2024-2025学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若实数 、 满足 2 > 2，下列不等式中恒成立的是( )
1 1
A. > B. < C. 2 + 2 > 2 D. > | |

2.设 、 为两条直线， 、 为两个平面，且 ∩ = .下述四个命题中为假命题的是( )
A. 若 ⊥ ，则 ⊥ B. 若 // ，则 //
C. 若 // 且 // ，则 // D. 若 // ，则 // 或 //
3.对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变
化的为( )
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
4.设函数 = ( )， = ( )的定义域均为 ，值域分别为 、 ，且 ∩ = .若集合 满足以下两个条件：
(1) ∪ ；(2) ( ∪ )是有限集，则称 = ( )和 = ( )是 互补函数．给出以下两个命题：①存
在函数 = ( )，使得 = 2 ( )和 = 2 ( )是[0,16] 互补函数；②存在函数 = ( )，使得 = sin ( )
和 = tan ( )是[0,+∞) 互补函数．则( )
A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题
二、填空题：本题共 12 小题，共 54 分。
5.若对数函数 = log ( > 0且 ≠ 1)的图象经过点(4,2)，则实数 = ．
6.直线 + 1 = 0的倾斜角 ．
7.已知复数 1 = 3 + ， 2 = + 4 ， ∈ ，若 1 2为纯虚数，则| 2| = ．
1
8.( 2 + )6的展开式中 3的系数为 . (用数字作答)

9.在 中， = 5，∠ = 45 ，∠ = 105 ，则 = ．
10.已知实数 、 满足 + 2 = 1，则3 + 9 的最小值为 ．
11.若等差数列{ }满足 7 + 8 + 9 = 0， 7 + 10 = 1，则 1 = ．
1
( ) 3, ≤ 0
12.已知函数 = ( )的表达式为 ( ) = { 2 ，则不等式 ( ) ≤ 1的解集为 ．
2, > 0
第 1 页，共 10 页
2
13.已知双曲线 2 = 1的左、右焦点分别为 1、 2，双曲线上的点 在第一象限，且 2与双曲线的一条3
渐近线平行，则 1 2的面积为 ．
14.某地要建造一个市民休闲公园长方形 ，如图，边 = 2 ，边 = 1 ，其中区域 开挖成
一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且 、 位于圆心 的
正北方向， 位于圆心 的北偏东60°方向．拟定在圆弧 处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园
的边 、 开设两个门 、 ，修建步行道 、 通往渔人码头，且 ⊥ 、 ⊥ ，则步行道 、
长度之和的最小值是 . (精确到0.001)
15.已知空间中三个单位向量 、 、 1 2 3， 1 2 = 2 3 = 3 1 = 0， 为空间中一点，
且满足| | = 1，| 1 2| = 2，| 3| = 3，则点 个数的最大值为 ．
16.已知在复数集中，等式 4 + 33 +
2
2 + 1 + 0 = ( 1)( 2)( 3)( 4)对任意复数 恒成
立，复数 1， 2， 3， 4在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，{ 0, 1, 2, 3}
{ |1 ≤ ≤ 2024, ∈ }，则满足条件的不同集合{ 0, 1, 2, 3}个数为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 78 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
已知函数 = ( )的表达式为 ( ) = sin ， > 0．

(1)若函数 = ( )的最小正周期为 ，求 的值及 = ( )的单调增区间；
2

(2)若 = 2，设函数 = ( )的表达式为 ( ) = ( ) + √ 3cos2 ，求当 ∈ [0, ]时， = ( )的值域．
2
18.(本小题15分)
如图，已知 为圆柱 1底面圆 的直径， = 2，母线 1长为3，点 为底面圆 的圆周上一点．
第 2 页，共 10 页
(1)若∠ = 90 ，求三棱锥 1的体积；
(2)若∠ = 60 ，求异面直线 1 与 所成的角的余弦值．
19.(本小题16分)
申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小 、高二小 分别荣获了高一年级和高二
年级比赛的年级 (最有价值球员).以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．
二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率
小 100次 80% 100次 40%
小 190次 70% 10次 30%
现以两人的总投篮命中率(二分球+三分球)较高者评为校 (总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数)
(1)小 认为，目测小 的二分球命中率和三分球命中率均高于小 ，此次必定能评为校 ，试通过计算判
断小 的想法是否准确？
(2)小 是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小 、小 轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小 的
命中率始终为0.4，小 的命中率始终为0.3，②游戏中投篮总次数最多为 (3 ≤ ≤ 20, ∈ )次，且同一个
游戏人物不允许连续技篮．③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第 次投篮都没有
命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“ ”的值，请解答以
下两个问题．
(ⅰ)若小 第一次投篮，请证明小 获胜概率大；
(ⅱ)若小 第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由．
20.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 + = 1的左、右焦点分别为
8 4 1
、 2，过坐标原点的直线交椭圆于 、 两点，点 在第一象限．
第 3 页，共 10 页
(1)若| | = √ 6，求点 的坐标；
(2)求| 1 + 3 2|的取值范围；
(3)若 ⊥ 轴，垂足为 ，连结 并延长交椭圆于点 ，求 面积的最大值．
21.(本小题17分)
过曲线 = ( )上一点 作其切线，若恰有两条，则称 为 ( )的“ 类点”；过曲线 = ( )外一点 作其
切线，若恰有三条，则称 为 ( )的“ 类点”；若点 为 ( )的“ 类点”或“ 类点”，且过 存在两条
相互垂直的切线，则称 为 ( )的“ 类点”．
1
(1)设 ( ) = 2，判断点 (1,1)是否为 ( )的“ 类点”，并说明理由；
(2)设 ( ) = 3 ，若点 (2,0)为 ( )的“ 类点”，且过点 的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，
求实数 的值；
+1
(3)设 ( ) = ，证明： 轴上不存在 ( )的“ 类点”．
第 4 页，共 10 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】2

6.【答案】
4
7.【答案】5
8.【答案】20
9.【答案】5√ 2
10.【答案】2√ 3
11.【答案】 7
12.【答案】[ 2,1]
3√ 3
13.【答案】
2
14.【答案】1.172
15.【答案】8
16.【答案】10
17.【答案】解：(1)
2
因为 > 0，所以 = ，解得 = 4，
2
( ) = sin4 ，

令 + 2 ≤ 4 ≤ + 2 , ∈ ，解得 + ≤ ≤ + , ∈ ，
2 2 8 2 8 2

故单调递增区间为[ + , + ] , ∈ ；
8 2 8 2
(2)

= 2， ( ) = sin2 + √ 3cos2 = 2sin (2 + )，
3
4 √ 3
∈ [0, ]时，2 + ∈ [ , ]，故sin (2 + ) ∈ [ , 1]，
2 3 3 3 3 2

所以 ( ) = 2sin (2 + ) ∈ [ √ 3, 2]．
3
第 5 页，共 10 页
18.【答案】解：(1)
1 1
依题意， 1 ⊥平面 ，由∠ = 90
，得 = = × 4 × 2 = 4， 2 2
1 1
所以三棱锥 1的体积 = = 1 = × 4 × 3 = 4． 1 1 3 3
(2)
过点 作圆柱 1的母线 1，连接 1 1, ，
则 1// 1, 1 = 1，于是四边形 1 1为平行四边形， 1 1// ，
因此∠ 1 1 是异面直线 1 与 所成的角或其补角，
由∠ = 60 ，得∠ = 120 ， = 2 cos30 = 2√ 3， = = 2，
则 1
2
1 = = 2√ 3， 1 = √ 1 +
2 = √ 32 + 42 = 5，
由 1 ⊥平面 ，得 1 = √
2
1 +
2 = √ 32 + 22 = √ 13，
21 1+
2 2 12+25 13 2√ 3
在 1 1 中，cos∠ 1 1 =
1 1 = = ，
2 1 1 1 2×2√ 3×5 5
2√ 3
所以异面直线 1 与 所成的角的余弦值为 ． 5
120
19.【答案】解：(1)由题意小 总出手200次，命中120次，命中率为： = 60%，
200
136
小 总出手200次，命中136次，命中率为 = 68% > 60%，
200
故小 获校 ，所以小 的想法不正确；
(2)(ⅰ)证明：若第一次投篮人物为小 ， (3 ≤ ≤ 20, ∈ )，
小 获胜的概率为 ，小 获胜的概率为1 ，
则 ≥ 0.4 + 0.7 × 0.6 × 0.4 = 0.568 > 0.5 > 1 ，
所以若小 第一次投篮，小 获胜概率大，
(ⅱ)若第一次投篮人物为小 ， (3 ≤ ≤ 20, ∈ )，
小 获胜的概率为 ，小 获胜的概率为1 ，
则 = 0.3 + 0.3 × (0.7 × 0.6) + 0.3 × (0.7 × 0.6)

第 6 页，共 10 页
0.3× 1 0.42 +1[ ] 15
= = (1 0.42 +1)，
0.58 29
2
, ∈ {4,6,8,10,12,14,16,18,20}
其中 = { 2
1
, ∈ {3,5,7,9,11,13,15,17,19}
2
15
由指数函数的单调性可知： = (1 0.42
+1)随着 的增大而增大，
29
计算可得： (2) < 0.5 < (3)，
所以当 ≥ 3也就是7 ≤ ≤ 20时， > 0.5 > 1 ，
当 < 3也就是3 ≤ ≤ 6时， < 0.5 < 1 ，
综上：若小 第一次投篮， ∈ {3,4,5,6}时，小 获胜概率大，
∈ { |7 ≤ ≤ 20, ∈ }时，小 获胜概率大．
20.【答案】解：(1)
由椭圆方程可知： = 2√ 2, = 2, = √ 2 2 = 2，则 1( 2,0), 2(2,0)，
设直线 : = , > 0， ( 0, 0), 0 > 0, 0 > 0，
0 = 0 8
可得{ 2 2 ，解得
2
0 0 0
= 2， + = 1 1+2
8 4
2
1+ 1 √ 2
则| | = √ 2 + 2 20 0 = √ 0 +
2 20 = 2√ 2√ 2 = √ 6，解得
2 = , = ，
1+2 2 2
2 √ 2则 0 = 4，即 0 = 2, 0 = 0 = √ 2，所以 (2, √ 2)． 2
(2)
因为 1 = ( 2 0, 0), 2 = (2 0, 0)，
可得 + 3 1 2 = (4 4 0, 4 0)，
则| 2 2 2 21 + 3 2| = √ (4 4 0) + (4 0) = 4√ 0 + 0 2 0 + 1，
20
2
因为 + 0 = 1，则 2
1
= 4 2
8 4 0 2 0
, 0 ∈ (0,2√ 2)，
可得| + 3
1 1
1 2| = 4√
2
0 + 4
2
0 2 0 + 1 = 4√ ( 0 2)
2 + 3 ∈ [4√ 3, 4√ 5),
2 2
所以| + 3 1 2|的取值范围为[4√ 3, 4√ 5)．
(3)
设 ( 1, 1)，
第 7 页，共 10 页
由题意可知： ( 0, 0), ( 0, 0), ( 0, 0)，

则 = 0
1 +
, =
0 = ，且 1 0 = , =
1 0，
0 2 0 2

1 0 1+ 0
20
2
+ 0 = 1 2 2 2 2
因为点 , 均在椭圆上，则{ 8 4
1 0
2 2 ，两式相减得 +
1 0 = 0，
8 41 + 1 = 1
8 4
21
2
0 1 0 1+ 整理可得 = 0
1 1
2 2 = ，即 = ， 1 0 1 0 1+ 0 2 2
1 1
则 ( ) = ，即 2 2 = 1，可知 ⊥ ，
1

又因为tan∠ = 2 1 = 2 ，则| | = | |tan∠ = 2 | |，
1+ × +2 +2
2
1 1 1
可得 面积 2 2 = | | | | = ×2 2 2
| | = × 2 × 4| |
+2 2 +2
2 3
2 1+ 16( + )
= 2 × 8( 2) = 4 2 ，
+2 1+2 2 +5 +2
3 4 2
+ (2 +3 +2)( +1)(1 )
设 ( ) = 4 2 , > 0，则 ′( ) = 4 2 2
，
2 +5 +2 (2 +5 +2)
当0 < < 1时， ′( ) > 0；当 > 1时， ′( ) < 0；
2
可知 ( )在(0,1)内单调递增，在(1,+∞)内单调递减，则 ( ) ≤ (1) = ，
9
2 32
所以 面积的最大值为16 × = ．
9 9
21.【答案】解：(1)
1 2
函数 ( ) = 2， (1) = 1，点 在 ( )上，求导得 ′( ) = ， 3
1 2 2 3
设切点为( , ( ))，切线方程为 2 = 3 ( )，即 = 3 + 2，
由切线过 (1,1)，得 3 3 + 2 = 0，( 1)2( + 2) = 0，解得 = 1或 = 2，
1 3
因此切线方程为 = 2 + 3, = + ，所以点 为 ( )的“ 类点”．
4 4
(2)
第 8 页，共 10 页
函数 ( ) = 3 ，求导得 ′( ) = 3 2 ，设切点为( , ( ))，
切线方程为 ( 3 ) = (3 2 )( )，即 = (3 2 ) 2 3，
切线过 (2,0)，则2 3 6 2 + 2 = 0，
依题意，方程2 3 6 2 + 2 = 0有三个不同解，且成等差数列，设为 1, 2, 3，公差为 ，
2 3 6 2 + 2 = 2( 3 21)( 2)( 3) = 2 2( 1 + 2 + 3) + 2( 1 2 + 1 3 + 2 3) 2 1 2 3，
1 + 2 + 3 = 3
因此{ 1 2 + 1 3 + 2 3 = 0，则 2 = 1， 1 + 3 = 2, ∴ 1 3 = 2，则 = 1 2 3 = 2，
1 2 3 =
当 = 2时， ( ) = 3 2 ，不过 (2,0)，
所以 的值为2．
(3)
+1
假设 轴上存在函数 ( ) = 的 “ 类点”，记为 ，设坐标为(0, )，
+1
求导得 ′( ) = ，设切点为( , ( ))，切线方程为 = ( )，
2+ +1 2+ +1
即 = + ，由切线过 (0, )，得 = ，此方程至少有两个不同解，
2+ +1 2
设 ( ) = ，则 ′( ) = ，由 ′( ) = 0，得 = 0或 = 1，
当 ∈ ( ∞, 0) ∪ (1,+∞)时， ′( ) < 0，函数 ( )是( ∞, 0), (1,+∞)上的严格减函数，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0, ( )为(0,1)上的严格增函数，
3 3 6
函数 ( )的极小值 (0) = 1，极大值 (1) = ，又 ( 1) = > , (2) = 2 < 1，
3 3
当 = 1或 时，方程 ( ) = 0有两个不同解，当 ∈ (1, )时，方程 ( ) = 0有三个不同解，

3
当 = 1时， (0,1)在 ( )上，其余情况下 在 ( )外，则 ∈ [1, ),

设两垂直切线的斜率为 1, 2，对应方程的两根为 1, 2，
1 2 1
2
2 + +1则 1 2 = ( ) = + = 1，由 = ， 1 2 1 2
2 2
+ ( + +1)( + +1) (
2+ +1)( 2+ +1)
得 1 2 = 1 2 = 1 1 2 2 ，则有 2 = 1 1 2 22 ，
1 2
由 1+ 21 2 = < 0，得 1, 2异号，不妨设 1 < 0 < 2，
2+ +1 1 2+ +1 1
由均值不等式知， 1 1 = 1 + 1 ≥ 1,
2 2 = 2 + + 1 ≥ 3， 1 1 2 2
则 2 ≥ 3，与 2
9
∈ [1, 2)矛盾，即 1, 2不存在，
所以 轴上不存在 ( )的“ 类点”．
第 9 页，共 10 页
第 10 页，共 10 页