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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§1.4角平分线（A）
一、选择题（每小题3分共30分）
1．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，若CD=10，则点D到AB的距离是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
解：如图，作DH⊥AB于H．
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DH（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD=10，∴DH=10，即点D到AB的距离是10．故选：C．
2．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ；
B．每个命题都有逆命题；
C．每个定理都有逆定理；
D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是正确；
B、每个命题都有逆命题，所以B选项正确；
C、每个定理不一定有逆定理，所以C选项错误；
D、在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，正确．
故选C．
3．（3分）如图，OA平分∠BAC，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON＝8cm，则OM长为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm
解：∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，
∴OM＝ON＝8cm，
故选：C．
4．（3分）如图，在中，，以顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．作射线交边于点．若，则的面积是（ ）
A．30 B．24 C．15 D．12
解：如图，过点作于点，
由作法可知，平分，
，，，
，
，
的面积,
故选：C．
5．（3分）如图，是△ABC的角平分线，且，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．不能确定
解：如图所示，过点D作于E，于F．
∵为的平分线，
∴，
∵，
∴．
故选A．
6．（3分）在正方形网格中，的位置如图，到两边距离相等的点应是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
解：当点在的角平分线上时，到角的两边的距离相等，
根据图形可知点符合．
故选：D．
7．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形两锐角互余 B．全等三角形对应角相等
C．两直线平行，同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
解：A．直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；
B．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；
C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
D．角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，是真命题．
故选：B．
8．（3分）如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（ ）
A．18 B．30 C．24 D．27
解：如图，过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，
∵∠ABC、∠ACB的平分线，ID⊥BC，
∴ID＝IE，ID＝IE，
∴ID＝IE＝IF＝3，
∵△ABC的周长为18，
∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC）×3＝×18×3＝27．
故选：D．
9．（3分）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点P，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，
由题可得，，，
，
又，
，即平分，
又，，
，
正方形和正方形的面积分别为，，且，，
正方形的面积，
正方形和正方形的面积之比为，
，
，
即等于．
故选：A．
10．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，连AF，则下列结论：①DE＝BD+CE；②∠BFC＝90°+∠ABC；③△ADE的周长为10；④S△ABF：S△ACF：S△BCF＝6：4：5．正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
解：∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF，
∴∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，
∴BD＝DF，CE＝FE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故①正确；
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠FBC＝∠ABC，，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∴∠FBC+∠FCB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝90°﹣∠BAC，
∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）
＝180°﹣（90°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，故②错误；
∵BD＝DF，CE＝FE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，
∵AB＝6，AC＝4，
∴△ADE的周长是
AD+DE+AE
＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC＝6+4＝10，故③正确；
过F作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FQ⊥AC于Q，
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴FM＝FN，FN＝FQ，
∴FM＝FN＝FQ，
设FM＝FN＝FQ＝R，
∵AB＝6，BC＝5，AC＝4，
∵S△ABF：S△ACF：S△BCF
＝（）：（）：（）
＝AB：AC：BC
＝6：4：5，故④正确；
故选：A．
二、填空题（共15分）
11．（3分）如图，在△ABC中，是的角平分线．于点E，若，则的长为 ．
解：∵是的角平分线．，
∴DE=CD=4cm．
故答案为：4
12．（3分）如图，是△ABC中的角平分线，于点E，，，，则的长是 ．
解：如图，过点D作于点F，
∵是中的角平分线，，
∴，
∵，，，
∴．
故答案为：5．
13．（3分）如图，射线平分，，于点，，，则等于 ．
解：作于，
平分，，，
，
平分，，
，
，，
，
故答案为：．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，BC为半径作弧交AC于点D，分别以B，D为圆心，大于等于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线CE交AB于点F，连接FD，若，则FD的长为 ；
解：由尺规作图可得CE是∠BCA的角平分线，BC=DC，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴BF=DF，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，
∴AC=，AB=4，
由角平分线定理可知，点F到BC和AC的距离相等，
∴，
∴．
故答案为：．
15．（3分）如图，O是ABC的角平分线的交点，MN∥BA，分别交AC于N，交BC于M，若AC+BC=18，则CMN的周长为 ．
解：AO、BO分别是角平分线，
∴∠OAN=∠BAO，∠ABO=∠OBM，
∵MN∥BA，
∴∠AON=∠BAO，∠MOB=∠ABO，
∴∠OAN=∠AON，∠OBM=∠MOB，
∴AN=ON，BM=OM，
∵MN=MO+ON，AC+BC=18，
∴△CMN的周长=MN+MC+NC=AC+BC=18．
故答案为：18．
三、解答题（共55分）
16．（6分）（1）计算：
（2）如图，已知∠OEB＝130°，∠FOD＝25°，OF平分∠EOD．求证：AB∥CD．
解：（1）
=3-3+4+1
=5；
（2）∵∠FOD＝25°，OF平分∠EOD，
∴∠DOE=50°.
∵∠OEB＝130°，
∴∠DOE+∠OEB=50+130=180.
17．（7分）(1)如图，已知直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOD，若∠3：∠2=8：1，求∠AOC的度数．
(2)计算题
①－＋－ ②4（x﹣2）2-25=0
解（1）∵平分∠BOD，
∴∠1=∠2，
∵∠3:∠2=8:1，
∴∠3=8∠2.
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠2+∠2+8∠2=180°，
解得∠2=18°，
∴∠AOC=∠1+∠2=36°.
故答案为36°
（2）①－＋－= ==1
②∵4（x﹣2）2-25=0
18．（8分）尺规作图：如图，已知△ABC，，作矩形，使得点、分别在边、上，点、在边上，且（不写作法，保留作图痕迹）．
解：如图所示，
理由如下：
∵ AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C，
∵∠BAC的角平分线AE，
∴ AE⊥BC，BE＝CE，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°
∵EF平分∠AEB，EG平分∠AEC，
∴∠AEM＝∠BEM＝∠AEN＝∠CEN＝45°，
∴△BEM≌△CEN（ASA）
∴ME＝NE，
∵ MQ⊥BC，NP⊥BC
∴∠MQE＝∠NPE＝90°，
∴△MQE与△NPE都是等腰直角三角形,MQNP，
∴△MQE≌△NPE（AAS）
∴MQ＝EQ＝NP＝EP
∴四边形是平行四边形
∵ ∠MQE＝90°
∴四边形是矩形
∴ MN＝PQ＝QE＋EP＝MQ＋MQ＝2MQ
∴ 矩形满足要求．
19．（8分）如图，在△ABC中，，，，，动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止，若设点运动的时间是秒．
(1)点到达点时，________秒；到时，________秒；
(2)当时，求的值；
(3)当点在边上（不包括点，），点或点到边和边的距离相等时，直接写出的值．
（1）解：动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，且，，
∴点到达点时，秒,；到时，,
故答案为：3，7；
（2）解：∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止，
∴
当点P在上时，
∴
∵
∴
∴；
当点P在上时，，
∵
∴
∴，
∴或6；
（3）解：点或点到边和边的距离相等时，点或点在的角平分线上，
当点到边和边的距离相等， 如下图所示，过点Q作于点G，
得，，，
∵，，且，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
当点到边和边的距离相等， 如下图所示，过点作于点H，
此时，，，
∵，，且，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴或．
20．（8分）已知如图，ABC中，EFBC，交AB、AC于E、F，∠B的平分线交EF于O点．
（1）求证：EO＝BE；
（2）若EF＝BE+CF，求证：OC平分∠ACB．
证明：（1）∵EF∥BC，
∴∠BOE＝∠CBO，
∵∠B的平分线交EF于O点，
∴∠EBO＝∠CBO，
∴∠EBO＝∠BOE，
∴EO＝BE．
（2）∵EF＝BE+CF，且EF＝OE+OF，
∴OE+OF＝BE+CF，
∵EO＝BE，
∴OF＝CF，
∴∠COF＝∠FCO，
∵EF∥BC，
∴∠COF＝∠BCO，
∴∠BCO＝∠FCO，
∴OC平分∠ACB．
21．（9分）如图，在△ABC中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：过点作于，于，如下图，
∵，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，∴平分．
22．（9分）如图，在△ABC中，为的中点，交的平分线于点，交于点，交的延长线于点．
(1)连接，求证：；
(2)若，，求的长；
(3)在（）的条件下，中连接，直接写出的取值范围；
(4)在（）的条件下，若与相交于，当时，直接写出 的值．
（1）证明：如图，
∵，为的中点，
∴，
∵，，是的角平分线，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，延长到，使，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴；
（4）解：如图，过点作于，设，则，
由勾股定理得：，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
过点作于，作于，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§1.4角平分线（A）
一、选择题（每小题3分共30分）
1．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，若CD=10，则点D到AB的距离是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ；
B．每个命题都有逆命题；
C．每个定理都有逆定理；
D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
3．（3分）如图，OA平分∠BAC，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON＝8cm，则OM长为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm
4．（3分）如图，在中，，以顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．作射线交边于点．若，则的面积是（ ）
A．30 B．24 C．15 D．12
5．（3分）如图，是△ABC的角平分线，且，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．（3分）在正方形网格中，的位置如图，到两边距离相等的点应是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
7．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形两锐角互余 B．全等三角形对应角相等
C．两直线平行，同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
8．（3分）如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（ ）
A．18 B．30 C．24 D．27
9．（3分）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点P，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，连AF，则下列结论：①DE＝BD+CE；②∠BFC＝90°+∠ABC；③△ADE的周长为10；④S△ABF：S△ACF：S△BCF＝6：4：5．正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
二、填空题（共15分）
11．（3分）如图，在△ABC中，是的角平分线．于点E，若，则的长为 ．
12．（3分）如图，是△ABC中的角平分线，于点E，，，，则的长是 ．
13．（3分）如图，射线平分，，于点，，，则等于 ．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，BC为半径作弧交AC于点D，分别以B，D为圆心，大于等于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线CE交AB于点F，连接FD，若，则FD的长为 ；
15．（3分）如图，O是ABC的角平分线的交点，MN∥BA，分别交AC于N，交BC于M，若AC+BC=18，则CMN的周长为 ．
三、解答题（共55分）
16．（6分）（1）计算：
（2）如图，已知∠OEB＝130°，∠FOD＝25°，OF平分∠EOD．求证：AB∥CD．
17．（7分）(1)如图，已知直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOD，若∠3：∠2=8：1，求∠AOC的度数．
(2)计算题
①－＋－ ②4（x﹣2）2-25=0
18．（8分）尺规作图：如图，已知△ABC，，作矩形，使得点、分别在边、上，点、在边上，且（不写作法，保留作图痕迹）．
19．（8分）如图，在△ABC中，，，，，动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止，若设点运动的时间是秒．
(1)点到达点时，________秒；到时，________秒；
(2)当时，求的值；
(3)当点在边上（不包括点，），点或点到边和边的距离相等时，直接写出的值．
20．（8分）已知如图，ABC中，EFBC，交AB、AC于E、F，∠B的平分线交EF于O点．
（1）求证：EO＝BE；
（2）若EF＝BE+CF，求证：OC平分∠ACB．
21．（9分）如图，在△ABC中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分．
22．（9分）如图，在△ABC中，为的中点，交的平分线于点，交于点，交的延长线于点．
(1)连接，求证：；
(2)若，，求的长；
(3)在（）的条件下，中连接，直接写出的取值范围；
(4)在（）的条件下，若与相交于，当时，直接写出 的值．
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