2024-2025学年北京市顺义区第二中学高三上学期12月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市顺义区第二中学高三上学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2.复数，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是( )
A. B. C. D.
5.南京大学开展数学建模选拔赛，对参赛的名学生的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图每组为左闭右开的区间，根据图中信息，下列说法错误的是( )
A. 图中的值为
B. 得分在分及以上的人数为
C. 这组数据的平均数的估计值为同一组中的数据用该组区间的中点值代表
D. 这组数据的中位数的估计值为
6.已知向量与向量的夹角为，且，，则( )
A. B. C. D.
7.设各项均为正数的等比数列的公比为，且，则“为递减数列”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.正四棱四中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
9.若角、是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.某教学软件在刚发布时有名教师用户，发布天后有名教师用户如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过名至少经过的天数为 参考数据：
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，共30分。
11.若展开式的二项式系数之和为，则展开式中的常数项是 ．
12.已知等差数列的公差是，且，，成等比数列，则当数列的前项和取最小值时，的取值为 ．
13.在中，，若，则 ；若满足条件的三角形有两个，则的一个值可以是 ．
14.设函数，若，则的单调递增区间是 ，若的值域为，则的取值范围是 ．
15.棱长为的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数
求的值；
从条件、条件、条件、条件这四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，判断函数在上是否存在最大值若存在，求出最大值及此时的值；若不存在，说明理由．
条件：函数的一个对称中心为；
条件：函数图象过点；
条件：两条相邻对称轴间的距离为；
条件：函数的的最大值与最小值之和为．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分
17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，分别为，的中点．

求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
求点到平面的距离．
18.某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应，，三组观察一段时间后，分别从，，三组随机抽取株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表．
株高增量单位：厘米
第组鸡冠花株数
第组鸡冠花株数
第组鸡冠花株数
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立．
从第组所有鸡冠花中随机选取株，估计株高增量为厘米的概率；
分别从第组，第组，第组的所有鸡冠花中各随机选取株，记这株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；
用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系结论不要求证明
19.在中，．
求的大小；
若，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长．
条件：的面积为；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.已知函数，．
若，求曲线在点处的切线方程；
求的单调区间；
若和有相同的最小值，求的值．
21.给定正整数，，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件，则称为数列记数列的项数的最小值为．
条件：的每一项都属于集合；
条件：从集合中任取个不同的数排成一列，得到的数列都是的子数列．
注：从中选取第项、第项、、第项其中形成的新数列，称为的一个子数列．
分别判断下面两个数列是否为数列，并说明理由：数列；数列；
求证：；
求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.答案不唯一
14.，
15.
16.
由：，则，；
由：，
由：，故，则，
由：的最大值与最小值之和为，则；
若选，由，即不存在满足条件的；
若选，满足，所以存在唯一，
当时，，所以当时，即时，；
若选，显然与不能同时成立，故不存在满足条件的；
若选，由代入得，，解得，
所以存在唯一，当时，，
所以当时，即时，；
若选，由，可得，所以，，
解得，故不唯一；
若选，存在且唯一，
当时，，所以当时，
即时，．

17.证明：取中点，连接，，如图所示：
为的中点，，，
是的中点，，
在正方形中，，，
且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
取中点，连接，，
，，且，
平面平面，平面平面，平面
平面，又平面，，
在正方形中，，
则建立以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示：

则，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
平面的一个法向量为，
又平面，则平面的一个法向量为，
，
平面与平面夹角的余弦值；
由知平面的一个法向量为，
又，
所以点到平面的距离为．

18.设事件为“从第组所有鸡冠花中随机选取株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，第组所有鸡冠花中，有株鸡冠花增量为厘米，
所以估计为；
设事件为“从第组所有鸡冠花中随机选取株，株高增量为厘米”，
设事件为“从第组所有鸡冠花中随机选取株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，估计为，估计为，
根据题意，随机变量的所有可能取值为，，，且
；
；
；
，
则的分布列为：
所以．
理由如下：
，所以；
，所以；
，所以；
所以．

19.解：由正弦定理 及，
得
因为，
所以
由得．
因为，所以．
所以．
因为，
所以．
选，的面积为，
即，即，解得，
因为，由余弦定理得，
即，解得，
由基本不等式得，但，
故此时三角形不存在，不能选，
选条件：．
由知，．
所以
．
所以．
因为，所以．
所以，即．
所以是以为斜边的直角三角形．
因为，
所以．
所以边上的中线的长为．
选条件：．
由余弦定理得，即．
设边上的中线长为，由余弦定理得
．
所以边上的中线的长为．

20.因为，，
所以，
所以，，
所以，曲线在点处的切线方程，即．
函数的定义域为，
所以，，
所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增，
当时，时，，单调递减；时，，单调递增，
综上，当时，增区间为，无减区间；
当时，减区间为，增区间为．
由知，当时，在上单调递减，在单调递增．
所以，
因为，得，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，，
因为和有相同的最小值，
所以，即，
令，，
令，，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即，
所以，在上单调递增，
因为，
所以，等价于
即的值为．

21.，
数列和中每一项都属于集合，符合条件，
从集合中取出个不同的元素，排成一列得到；；；；；．
根据子数列的定义可知，以上个数列都是数列的子数列，故数列是数列；
而数列不是数列的子数列，故数列不是数列．
，
若从集合中任取个不同的数排成一列，得到的数列都是数列的子数列，
则为了满足；；，；；；；；等数列都是的子数列，
则数列中一定有，
又为了满足；；；；等数列都为的子数列，
则数列中一定有，
则当数列为时，取到的值，
故．
，
从集合中取出个不同的数排成一列，可得；；；；；；
；；；，；；；；；；；
；；；；；；，共个数列．
故数列中一定有，
为保证数列的子数列中有和，则数列中一定有，
为保证数列的子数列中有，数列中一定有，
为保证数列的子数列中有和，则数列中一定有，
故．

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