2024-2025学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.是成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.从某校高二年级随机抽取名学生进行数学能力测试，成绩结果：，，，，，，，，，，设学生测试成绩的平均数和中位数，众数分别为，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则的( )
A. 最小正周期为 B. 在区间上单调
C. 图象关于直线对称 D. 图象关于点对称
5.若，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，，不等式恒成立，则不等式的解集为( )
A. B. ，或
C. D. ，或
7.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
8.球面上有三点，，，若，，，且球心到所在平面的距离，等于球的半径的一半，则该球的球面面积为( )
A. B. C. D.
9.已知菱形的边长为，，点、分别在边、上，，，若，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.为虚数单位，若，则 ______．
11.在的展开式中，的系数是______用数字作答．
12.已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为______．
13.将数字，，，填入标号为，，，的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有______种？
14.抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处切线平行于的一条渐近线，则 ______．
15.已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值；
Ⅲ求的值．
17.本小题分
在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，，是棱的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面夹角的正弦值；
Ⅲ求点到平面的距离；
18.本小题分
已知椭圆：的焦距为，且经过点．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ点，是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值．
19.本小题分
已知椭圆：，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为的正方形记为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设经过点的直线与椭圆相交于点，若线段的中点落在正方形内包括边界时，求直线的斜率的取值范围．
20.本小题分
已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，，
求数列和的通项公式；
表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有个元素，求范围；
，数列的前项和为，求证：．
参考答案
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16.解：Ⅰ根据正弦定理，可得，
结合题意，可得，所以，
在中，由余弦定理得，所以；
Ⅱ由余弦定理，可得，
结合，可得；
Ⅲ因为，，所以．
可得，．
所以．
17.解：Ⅰ证明：连接交于点，因为，分别为，的中点，所以，
又平面，平面，
则平面；
Ⅱ直线平面，平面，
所以，且，，
则以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
由，得，
令，得，且，
所以，
直线与平面夹角的正弦值为；
Ⅲ因为，
且平面的法向量为，
则点到平面的距离．
18.解：Ⅰ因为椭圆的焦距为，且经过点，
所以，
解得，
则椭圆的方程为；
Ⅱ证明：设直线方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为，
所以，
又，
因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，
所以，，
则直线的斜率．
故直线的斜率为定值，定值为
19.解：Ⅰ设椭圆的方程为，焦距为，
因为两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为的正方形，
所以，，
则，
故椭圆椭圆的方程为；
Ⅱ设直线的方程为，，，线段的中点，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
因为，是方程的两根，
所以，
可得，，
因为，
所以点不可能在轴的右边，
易知直线的方程为，的方为，
所以点在正方形内包括边界的充要条件为，
即，
解得．
则直线斜率的取值范围为．
20.解：数列是正项等比数列，是等差数列，且，
故，，
由于，，
所以，解得或负值舍去，；
所以，；
由于，
，
所以，，
故集合，
设，故，
当时，，
当时，，，，，，
又由于集合含有个元素，
所以．
证明：由于，
所以，
设当为偶数时，，，
所以，，
得：，
解得，
当为奇数时，，
，
所以．
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