, = 2 在定义域上递增， 2
故 ( )的值域为[1,+∞)；
②由题意得4 1 + 2 1 > (2 2)在 1 ∈ (1, +∞)， 2 ∈ 上恒成立，
令 = 4 + 2 且 ∈ (1, +∞)，只需 > (2 2) 恒成立，
由①得 2 ∈ ， (2 2) = 1，
故4 + 2 1 > 0在 ∈ (1, +∞)上恒成立，
令 = 2 ∈ (2,+∞)，则 2 + 1 > 0在 ∈ (2, +∞)上恒成立，

所以 = 2 + 4 > 0，故{
≤ 2 3
2 ，可得 ≥ ．
2 + 3 ≥ 0 2
3
所以 的取值范围为[ , +∞)．
2
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