江苏省无锡市江阴市某校2024-2025学年高二上学期12月学情调研数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省无锡市江阴市某校 2024-2025 学年高二上学期 12 月学情调研数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 = 3 + 2 ，则| | =( )
A. √ 13 B. 5 C. 1 D. 13
2.抛物线 2 = 6 的焦点到准线的距离为( )
1
A. B. 1 C. 2 D. 3
2
3.已知 = (3, + , )( , ∈ )是直线 的方向向量， = (1,2,3)是平面 的法向量，若 ⊥ ，则 +
2 =( )
15 3 9
A. B. C. 6 D.
2 2 2
4.已知{ }为递增的等差数列， 3 · 4 = 15， 2 + 5 = 8，若 = 21，则 =( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
5.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，
经过有限次步骤后，必进入循环圈1 → 4 → 2 → 1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”
等).如取正整数 = 6，根据上述运算法则得出6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1 → .现
给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列{ }满足： 1 = ( 为正整数)， +1 =
,当 为偶数时,
{ 2 当 = 23时，使得 = 1的最小正整数 值是( )
3 + 1,当 为奇数时.
A. 17 B. 16 C. 15 D. 10
6. 为直线 = 2上一点，过 总能作圆 2 + 2 = 1的切线，则 的最小值( )
√ 3 √ 3
A. √ 3 B. C. D. √ 3
3 3
1
7.在三棱锥 中， 为△ 的重心， = , = ， = ， ，
2
1
∈ (0,1)，若 交平面 于点 ，且 = ，则 + 的最小值为( )
2
1
A.
2
2
B.
3
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C. 1
4
D.
3
2 2
8.已知 1， 2分别为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)左、右焦点，过点 1的直线与双曲线 的左、右两
sin∠
支分别交于 ， 两点，且 1 2
2
= ，( + ) = 0，则双曲线 的离心率是( )
sin∠ 3 2 22 1
√ 5 √ 7
A. √ 5 B. C. √ 7 D.
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 ，下列命题正确的是( )
A. 若 + 1 ∈ ，则 ∈ B. 若 + ∈ ，则 的虚部为 1
C. 若| | = 1，则 = ±1 D. 若 2 ∈ ，则 ∈
10.下列结论正确的是( )
3
A. 1： + (2 1) + 2 3 = 0,
2
2： + 3 + + 4 = 0，若 1// 2，则 = 1或 = 2
1 3
B. 直线 1 = 0和以 ( 3,1)， (3,2)为端点的线段相交，则 ≤ 或 ≥
2 2
C. 直线 + 1 = 0与直线2 + 2 + 1 = 0之间的距离是√ 2
D. 与点 ( 1,2)的距离为1，且与点 (3, 1)的距离为4的直线共有3条
11.抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， 为其上一动点，当 运动到(2, )时，| | = 4，直线 与抛物线相
交于 ， 两点，点 (4,1)，下列结论正确的是( )
A. 抛物线的方程为 2 = 8
B. 存在直线 ，使得 、 两点关于 + 6 = 0对称
C. | | + | |的最小值为6
D. 当直线 过焦点 时，以 为直径的圆与 轴相切
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知椭圆的方程为25 2 + 4 2 = 100，则它的焦点坐标为______．
13.已知点 (2,0)， (0,0)， (0, 4)，则△ 的外接圆的标准方程为______．
14.如图，两条异面直线 ， 所成角为60°，在直线上 ， 分别取点 ′， 和点 ，
，使 ′ ⊥ 且 ′ ⊥ .已知 ′ = 2， = 3， = √ 23.则线段 ′的长为
______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知 (1,2)， ( , 1)， (2,3)， ( 1, )( , ∈ )是复平面上的四个点，且向量 ， 对应的复数分别为
1， 2．
(Ⅰ)若 1 + 2 = 1 + ，求 1， 2
(Ⅱ)若| 1 + 2| = 2， 1 2为实数，求 ， 的值．
16.(本小题12分)
已知圆 ： 2 + 2 4 6 + 4 = 0，过点 (4,2)的直线 与 交于点 ， ，且| | = 4．
(1)求圆的圆心坐标和半径：
(2)求 的方程；
(3)设 为坐标原点，求 的值．
17.(本小题12分)
已知等差数列{ }的公差为正数， 2与 8的等差中项为8，且 3 7 = 28．
(1)求{ }的通项公式；
(2)从{ }中依次取出第3项，第6项，第9项，…，第3 项，按照原来的顺序组成一个新数列{ }，判断938是
不是数列{ }中的项？并说明理由．
18.(本小题12分)
在三棱锥 中，平面 ⊥平面 ，△ 为等腰直角三角形， ⊥ ， ⊥ ， = 2 = 4，
为 的中点．
(Ⅰ)求证： ⊥ ；
(Ⅱ)求 与平面 所成角的正弦值；

(Ⅲ)在线段 上是否存在点 使得平面 ⊥平面 ？若存在，求出 的值，若不存在，说明理由．

19.(本小题12分)
2 2 √ 2
已知椭圆 + = 1( > > 0)的短轴长与焦距相等，且椭圆过点 ( 1, )，斜率为 的直线 过椭圆的右
2 2 2
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焦点，且与椭圆交于 ， 两点， 是线段 的中点，射线 与椭圆于点 ．
(1)求椭圆方程；
1
(2)若直线 = ，求点 的坐标；
2
(3)是否存在正数 ，使四边形 是平行四边形？若存在，求出直线 的方程，若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(0, √ 21)，(0,√ 21)
13.【答案】( 1)2 + ( + 2)2 = 5
14.【答案】4或2
15.【答案】解：(Ⅰ)向量 = ( 1, 1)， = ( 3, 3)对应的复数分别为 1 = ( 1) ， 2 = 3 +
( 3) ．
∴ 1 + 2 = ( 4) + ( 4) = 1 + ．
∴ 4 = 1， 4 = 1．
解得 = = 5．
∴ 1 = 4 ， 2 = 3 + 2 ．
(Ⅱ)| 1 + 2| = 2， 1 2为实数，
∴ √ ( 4)2 + ( 4)2 = 2，( + 2) + (2 ) ∈ ，
∴ 2 = 0，解得 = 2，
∴ ( 4)2 + 4 = 4，解得 = 4．
∴ = 4， = 2．
16.【答案】解：(1)将圆 ： 2 + 2 4 6 + 4 = 0化为标准方程，
可得( 2)2 + ( 3)2 = 9，
故圆心 (2,3)，半径 = 3；
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(2)当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 = 4，
在圆 ： 2 + 2 4 6 + 4 = 0中，
令 = 4，得 2 6 + 4 = 0，解得 = 3 ± √ 5，
此时| | = 2√ 5，与题意矛盾；
所以直线 的斜率存在，设斜率为 ，
则直线 的方程为 2 = ( 4)，即 4 + 2 = 0，
因为| | = 4，
所以圆心 (2,3)到直线 的距离 2 | | = √ ( )2 = √ 9 4 = √ 5，
2
|2 3 4 +2|
所以 = √ 52 ，解得 = 2， √ +1
所以直线 的方程为2 6 = 0，
综上所述，直线 的方程为2 6 = 0；
(3)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 6 = 0
联立{ ，消 得5 2 40 + 76 = 0，
2 + 2 4 6 + 4 = 0
76
则 1 + 2 = 8, 1 2 = ， 5
4
故 1 2 = (2 1 6)(2 2 6) = 4 1 2 12( 1 + 2) + 36 = ， 5
76 4
所以 = 1 2 + 1 2 = + = 16． 5 5
17.【答案】解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
根据等差中项的性质可得 2与 8的等差中项为 5，所以 5 = 8，
又因为 3 7 = 28，即( 5 2 )( 5 + 2 ) = 28．
所以 2 = 9， = ±3，因为公差为正数，所以 = 3.则 5 = 1 + 4 = 8，则 1 = 4，
∴ { }的通项公式 = 1 + ( 1) = 4 + 3( 1) = 3 7( ∈
)．
(2)结合(1)可知 =

3 = 9 7( ∈ )．
令938 = 9 7，即 = 105 ∈ ，符合题意，即 105 = 938．
所以938是数列{ }中的项．
18.【答案】证明：( )取 中点 ，连接 ， ．
∵ = ，∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
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∴ ⊥平面 ．
∵ 是 的中点，∴ // ，
∵ ⊥ ，
∴ ⊥ .又 ∩ = ， , 平面
∴ ⊥平面 ，∵ 平面 ，
∴ ⊥ ．
( )以 为原点，以 ， ， 为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则 (1,0,0)， ( 1,0,0)， (0,0,1)， ( 1,4,0)．
∴ = ( 1,0, 1)， = ( 1,0,1)， = ( 2,4,0)．

设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ = 0，
= 0
+ = 0 2√ 2
∴ { ，令 = 1得 = (2,1,2)，∴ cos < , >= = ．
2 + 4 = 0 | || | 3
∴ 与平面 所成角的正弦值为2√ 2．
3
( ) ∵ (0,2,0)，∴ = ( 1,4, 1)， = (1,0,1)， = (1,2,0)．
设线段 上存在点 使得平面 ⊥平面 ．
设 = = ( , 4 , )，(0 ≤ ≤ 1).则 = + = (1 , 4 , 1 )．

设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ = 0，
= 0
+ 2 = 0 2 6
∴ { ，设 = 1得 = ( 2,1, ).
(1 ) + 4 + (1 ) = 0 1
∵平面 ⊥平面 ，∴ = 0．
4 12 1
即 4 + 1 + = 0，解得 = ．
1 9
1
∴线段 上存在点 ，即当 = 时，使得平面 ⊥平面 ．
9
2 = 2
1 2
19.【答案】解：(1)由题可得{ 1 + 2 = 1 ，解得：{
= 2，
2 2 2 = 1
2 = 2 + 2
2
所以椭圆方程为 + 2 = 1，
2
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，由(1)可得 (1,0)，
1 1
因为 = ，所以
2
： = ( 1)，
2
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1
= ( 1)
2
联立{ 2
2
，化简可得3 2 3 = 0，则 = 4 + 36 = 40 > 0，
+ 2 = 1
2
2 1 1 2
所以 1 + 2 = ， 1 + 3 2 = ( 2 1 1) ( 2 2 1) = 1 ( 1 + 2) =
，
3
1 1
由中点坐标公式可得 ( , )，
3 3
所以 ： = ，
2 √ 6 √ 6 2 = =
联立{ + = 12 ，解得：{
3 或{ 3 ，
= √ 6 √ 6 = =
3 3
由题可知， 点位于一象限，所以 √ 6 √ 6 ( , )；
3 3
(3)存在，理由如下：
由题意可得 ： = ( 1)，如图，设 ( 3, 3)， ( 4, 4)，
设存在正数 ，使四边形 是平行四边形，则 + = ，
2
+ 2 = 1 1
联立{ 2 ，化简得( + 2) 2 2 2 + 2 1 = 0，
= ( 1) 2
1
则 = 4 4 4( + 2)( 2 1) > 0，
2
2
2
所以 3 + 4 = 1 2，
+
2

则 3 + 4 = ( 1 1) + ( 2 1) = ( 1 + 2 2) = 1 2，
+
2
2
2
因为 + = ，所以 (1 2 , 1 2)，
+ +
2 2
2
1 2 2 由点 在椭圆上，所以 (1 2) + (
2
1 2) = 1， 2 + +
2 2
4 2
2 + 1
化简可得 21 2 2 = 1，即 = ，
( + ) 2
2
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由 > 0，所以 √ 2 = ，
2
所以存在正数 ，使四边形 是平行四边形，直线 的方程为 √ 2 = ( 1)．
2
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