广东省深圳市盐田高级中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

广东省深圳市盐田高级中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.已知集合 = { ∈ | 2 ≤ 4}， = { ∈ | ≤ 2 < 2}，则 ∩ =( )
4
A. {0,1,2} B. { 2, 1,0} C. { 1,0,1,2} D. { 2, 1}
2.对于实数 ， ， ，下列命题正确的是( )
A. 若 > ，则 2 > 2 B. 若 > ，则 2 > 2

C. 若 > ，则 | | > | | D. 若 > > > 0，则 <

( ) ( )
3.下列函数，在其定义域内既满足 ( ) = ( )又满足 1 2 > 0的是( )
1 2
1
A. ( ) = 3 B. ( ) = log3 C. ( ) = D. ( ) =
3

4.已知 = ( 1)0.1， = 3 1， = log2( 1)，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.下列结论中错误的是( )

A. 终边经过点( , )( > 0)的角的集合是{ | = + 2 , ∈ }
4
B. 扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15，则它的面积为9

C. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是
3

D. 若 是第三象限角，则 是第二象限角
2
1 4
6.已知正实数 、 满足 + = 2，则 + 最小值为( )
+1
A. 3√ 3 B. 4 C. 2√ 2 D. 3
7.若函数 ( ) = ( > 0且 ≠ 1)在 上为减函数，则函数 = log (| | 1)的图象可以是( )
A. B. C. D.
8.已知函数 ( ) = ln( 2 1)，下列说法正确的有( )
A. 存在实数 ，使 ( )的定义域为
B. 若函数 ( )在区间(2, +∞)上单调递增，则实数 的取值范围是( ∞, 1)
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C. 对任意正实数 ， ( )的值域为
D. 函数 ( )一定有最小值
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“ 0 ∈ ,
2
0 + 3 0 + 2 ≤ 0”的否定是“ ∈ ，
2 + 3 + 2 > 0”
B. < 4是 < 3的必要不充分条件
C. 函数 ( ) = 23( + 2 3)的单调递减区间为( ∞, 1)
D. 函数 ( ) = 1 2( > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点(1, 1)
10.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪
下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为 1，其圆心角为 ，圆面中剩余部分的面积为 2，
当 1与 2的比值为
√ 5 1时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是( )
2

A. 1 =
2 2
1
B. 若 1 = ，扇形的半径 = 3，则 1 = 2 2 2
C. 若扇面为“美观扇面”，则 = (3 √ 5)
D. 若扇面为“美观扇面”，半径 = 20，则扇形面积为200(3 √ 5)
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列
为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ∈ ，用[ ]表示不超过 的最大整数，则 = [ ]称
[ +1]
为高斯函数，如[3.2] = 3，[ 1.6] = 2.若 ( ) = [ ]， ( ) = ，则下列说法正确的是( )

A. 函数 ( )的值域为[0,1)
B. ( + 1) ( ) = 1
2025
C. 当2024 ≤ < 2025时， ( ) =

D. 函数 ( )在[2, +∞)上单调递减
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 3 2 1
12.计算：(2 )0 + (3 ) 3 ( )1 32 49 3 8 3 274 = ______．
4
13.已知 + = ， ∈ (0, )，则 的值为______．
3 4
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3 + 1, ≤ 0
14.设函数 ( ) = { ，若关于 的函数 ( ) = [ ( )]2 ( + 2) ( ) + + 1恰好有五个零点，
| 4 |, > 0
则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
+1
设全集 = ，已知集合 = { | ≤ 0}，集合 = { | 2 + 3 10 < 0}，
4
(1)求 ∩ 和 ( ∪ )；
(2)若 = { | ≤ ≤ 2 + 2}且 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
3
已知角 以 轴的非负半轴为始边，点 (4, 3 )在角 的终边上，且 = ，
5
(1)求 及 的值；

2 ( )+sin( + )tan( )
(2)求 23 的值．
sin( )+cos( + )
2 2
17.(本小题12分)
已知幂函数 ( ) = ( 2 + 5) ( ∈ )是定义在 上的偶函数．
(1)求函数 ( )的解析式；
1
(2)当 ∈ [ , 81]时，求函数 ( ) = (log3 ) 2 3[ ( )] + 2的最值，并求对应的自变量 的值． 3
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 ( + 1) + 1( ∈ )．
(1)若 ( )在区间( ∞, 1]上单调递减，求 的取值范围．
(2)求关于 的不等式 ( ) > 0的解集．
19.(本小题12分)
已知偶函数 ( )和奇函数 ( )的定义域均为 ，且 ( ) ( ) = 21 ．
(1)求函数 ( )和 ( )的解析式；
(2)若 ∈ ，不等式 ( ) ≤ [ ( )]2 + 2 + 4恒成立，求实数 的取值范围；
( )+ ( ) 2 ( ) ( )(3)若 ( ) = [ ] + [ ]2 2 ( )，且 ( )在[1, +∞)上的最小值为 2，求 的值．
2 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
√ 2
13.【答案】
3
14.【答案】(0,1]
+1
15.【答案】(1)由 ≤ 0，得 1 ≤ < 4，则 = { | 1 ≤ < 4}，
4
解 2 + 3 10 < 0，得 5 < < 2，则 = { | 5 < < 2}，
所以 ∩ = { | 1 ≤ < 2}， ∪ = { | 5 < < 4}，
则 ( ∪ ) = { | ≤ 5或 ≥ 4}．
(2)因为 ∩ = ，所以 ，
而 = { | 1 ≤ < 4}， = { | ≤ ≤ 2 + 2}，
≥ 1
当 ≠ 时，则 ≥ 2，且{ ，解得 1 ≤ < 1，则 1 ≤ < 1；
2 + 2 < 4
当 = 时，则 > 2 + 2，解得 < 2，满足题意；
综上，实数 的取值范围为( ∞, 2) ∪ [ 1，1)．
3
16.【答案】解：(1)因为角 以 轴的非负半轴为始边，点 (4, 3 )在角 的终边上，且 = ，
5
3 3
又因为 = = > 0，
√ 16+9 2 5
可得 < 0，
所以 = 1或 = 1(舍)，
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3 3
可得 = = ；
4 4

2 ( )+sin( + )tan( )
(2)由题意 23
sin( )+cos( + )
2 2
2 + ( )
=
cos sin

=
1 tan
3
= 4 3
1
4
3
= ．
7
17.【答案】解：(1)根据题意可得 2 + 5 = 1，
即 2 + 6 = 0，
所以( + 3)( 2) = 0，解得 = 3或 = 2，
又函数 ( )是定义在 上的偶函数，
所以 = 2， ( ) = 2，
所以函数 ( )的解析式为 ( ) = 2；
(2)由(1)可知 ( ) = (log3 ) 2 3[ ( )] + 2+= (
2
3 ) 2 3
2 + 2 = ( )23 4 3 + 2 =
( 23 2) 2，
1
因为 ∈ [ , 81]，所以log3 ∈ [ 1,4]， 3
1
所以当log3 = 2，即 = 9 ∈ [ , 81]时，函数 ( )的最小值为 2； 3
1
当 = 时，log3 = 1，函数 ( )的最大值为7． 3
18.【答案】解：(1)当 = 0时， ( ) = + 1的单调递减区间为( ∞, +∞)，满足题意，
当 ≠ 0时，因为 ( ) = 2 ( + 1) + 1在( ∞, 1]上单调递减，
( +1)
所以{ ≥ 12 ，
> 0
解得0 < ≤ 1，
综上所述， 的取值范围为{ |0 ≤ ≤ 1}；
(2)由 ( ) > 0可得，( 1)( 1) > 0，
①当 = 0时，由 ( 1) > 0，
解得 < 1；
1
②当 ≠ 0时，方程( 1)( 1) = 0的两根为 , 1，

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1 1
当 < 0时， < 1，解不等式( 1)( 1) > 0得 < < 1，

1 1
当0 < < 1时， > 1，解不等式( 1)( 1) > 0得 < 1或 > ，

1 1
当 > 1时， < 1，解不等式( 1)( 1) > 0得 > 1或 < ，

当 = 1时，由( 1)2 > 0得 ≠ 1，
综上，当 = 0时，解集为( ∞, 1)；
1
当 < 0时，解集为( , 1)；

1
当0 < < 1时，解集为( ∞, 1) ∪ ( , +∞)；

1
当 > 1时，解集为( ∞, ) ∪ (1, +∞)；

当 = 1时，解集为( ∞, 1) ∪ (1, +∞)．
19.【答案】解：(1)因为 ( ) ( ) = 21 ，
此时 ( ) ( ) = 21+ ，
因为偶函数 ( )和奇函数 ( )，
所以 ( ) + ( ) = 21+ ，
( ) ( ) = 21
联立{ ，
( ) + ( ) = 21+
解得 ( ) = 2 2 ；
(2)因为 ( ) = 2 2 ，
若不等式 ( ) ≤ [ ( )]2 + 2 + 4恒成立，
此时 (2 + 2 ) ≤ (2 + 2 )2 + 2 恒成立，
令 = 2 + 2 ，2 + 2 ≥ 2√ 2 2 = 2，
当且仅当2 = 2 ，即 = 0时，等号成立，
所以 = 2 + 2 ≥ 2，
则 ≤ 2 + 2 恒成立，其中 ≥ 2，
当 = 0时， = 2，
此时2 ≤ 4 + 2 ， ∈ ，恒成立，
2
当 ≠ 0时， > 2， ≤ ，
2
2 2 4+4 ( 2)( +2)+4 4
令 = = = = + 2 + ，
2 2 2 2
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4
因为 2 + + 4 ≥ 2√ 4 + 4 = 8，
2
4
当且仅当 2 = ，即 = 4时，等号成立，
2
则实数 的取值范围为( ∞, 8]；
( )+ ( ) ( ) ( )
(3)易知 ( ) = [ ]2 + [ ]2 2 ( ) = 22 + 2 2 2 (2 2 )
2 2
= (2 2 )2 + 2 2 (2 2 )，
令 = 2 2 ，
易知函数 = 2 2 在 ∈ [1, +∞)上单调递增，
所以 ≥ 2 2 1
3
= ，
2
3
可得 ( ) = ( )2 + 2 2在 ∈ [ , +∞)上的最小值为 2，
2
3 3
当 ≤ 时， ( ) = ( )2 + 2 2在 ∈ [ , +∞)上单调递增，
2 2
3 9 3 17
所以当 = ，即 = 1时， ( )取得最小值，最小值为 + 2 2 = 3 ，
2 4 2 4
17
令 3 = 2，
4
25 3
解得 = > ，不成立，
12 2
3 3
当 > 时， ( ) = ( )2 + 2 2在 ∈ [ , )上单调递减，在 ∈ [ , +∞)上单调递增，
2 2
所以当 = 时， ( )取得最小值，最小值为2 2，
令2 2 = 2，
解得 = 2或 = 2(舍去)．
综上所述： = 2．
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