陕西省榆林市米脂中学2025年高考数学四模试卷（PDF版，含答案）

陕西省榆林市米脂中学 2025 年高考数学四模试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数 满足 = 2 ，则 的虚部是( )
A. 1 B. 1 C. D.
2.设全集 = {1,2,3,4,5}，集合 满足 = {1,3}，则( )
A. 2 ∈ B. 3 ∈ C. 4 D. 5
3.已知 = ( , 1)， = (2,1)，若( 2 )// ，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
4.函数 ( ) = 2| | 2的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.设 ， 是两个不共线向量，则“ 与 的夹角为钝角”是“ ⊥ ( + )”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳
城建立的周公测景(影)台.“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的
杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影.到了汉代，使用圭表有了规范，
规定“表”为八尺长(1尺= 10寸).用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判
断季节的变化，也能用于丈量土地.同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，
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它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”.记“表”的顶部为 ，太阳光线通过顶部 投影到
5
“圭”上的点为 .同一日内，甲地日影长是乙地日影长的 ，记甲地中直线 与地面所成的角为 ，且 =
6
4
则甲、乙两地之间的距离约为( )
5
A. 8千里 B. 10千里 C. 12千里 D. 14千里
1
7.已知 2 = ， ∈ (0, )，则 =( )
3 4
√ 6 √ 6 2 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
√ 3
8.已知函数 ( ) = + √ 3cos2 ( > 0, > 0)的最小正周期为 ，最小值为 ，将函数 ( )
2 2

的图象向左平移 ( > 0)个单位后，得到的函数图象的一条对称轴为 = ，则 的值不可能为( )
8
5 13 17 23
A. B. C. D.
24 24 24 24
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知 ∈ ， 是 的共轭复数，则( )
1+3 4 3
A. 若 = ，则 =
1 3 5
B. 若 为纯虚数，则 2 < 0
C. 若 (2 + ) > 0，则 > 2 +
D. 若 = { || + 3 | ≤ 3}，则集合 所构成区域的面积为9

10.将函数 ( ) = 2 (2 + )的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应的函数为 = ( )，则下列结
6 6
论正确的是( )

A. 函数 ( )的图象关于直线 = 对称 B. 函数 ( )的图象关于点( , 0)对称
3 4
5
C. 函数 ( )在[ , ]上单调递减 D. 函数 ( )在[0,2 ]上恰有4个极值点
24 24
+
11.若 ( )的定义域为 ，满足对任意 ， ∈ ，都有 ( ) + ( ) = ( ) ( )，且 (2) = 2，则下列
2 2
说法正确的是( )
A. (0) = 0 B. ( )为偶函数
C. ( + 1)为奇函数 D. ∑2024 =1 ( ) = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
26
12.已知 为等差数列{ }的前 项和，且
13 = ，则 7 = ______．
9 9 5
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3
13.已知 、 是方程 2 3√ 3 + 4 = 0的两根，并且 、 ∈ ( , )，则 + 的值是______．
2 2
14.已知△ 三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等比数列，sin( )，
， 成等差数列，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
化简下列各式：
(1) 50°(1 + √ 3 10°)；

1 tan2( )
(2) 4 ；
1+tan2( )
4

(3)sin2( ) + sin2( + ) sin2 ；
6 6

(1+ + )(sin cos )
(4) 2 2 ( < < 2 )．
√ 2+2
16.(本小题12分)
(1)已知数列{ }的前 项和
2
= 2 3 ，求{ }的通项公式；
1 1
(2)已知数列{ }中， 1 = ， = 1( ≥ 2)，求数列{ }的通项公式． 2 +1
17.(本小题12分)
1
如图，在菱形 中， = , = 2 ．
2
(1)若 = + ，求3 + 4 的值；
(2)若| | = 3, ∠ = 60°，求 ．
18.(本小题12分)
△ 中，内角 、 、 所对的边为 、 、 ， 2 + 2 2 = ．
(1)若2 = ，试确定△ 的形状；
(2)若 = 2， = 1， 是∠ 的平分线，求 长．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ．
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(1)当 = 1时，讨论 ( )的单调性；
(2)当 > 0时，若 ( ) + 1 < ，求 的取值范围；
1 1 1
(3)设 ∈ ，证明： + + + > ln( + 1)．
√ 1×2 √ 2×3 √ ( +1)
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
8
13.【答案】
3

14.【答案】
2
1 √ 3
10°+√ 3 10° 2( 10°+ 10°)
15.【答案】解：(1) 50°(1 + √ 3 10°) = 50° = 50° 2 2
10° 10°
2 (30°+10°) 2 40° 800
= sin(90° 40°) = 40° = = 1；
cos(90 80 ) 80 800

sin2( )
1 4
1 tan2( ) cos2( ) cos2( ) sin2( ) 2( )
(2) 4 4 4 4 42 = = = 1+tan ( ) sin2( )
4 4 cos
2( )+sin2( ) 1
1+ 4 4
cos2( 4 )

= cos( 2 ) = 2 ；
2

1 2( ) 1 2( + )
(3)sin2( ) + sin2

( + ) sin2 = 6 + 6 sin2
6 6 2 2
= 1 sin2
1
[cos(2 ) + cos(2 + )] = cos2
1
(2 2 )
2 3 3 2 3
= cos2
1 1 1
2 = cos2 (2 2 1) = ；
2 2 2

(1+ + )(sin cos ) (1+2 cos +2 2 1)(sin cos )
(4) 2 2 = 2 2 2 2 2
√ 2+2
√ 2+2(2 2 1)
2

2
= 2 ，
2|cos |
2
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因为 < < 2 ，所以 < < ，即cos < 0，
2 2 2

2
即上式= 2 = ．
2
2
16.【答案】解：(1)当 = 1时， 1 = 1 = 2 3 = 1，
当 ≥ 2时， =
2 2
1 = 2 3 [2( 1) 3( 1)] = 4 5，
当 = 1时， 1 = 1，符合上式，
所以{ }的通项公式是 = 4 5， ∈ +．
1 1
(2)因为 = +1 1( ≥ 2)，所以当 ≥ 2时， = ， 1 +1
1 所以 = ， 1
2 2 1
= ，…， 3 = ， 2 = ，
1 +1 2 2 4 1 3
以上 1个式子左右两边分别相乘得：
1

3
1 2 2 1 1 1
2 = × × × × ，即 = × × 2 × 1，
1 2 2 1 +1 4 3 1 +1
1
所以 = ( ≥ 2)． ( +1)
1
当 = 1时， 1 = ，符合上式． 2
1
所以数列{ }的通项公式是 = , ∈ ． ( +1) +
1
17.【答案】解：(1)因为在菱形 中， = , = 2 ，
2
故 = +
1 2
= ，
2 3
又 = + ，
2 1
则 = , = ，
3 2
所以3 + 4 = 0．
1
(2)由题意可得： = + ，
2
1 1 2 2
2 1 2 1
所以 = ( + ) ( ) = + + ，
2 2 3 3 4 6
因为四边形 为菱形，且| | = 3, ∠ = 60°，
故| | = 3, , = 60°，
所以
9
= 3 × 3 × 60° = ，
2
故
2 1 9
= × 32 + × 32 + = 3．
3 4 12
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2 22 2 2 + 218.【答案】解：(1)因为 + = ，所以 1 = = ，结合 ∈ (0, )，得 = 60°．
2 2
在△ 中， + = 180° ，可得sin( + ) = sin(180° ) = ，所以 = + ，
若2 = ，则2 = + ，整理得 = ，
两边都除以 ，可得 = ，结合 、 为三角形的内角，可知 = ．
因此，在△ 中， = = = 60°，可知△ 中为等边三角形；
(2)若 = 2， = 1，代入 2 + 2 2 = 得4 + 1 2 = 2 × 1，解得 = √ 3(舍负)．
所以 2 + 2 = 2，可得△ 是以 为斜边的直角三角形，
因为 是∠ 的平分线，∠ = 60°，所以∠ = 30°，

△ 中， √ 3 1 2√ 3 30° = ，即 = ，解得 = ．
2 3
19.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = = ，
′( ) = + = ( + 1) ，
∵ > 0，
∴当 ∈ ( 1,+∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；当 ∈ ( ∞, 1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减．
(2)令 ( ) = ( ) + 1 = + 1( > 0)，
∵ ( ) + 1 < ，∴ ( ) + 1 < 0
∴ ( ) < (0) = 0在 > 0上恒成立，
又 ′( ) = + ，
令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = + ( + ) = (2 + ) ，
∴ ′(0) = 2 1，
1
①当2 1 > 0，即 > ，存在 > 0，使得当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0，即 ′( )在(0, )上单调递增．
2
∵ ′( ) > ′(0) = 0，∴ ( )在(0, )内递增，∴ ( ) > 1，这与 ( ) < 1矛盾，故舍去；
1
②当2 1 ≤ 0，即 ≤ ，
2
′( ) = + = (1 + ) ，
若1 + ≤ 0，则 ′( ) < 0，
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∴ ( )在[0,+∞)上单调递减， ( ) ≤ (0) = 0，符合题意．
1 1 1 1
若1 + > 0，则 ′( ) = + = +ln(1+ ) ≤ +ln(1+ )2 2 ≤ + 2 2 = 0，
∴ ( )在(0,+∞)上单调递减， ( ) ≤ (0) = 0，符合题意．
1
综上所述，实数 的取值范围是( ∞, ]．
2
1 1
(3)证明：由(2)可知，当 = 时， ( ) + 1 < 2 < 1( > 0)，
2
1 1 1 1 1
令 = ln(1 + )( ∈ )得，ln(1 + ) ln(1+ ) ln(1+ )2 < 1，

1 1 1
整理得，ln(1 + ) √ 1 + < 0，

1
∴
1
> ln(1 + )，
√ 1

1+

1 +1 1 +1 2 3 +1∴ > ln( )，∴ ∑ =1 > ∑ =1 ln ( ) = ln( × ×. . .× ) = ln( + 1)， √ 2+ 2 1 2 √ +
1 1 1
即 + +. . . + > ln( + 1)．
√ 12 √ 2
√ 2+
+1 2 +2
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