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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§1.4角平分线（B）
一、选择题（每小题3分共30分）
1．（3分）如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC=3，则点P到OB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：如图，过点P作PD⊥OB于D，
∵点P是∠AOB的角平分线上一点，PC⊥OA，
∴PC=PD=3，即点P到OB的距离等于3．
故选：A．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，AC＝4cm，那么AE＋DE＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
解：∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，EC⊥BC，
∴ED＝EC，
∴AE+DE＝AE+EC＝AC＝4cm．
故选：D．
3．（3分）如图，在△ABC中，，若，，平分，则点到的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
解：如图，过点作，垂足为，
，，
，
平分，，
，
∴点到的距离等于3，
故选：B．
4．（3分）要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且到水路和电网的距离相等，关于集贸市场的位置，下列说法正确的是（ ）
A．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的角平分线的交点
B．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的垂直平分线的交点
C．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的角平分线的交点
D．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的垂直平分线的交点
解：∵集贸市场到公路、铁路的距离相等，
∴集贸市场在直线公路和铁路的角平分线上，
∵且到水路和电网的距离相等，
∴集贸市场在水路和电网的夹角平分线上，
故选：C．
5．（3分）如图，为等腰直角三角形，延长至A，连接，作的角平分线交于F，且于E．若，△ABC的面积为360，则的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为360，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，∴，∴，故A正确．故选：A．
6．（3分）在长方形中，，连接的角平分线交于点，则线段的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
解：如图，作于点，由，根据勾股定理求得，由角平分线的性质得，再证明，得，再由勾股定理，得，求得．
7．（3分）如图，在△ABC，，的平分线相交于点P，过点P作的平行线，分别交，于点M，N．若，，，则的周长为（ ）
A．13 B．20 C．15 D．14
解∵，的平分线相交于点P
∴，，
∵，∴，，
∴，，∴，，
∴△ADE的周长为：．
故选：A
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝2，则DE的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．6
解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，DB⊥AB，
∴DE＝DB＝2．
故选：C．
9．（3分）如图，△ABC中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，下列结论：；；平分；．正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：平分，，，
，
正确；
，平分，
，
，，
，
，，
，
，
正确；
，
若平分，则，与矛盾，
错误；
如图所示，连接、，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，正确，
综上所述，正确的有，故选：B．
10．（3分）如图，△ABC中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
解：∵平分，，，
∴，
∴①正确；
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
同理：，
∴，
∴②正确；
∵，
∴若平分，则，与矛盾，
∴③错误；
如图所示：连接、，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵中，，中，，
∴，
∴，
∴④正确；
综上可知，正确的有①②④，
故选D．
二、填空题（共15分）
11．（3分）ABC中，∠A与∠B的平分线相交于点P，若点P到AB的距离为10，则它到AC的距离为 ．
解：根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点P到AB的距离=点P到AC的距离．故填10．
12．（3分）如图，在中，，，是的一条角平分线，若，则的面积是 ．
解：过点作于点，如图所示：
∵，平分，，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB+AC=20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则图中阴影部分的面积等于 .
解:如右图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，过O作OF⊥AC于F，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3，
同理有OF=3，
∴S阴影=S△AOB+S△AOC=AB OE+AC OF=（AB+AC） OE=×20×3=30．
故答案是30．
14．（3分）如图，△ABC中，D是的中点，交于，则 ．
解：连接，，过作于，
是的中点，，
垂直平分，
，
，，
，
又，，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，
则，，
，
解得，
．
故答案为：10．
15．（3分）如图，，都是等边三角形，，相交于点．①；②；③平分；④平分，则以下结论中正确的是 （填序号）．
①证明：和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中
，
，
，即①正确；
②解：由①知：，
，
，
在中，
，
，即②错误；
③证明：连接，过点分别作，，垂足为点，，如图所示：
由①知：，，，
，点在的平分线上，即平分，③正确；
④证明：连接，如图所示：
由③知，平分，
，
，
，
由①知，，
，
根据三角形内角和定理，可知在和中，即不平分，④错误；
故答案为：①③．
三、解答题（共55分）
16．（6分）已知：如图，在△ABC中，，，的垂直平分线交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求△ABC三边的长．
（1）证明：连接，则，
．
又，
．
平分，
因为
．
（2）解：若，则，
因为
所以，
，
，
．
故三边分别为，，6．
17．（7分）如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，．求的长．
（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵于点D，于点E，
∴：是的平分线
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴．
18．（8分）如图，在△ABC中，是的平分线，于点H，．
(1)在线段上找一点P，使，连接，求证：；
(2)若的面积等于100，的面积等于80，求的面积．
（1）证明：如图，∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）解：过点D作于E，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴，
又，
∴，
∴．
19．（8分）如图，在四边形中，平分，，交的延长线于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
（1）证明：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，平分，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
，
∴四边形的面积为．
20．（8分）已知，如图，在中，，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N，
(1)请求出的度数．
(2)求证：．
(3)若，请直接写出的长为_________．
（1）解：在中，，，
∴，
∵、分别是、的平分线，
∴，，
∴；
（2）证明：如图，连接，
∵三角形的三条角平分线交于一点，
∴点在的角平分线上，
∴平分，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴
在和△EMF中，
，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴，
设，由（1）可知，则，
∴，
∵是角平分线，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
21．（9分）在△ABC中，，，是△ABC的角平分线．
(1)如图1，点E、F分别是线段、上的点，且，与的延长线交于点M，请猜测线段与线段关系并证明你的结论．
(2)如图2，点E、F分别在和的延长线上，且，的延长线交于点M．（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
(3)连接，若，，求的长．
（1）解：与垂直且相等
∵，，是△ABC的角平分线，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，；
（2）解∶（1）中的结论还成立，
理由：同（1）可证，
∴，∠．
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解∶过点D作于点G，于点H，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
平分，
又∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
∴．
22．（9分）如图1，在△ABC中，，E为上的一点，在的右侧作，使得，，连接并延长交的延长线于点D，．
(1)求的度数．
(2)如图2，若点E在的延长线上，当时，求证：平分．
(3)如图3，△ABC的形状和大小保持不变，若点E在直线上（不与点C重合），射线与直线相交于点M，则当是等腰三角形时，求的度数．
（1）解：如图1中，
，
,
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，，
，
设，则，
，
，
；
（2）证明：如图2中，
同理可证，
，
，,,
,
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（3）解：如图中，当时，
由（2）可知，
，
，
，
；
如图3﹣2中，当时，
，
，
．
如图中，当时，，
，
．
综上所述，满足条件的的度数为或或．
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§1.4角平分线（B）
一、选择题（每小题3分共30分）
1．（3分）如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC=3，则点P到OB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，AC＝4cm，那么AE＋DE＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
3．（3分）如图，在△ABC中，，若，，平分，则点到的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（3分）要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且到水路和电网的距离相等，关于集贸市场的位置，下列说法正确的是（ ）
A．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的角平分线的交点
B．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的垂直平分线的交点
C．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的角平分线的交点
D．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的垂直平分线的交点
5．（3分）如图，为等腰直角三角形，延长至A，连接，作的角平分线交于F，且于E．若，△ABC的面积为360，则的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（3分）在长方形中，，连接的角平分线交于点，则线段的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
7．（3分）如图，在△ABC，，的平分线相交于点P，过点P作的平行线，分别交，于点M，N．若，，，则的周长为（ ）
A．13 B．20 C．15 D．14
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝2，则DE的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．6
9．（3分）如图，△ABC中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，下列结论：；；平分；．正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，△ABC中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
二、填空题（共15分）
11．（3分）ABC中，∠A与∠B的平分线相交于点P，若点P到AB的距离为10，则它到AC的距离为 ．
12．（3分）如图，在中，，，是的一条角平分线，若，则的面积是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB+AC=20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则图中阴影部分的面积等于 .
14．（3分）如图，△ABC中，D是的中点，交于，则 ．
15．（3分）如图，，都是等边三角形，，相交于点．①；②；③平分；④平分，则以下结论中正确的是 （填序号）．
三、解答题（共55分）
16．（6分）已知：如图，在△ABC中，，，的垂直平分线交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求△ABC三边的长．
17．（7分）如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，．求的长．
18．（8分）如图，在△ABC中，是的平分线，于点H，．
(1)在线段上找一点P，使，连接，求证：；
(2)若的面积等于100，的面积等于80，求的面积．
19．（8分）如图，在四边形中，平分，，交的延长线于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
20．（8分）已知，如图，在中，，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N，
(1)请求出的度数．
(2)求证：．
(3)若，请直接写出的长为_________．
21．（9分）在△ABC中，，，是△ABC的角平分线．
(1)如图1，点E、F分别是线段、上的点，且，与的延长线交于点M，请猜测线段与线段关系并证明你的结论．
(2)如图2，点E、F分别在和的延长线上，且，的延长线交于点M．（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
(3)连接，若，，求的长．
22．（9分）如图1，在△ABC中，，E为上的一点，在的右侧作，使得，，连接并延长交的延长线于点D，．
(1)求的度数．
(2)如图2，若点E在的延长线上，当时，求证：平分．
(3)如图3，△ABC的形状和大小保持不变，若点E在直线上（不与点C重合），射线与直线相交于点M，则当是等腰三角形时，求的度数．
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