八省八校（T8联考）2024-2025学年1月高考数学模拟试卷（PDF版，含答案）

八省八校（T8 联考）2024-2025 学年 1 月高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1}， = {0,1,4}，则 ∩ =( )
A. {0} B. {1} C. {0,1} D. { 1,0,1,4}

2.函数 ( ) = cos( + )的最小正周期是( )
4

A. B. C. D. 2
4 2
3.|2 4 | =( )
A. 2 B. 4 C. 2√ 5 D. 6
4.已知向量 = (0,1)， = (1,0)，则 ( ) =( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
2
5.双曲线 2 = 1的渐近线方程为( )
9
A. = ± B. = ±2 C. = ±3 D. = ±4
6.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为( )
√ 3
A. B. C. 2 D. 3
3
3
7.在△ 中， = 8， = 10，cos∠ = ，则△ 的面积为( )
5
A. 6 B. 8 C. 24 D. 48
8.已知函数 ( ) = | | 2 2.若当 > 2时， ( ) > 0，则 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1] B. [ 2,1] C. [ 1,2] D. [ 1, +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 (2,0)是抛物线 ： 2 = 2 的焦点， 是 上的点， 为坐标原点.则( )
A. = 4
B. | | ≥ | |
C. 以 为圆心且过 的圆与 的准线相切
D. 当∠ = 120°时，△ 的面积为2√ 3
10.在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数，
+
定义双曲正弦函数 = ，双曲余弦函数 = ，双曲正切函数 = ，则( )
2 2
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A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数
+
C. 双曲正切函数是增函数 D. ( + ) =
1+
11.下面四个绳结中，不能无损伤地变为如图中的绳结的有( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = ( > 0, ≠ 1)，若 ( 2) ( 4) = 8，则 = ______．
13.有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片
上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为______．
2
14.已知曲线 ： = 3 ，两条直线 1， 2均过坐标原点 ， 1和 交于 ， 两点， 2和 交于 ， 两点.若
△ 的面积为√ 2，则△ 的面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题13分)
为考察某种药物 对预防疾病 的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表：
疾病
药物 合计
未患病 患病
未服用 100 80
服用 150 70 220
合计 250 400
(1)求 ， ；
(2)记未服用药物 的动物患疾病 的概率为 ，给出 的估计值；
(3)根据小概率值 = 0.01的独立性检验，能否认为药物 对预防疾病 有效？
2
2 ( )附： = ．
( + )( + )( + )( + )
( 2 ≥ ) 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16.(本小题15分)
3
已知数列{ }中， 1 = 3，

+1 = ． +2
1
(1)证明：数列{1 }为等比数列；

(2)求{ }的通项公式；

(3)令 =
+1，证明： < +1 < 1．
17.(本小题15分)

已知函数 ( ) = + ．

(1)设 = 1， = 2，求曲线 = ( )的斜率为2的切线方程；
(2)若 = 1是 ( )的极小值点，求 的取值范围．
18.(本小题17分)
1
已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 1( 1,0)， 2 2(1,0)．
(1)求 的方程；
(2)已知点 0(1,4)，证明：线段 1 0的垂直平分线与 恰有一个公共点；
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(3)设 是坐标平面上的动点，且线段 1 的垂直平分线与 恰有一个公共点，证明 的轨迹为圆，并求该圆
的方程．
19.(本小题17分)
在平面四边形 中， = = = 1，∠ = 30°，∠ = 120°，将△ 沿 翻折至△ ，
其中 为动点．
(1)设 ⊥ ，三棱锥 的各个顶点都在球 的球面上．
( )证明：平面 ⊥平面 ；
(ⅱ)求球 的半径；
(2)求二面角 的余弦值的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
3
13.【答案】
56
14.【答案】2√ 2
15.【答案】解：(1)由表格信息可知， = 100 + 80 = 180， = 80 + 70 = 150；
(2)由表格信息可知，未服用药物 的动物共计180只，其中患疾病 的有80只，
80 4
所以 = = ；
180 9
(3)补全2 × 2列联表如下：
疾病
药物 合计
未患病 患病
未服用 100 80 180
服用 150 70 220
合计 250 150 400
零假设 0：药物 对预防疾病 无效，
2
2 400×(100×70 150×80)则 = ≈ 6.734 > 6.635，
250×150×180×220
根据小概率值 = 0.01的独立性检验，我们推断 0不成立，即认为药物 对预防疾病 有效，此推断犯错的
概率不超过0.01．
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3
16.【答案】解：(1)证明：因为 1 = 3，且 +1 = ， +2
1 +2 1 2所以 = = + ，
+1 3 3 3
1
1
1 2 2 2 1 2
所以1 = = (1 )，即 +11 = ， +1 3 3 3 1 3

1 2
又 1 = 3，所以1 = ， 1 3
1 2
所以数列{1 }为首项和公比均为 的等比数列；
3
1 2 2 2
(2)由(1)知，1 = × ( ) 1 = ( ) ，
3 3 3
1 2 3
所以 = 1 ( ) ，所以 = ；
3 3
2
3 +1
+1 +1 3(3 2 ) 3 +1 2 +1 2 2
(3)证明：由(2)知， =
+1 = 3 2 = 3 3 +1 2 +1
= +1 +1 = 1 3 2 3 +1 2 +1
，

3 2
2 2 +1 2 3 +1
因为 +1 = (1
3 +1 2 +1
) (1 ) = < 0，
3 +2 2 +2 (3 +1 2 +1)(3 +2 2 +2)
2 +1
所以 < +1，又 ∈ +，所以 +1 = 1
3 +1 2 +1
< 1，
所以 < +1 < 1．
2
17.【答案】解：(1)当 = 1， = 2时， ( ) = ， > 0，

1 2 2+2
则 ′( ) = + 2 1 = 2 ，
2+2
令 ′( ) = 2 = 2，化简得3 2 2 = ( 1)(3 + 2) = 0，解得 = 1(负值舍去)，
2
又此时 (1) = 3，则切线过点(1, 3)，结合切线方程斜率为2，则切线方程为 + 3 = 2( 1)，
即2 5 = 0．
2+
(2)由题可得 ( )定义域为(0, +∞)， ′( ) = 2 1 = 2 ，
因为 = 1是 ( )的极小值点，
2+( +1) ( 1)( )
则 ′(1) = 1 + = 0，即 = + 1，则 ′( ) = 2 = ， 2
若 ≤ 0，令 ( ) > 0，解得 ∈ (0,1)，令 ( ) < 0，则 ∈ (1, +∞)，
则 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减，得 = 1是 ( )的极大值点，不满足题意；
若0 < < 1，令 ′( ) > 0，则 ∈ ( , 1)，令 ′( ) < 0，则 ∈ (0, ) ∪ (1, +∞)，
则 ( )在( , 1)上单调递增，在(0, )，(1, +∞)上单调递减，得 = 1是 ( )的极大值点，不满足题意；
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2
( 1)
若 = 1，则 ′( ) = 2 < 0， ( )在(0, +∞)上单调递减，无极值，不满足题意；
若 > 1，令 ′( ) > 0 ∈ (1, )，
令 ′( ) < 0，则 ∈ (0,1) ∪ ( , +∞)，
故 ( )在(1, )上单调递增，在(0,1)，( , +∞)上单调递减，
所以 = 1是 ( )的极小值点，满足题意；
综上， = 1是 ( )的极小值点时， 的范围为{ | > 1}．
1
=
2 = 2
18.【答案】解：(1)由题意知{ = 1 { ， = √ 3
2 = 2 + 2
2 2
∴ 的方程为 + = 1；
4 3
(2)证明：设 1 0中点为 ，则 (0,2)， = 2， 1 0
1
∴ 2 0的中垂线方程为 = + 2， 2
1
= + 2 1
联立{ 2 3 2 + 4( 2 2 + 4) = 12，
3 2 + 4 2 = 12 4
∴ 2 2 + 1 = 0， = 4 4 = 0，
∴ 1 0的垂直平分线与 恰有一个公共点；
(3)证明：设线段 1 的垂直平分线与 切于点( 0, 0)，

则切点处的切线方程为 0 + 0 = 1，
4 3
即3 0 + 4 0 = 12，∴ 9
2 20 + 16
2
0
2 + 24 0 0 = 144①，
4
又 1 ： =
0 ( + 1)，即3
3 0
4 0 = 4 0，
0
∴ 9 2 20 + 16
2
0
2 24 0 0 = 16
2
0 ②，
① + ②可得(9 20 + 16
2 2
0 )( +
2) = 144 + 16 20，
2 2
又 0

+ 0 = 1，∴ 144 = 36 2 + 48 2，
4 3 0 0
∴ (9 20 + 16
2
0 )(
2 + 2) = 36 20 + 64
2
0，
∴ 2 + 2 = 4，
又 = 2 + 1， = 2 ，
1 2 ∴ ( ) + ( )2 = 4，
2 2
∴ 轨迹方程为( 1)2 + 2 = 16，它为一个圆．
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19.【答案】解：(1)( )证明：∵ = = 1，∠ = ∠ = 30°，∠ = 120°，
∴ ∠ = 90°， ⊥ ，翻折后同样有 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
(ⅱ)如图，∵△ 的外接圆圆心 1位于 中点，作 关于 的对称点 2，
则 2 = 2 = 2 = 1， 2为△ 的外接圆圆心，
作 1 ⊥ 于 ，则 为 中点，
则 1 ⊥平面 ， 1 ⊥ 2 ，
又△ 2 为等边三角形，∴ 2 ⊥ ，
而外接球球心 ，满足 1 ⊥平面 ， 2 ⊥平面 ，
√ 3 √ 2
∴ 1 = 2 = ， = ， 2 1 2
∴球 的半径为 1 3 √ 5 = √ 2 + 2 = √ + = ； 1 1 2 4 2
(2)以 为原点， 所在直线为 轴，过 且垂直底面 的直线为 轴，建系如图：
则根据题意可得 (1,0,0)， 3 √ 3 ( , , 0)，又 = 1，
2 2
∴设 (0, , )，
1 √ 3∴ = ( , , 0)， = ( 1, , )，
2 2
易知平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
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= + + = 0
则{ 1 √ 3 ，取 = ( √ 3 , , (√ 3 + ))，
= + = 0
2 2
设二面角 的平面角为 ，易知 为锐角，
| | |√ 3+ |
∴ = |cos < ， > | = = ，
| || | √ 7 3 2 +2√ 3
令 = + √ 3，则 ∈ [√ 3 1, √ 3 + 1]，
| | 1
∴ = =
√ 1 √ 3 2
，
3 2+8√ 3 8 √ 8( ) +3 2
∴当1 √ 3= ，即
√ 3
= 时， 取得最小值
√ 3，
2 3 3
∴二面角
√ 3
的余弦值的最小值为 ．
3
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