河北省保定市唐县第一中学2025届高三上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

河北省唐县第一中学 2025 届高三上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 9 + 20 ≤ 0}， = { |log2( 3) < 1}，则 ∩ =( )
A. ( ∞, 5) B. [4,5) C. ( ∞, 5] D. (3,5]

2.若 = ，则 在复平面内对应的点位于( )
1+2
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.在正四棱锥 中， = 2，二面角 的大小为 ，则该四棱锥的体积为( )
4
4 2
A. 4 B. 2 C. D.
3 3
4.已知( 1)(1 + √ )6展开式各项系数之和为64，则展开式中 3的系数为( )
A. 31 B. 30 C. 29 D. 28
5.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且
女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的不同排法种数为( )
A. 30 B. 36 C. 60 D. 72

6.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图象如图所示，图象上的
2

所有点向左平移 个单位长度得到函数 ( )的图象.若对任意的 ∈ 都有 ( ) +
12
( ) = 0，则图中 的值为( )
A. 1
B. √ 3
C. √ 2
√ 6 √ 2
D.
2
7.已知数列{ }的通项公式

= 2 1，在其相邻两项 ， +1之间插入2 个3( ∈ )，得到新的数列{ }，
记{ }的前 项和为 ，则使 ≥ 100成立的 的最小值为( )
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
2 2
8.已知点 1， 2是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点，点 为椭圆 上一点，点 关于∠ 1 2的
7
角平分线的对称点 也在椭圆 上，若cos∠ 1 2 = ，则椭圆 的离心率为( ) 9
√ 3 √ 3 √ 10 √ 10
A. B. C. D.
6 3 25 5
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
1
A. 一组样本数据的方差 2 = [( 1 3)
2 + ( 22 3) + + ( 3)
2
20 ]，则这组样本数据总和为60 20
B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
C. 若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，
方差变大
D. 若样本数据 1， 2，…， 10的标准差为8，则数据2 1 1，2 2 1，…，2 10 1的标准差为16
10.已知直线 ： + 2 + = 0和圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 9相交于 ， 两点，则下列说法正确的
是( )
A. 直线 过定点( 1,2)
B. | |的最小值为3
C. 的最小值为 9
3 3√ 7
D. 圆 上到直线 的距离为 的点恰好有三个，则 =
2 7
1
11.已知函数 ( )及其导函数 ′( )的定义域均为 ，若函数 = (1 + 2 )， = ( + 2)都为偶函数，
2
令 ( ) = ′( )，则下列结论正确的有( )
A. ( )的图象关于 = 1对称 B. ( )的图象关于点(2,0)对称
C. (1) = 0 D. ∑24 =1 ( ) = 150
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若命题“ 0 ∈ ，2
2
0 3 0 + 9 < 0”为假命题，则实数 的取值范围是 ．
13.在△ 中， 是边 的中点， 是线段 的中点.设 = , = ，记 = + ，则

= ；若∠ = ，△ 的面积为√ 3，则当| | = 时， 取得最小值．
6
1
14.已知函数 ( ) = 2 + 2
2, ( ) = 2 ，若关于 的不等式 ( ) ≤ ( )有解，则 的最小值是

______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某社区对安全卫生进行问卷调査，请居民对社区安全卫生服务给出评价(问卷中设置仅有满意、不满意).现
随机抽取了90名居民，调查情况如表：
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男居民 女居民 合计
满意 3 + 5 25 60
不满意 2
合计 90
(1)利用分层抽样的方法从对安全卫生服务评价为不满意的居民中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，
求这2人中男、女居民各有1人的概率；
(2)试通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评
价有差异？
2
2 ( )附： = ， = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
( 2 ≥ 0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
16.(本小题12分)
√ 6
如图，在三棱柱 1 1 1中，平面 1 1 ⊥平面 ， = = = 1 = 1， 1 = ， 为 2
的中点．
(1)证明： ⊥平面 1 ；
(2)求平面 1 与平面 1 1夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
2
2+ 2
△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知( 2 ) + = 0．
2
(1)若 = 4， + = 8，求△ 的面积；

(2)若角 为钝角，求 的取值范围．

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18.(本小题12分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)经过点 (1,2)，直线 ： = + 与 的交点为 ， ，且直线 与 倾斜
角互补．
(1)求抛物线在点 (1,2)处的切线方程；
(2)求 的值；
(3)若 < 3，求△ 面积的最大值．
19.(本小题12分)
已知正项数列{ }的前 项和为 ，首项 1 = 1．
(1)若 2 = 4 2 1，求数列{ }的通项公式；
(2)若函数 ( ) = 2 + ， ( ) = 1.正项数列{ }满足：

+1 = ( )( ∈ )．
( )讨论 ( ) = 1单调性；
( )证明： ≥ 3 1；
1 1 1 1 3
( )证明：(1 + )(1 + )(1 +
5 2 5 2 5 2
) (1 +
5 2
) < √ ( ≥ 2, ∈ )．
2 3 4
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[ 2√ 2, 2√ 2]
1
13.【答案】 ；；2
2
1
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1)由表中数据知，(3 + 5) + 25 = 60，解得 = 10；
所以补充列联表如下：
男居民 女居民 合计
满意 35 25 60
不满意 10 20 30
合计 45 45 90
用分层抽样法抽取6人，则男居民抽取2人，女居民抽取4人，
再从这6人中随机抽取2人，这2人中男、女居民各有1人的概率为
12
1
4 8 =
2
= ；
6 15
2
90×(35×20 25×10)
(2)由表中数据，计算 2 = = 5 > 3.841，
60×30×45×45
所以能在犯错误的概率不超过0.05的情况下，认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异．
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16.【答案】(1)证明：因为 为 的中点，且 = = = 1，
所以在△ 中，有 ⊥
√ 3
，且 = ，
2
又平面 1 1 ⊥平面 ，且平面 1 1 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 1 1，
又 1 平面 1 1，则 ⊥ 1 ，
√ 6 √ 3 √ 3
由 1 = ， = ，得 2 2 1
= ，
2
1
因为 = ， 1 = 1，
√ 3
1 = ， 2 2
所以 2 + 21 =
2
1，所以 ⊥ 1 ，
又 ⊥ ， 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ．
(2)解：如图所示，以 为原点，建立空间直角坐标系 ，
1
可得 √ 3 ( , 0,0)， 1(0,0, )，
√ 3
(0, , 0)，
2 2 2
所以 1 √ 3 = ( , 0, )，
1 √ 3
1 = ( , , 0)， 2 2 2 2
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，

1 √ 3
1 = + = 0,
由{ 2 2
1 √ 3
= + = 0,
2 2
令 = √ 3，得 = 1， = 1，所以 = (√ 3, 1,1)，
由(1)知， ⊥平面 1 1，
所以平面 1 的一个法向量为
√ 3
= (0, , 0)，
2
记平面 1 与平面 1 1的夹角为 ，
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√ 3
| | 2 √ 5则 = = = ，
| | | | √ 3√ 5× 5
2
所以平面 与平面 夹角的余弦值为√ 51 1 1 ．
5
2
2+ 2
17.【答案】解：(1)因为( 2 ) + = 0，
2
所以由余弦定理可得：( 2 ) + = 0，
由正弦定理得：( 2 ) + = 0，
又因为 + = sin( + ) = sin( ) = ，
则有 (1 2 ) = 0，
1
因为0 < < ，所以 > 0，则 = ，
2

因为0 < < ，所以 = ．
3
由余弦定理得： 2 + 2 = 16，
因为 + = 8，所以( + )2 3 = 16，解得 = 16，
1 1 √ 3
所以△ 的面积 = = × 16 × = 4√ 3．
2 2 2

0 < <
2
(2)因为 为钝角，所以{2 ，解得0 < < ，
> 6
3 2
2
由正弦定理 = ，得 = ，且 = ，
3
2 √ 3 1
sin( ) + √ 3 1
代入化简得： = = 3 = 2 2 = + ．
2 2
√ 3 √ 3 3
因为0 < < ，所以0 < < ， > ，即 > 2，
6 3 2 2

所以 的取值范围是(2,+∞)．

18.【答案】解：(1)根据题意可知，4 = 2 ，解得 = 2，因此 的方程为 2 = 4 ，
1
所以 = 2√ ( > 0)，那么导函数 ′ = ，
√
所以抛物线在 点的切线斜率为 = ′| =1 = 1，
那么切线方程为 2 = 1 × ( 1)，
所以切线方程为 = + 1．
(2)如图所示：
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设 ( 2, 2)， (
2
1, 1)，将直线 的方程代入 = 4 ，
2 4 2
得 2 2 + (2 4) + 2 = 0，根据韦达定理可得 1 2 = 2， 1 + 2 = 2 ，

由于直线 与 倾斜角互补，
2 2 1 2 2+ 2 1+ 2因此 + = + = + = 0， 2 1 1 1 2 1 1 1
1 1 + 2
所以2 + ( + 2)( + ) = 2 + ( + 2) 1 2 = 0，
2 1 1 1 ( 2 1)( 1 1)
2
4 2 2
因此2 + ( + 2) = 0，
( + 2)( + +2)
2
所以 4 2 2 4 +42 + = = 0，解得 = 1．
+ +2 + +2
(3)根据前两问可知， 2 (2 + 4) + 2 = 0，因此根据韦达定理可得 1 2 =
2， 1 + 2 = 4 + 2 ，
所以| | = √ ( 1)2 + 1 × √ ( + 21 2) 4 1 2 = 4√ 2 √ 1 + ，
由于根的判别式 = (2 + 4)2 4 2 > 0，因此 > 1，所以 1 < < 3，
|( 1)×1 2+ | |3 |
又因为点 到直线 的距离为 = =
√ 2
√ 2 ，
( 1) +1
1 |3 |
因此 = × 4√ 2 √ 1 + = 2√ (3 )2( + 1)，
2 √ 2
1
由于(3 )2( + 1) = (3 )(3 )(2 + 2)
2
1 3 +3 +2 +2 3 256≤ ( ) = ，
2 3 27
因此 32√ 3
1
≤ ，当且仅当3 = 2 + 2，即 = 时，等号成立，
9 3
因此三角形 面积最大值为32√ 3．
9
19.【答案】解：(1)若 2 = 4 2 1，
当 ≥ 2时， 2 1 = 4 1 2 1 1，
两式相减得 2 2 1 = 4( 1) 2 + 2 1，
即( + 1)( 1) = 2( + 1)，
因为 > 0，
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所以 1 = 2，
所以数列{ }是首项为1，公差为2的等差数列，
则数列{ }的通项公式为 = 1 + 2( 1) = 2 1；
(2)( )设 ( ) = 1，函数定义域为 ，
可得 ′( ) = 1，
当 < 0时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以函数 ( )在( ∞, 0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；
( )证明：由( )知， ( ) ≥ (0) = 0，
即 ≥ + 1，
所以 +1 = (

) = 2 + ≥ 2( + 1) + = 3 + 2，
+1+1可得 ≥ 3，
+1
+1 +1 +1 +1
当 ≥ 2时， + 1 = ( + 1)
2 3 41
≥ ( 1 + 1) 3
1 = 2 × 3 1，
1+1 2+1 3+1 1+1
当 = 1时， 1 + 1 = 2 = 2 × 3
0，
所以 ≥ 2 × 3
1 1，
所以 = 1 + + + + ≥ (2 × 3
0
2 3 1) + (2 × 3
1 1) + (2 × 32 1) + + (2 × 3 1 1)

= 2(30 1
1 3
+ 3 + 32 + + 3 1) = 2 × = 3 1；
1 3
( )证明：易知 +1 = ( ) = 2
+ ，
此时 +1 = 2 > 0，
解得 +1 > ，
当 ≥ 1时， ≥ 1 = > 2，
所以 = 2 ≥ 2 1 +1 = 2 > 5，
当 ≥ 2时， = 1 + ( 2 1) + ( 3 2) + ( 4 3)+. . . +( 1) > 1 + 5( 1) = 5 4，
因为 1 = 1，
所以 ∈ ， ≥ 5 4恒成立，
当 ≥ 2时，(5 4)2 > (5 7)(5 2)，
因为 ≥ + 1，
所以当 > 1时，ln( + 1) ≤ ，
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1 1 1 1 1 1
当 ≥ 2时，ln(1 + 2) ≤5 5 2
< 2 < < ，
5(5 4) 5(5 7)(5 2) 5 7 5 2
1 1 1 1
此时ln(1 + 2) + ln(1 + 2) + ln(1 + 2) + + ln(1 + ) 5 2 5 3 5 4 5
2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
< ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) = < ，
3 8 8 13 13 18 5 7 5 2 3 5 2 3
1 1 1 1 1
所以ln[(1 + 2)(1 + 2)(1 + 2) (1 +5 5 5 5 2
)] < ．
2 3 4 3
1 1 1 1 3
则(1 + )(1 + )(1 + ) (1 + ) < √ ．
5 2 2 2 22 5 3 5 4 5
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