3.3 幂函数 教学设计

3.3幂函数（教学设计）
一、教学内容
1.幂函数的概念与表示，的图像与性质，以及幂函数性质的应用。
二、教学目标
1、通过生活实例抽象出五个幂函数，能从自变量、函数值及函数解析式的结构等角度归纳共性，抽象出幂函数的一般形式。
2、会画出五个幂函数的图像，能利用图像和代数运算的方法得到它们的性质，体会研究一类函数的基本路径与方法。
重难点：
通过生活实例抽象出五个幂函数，能从自变量、函数值及函数解析式的结构等角度归纳共性，抽象出幂函数的一般形式。
三、教学过程设计
活动一：创设情境，提出问题
问题1：看到“幂”这个字会想到什么？
师生活动：学生畅所欲言，教师展示ppt，给出幂的字典释义，以及关于幂的数学史，激发学生的兴趣。通过徐光启先生对幂的描述引出幂的定义。
追问:我们知道幂是什么，也知道函数是什么，那幂函数是什么知道吗？
师生活动：学生说不知道，教师一边在黑板写“幂函数”的标题，一边说“今天我们就来认识并研究一下幂函数”。
问题2:数学来源于生活，那么生活中有没有幂函数的身影？
师生活动：教师展示ppt，给出五个生活实例，学生回答出五个解析式。
追问1:这五个解析式有什么共同特征？
师生活动：学生讨论并举手回答。教师最后进行补充归纳，然后指出幂函数的定义，并进行板书。
定义：一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，为常数。
追问2:能否根据幂函数的概念各举出一个幂函数的例子？
师生活动：学生回答，教师将学生回答的解析式写到黑板上进行评价纠错。尤其强调底数是x，指数是常数，系数是1。
接着给学生强调：幂的指数除了可以取整数外，还可以取其它实数，当取不同的实数时，幂的含义也不同，对于幂函数，高中阶段我们只研究这五个函数的图像与性质。
设计意图：通过学生熟悉的实际问题引出幂函数的概念，通过追问引导学生抓住幂函数的形式特点，板书学生的例子，进一步辨析学生写的解析式的结构。
活动二:探究幂函数的图像与性质
问题3:我们应如何研究这五个函数？数学是从已知到未知的过程，这五个函数里面有没有我们熟悉的函数？
师生活动：学生回答：我们很熟悉这三个函数。
追问：那我们一起来回顾一下这三个函数都有哪些性质？
师生活动：教师一边呈现ppt，一边让学生依次回答出三个函数的定义域、值域、奇偶性和单调性。
问题4:我们之所以能迅速说出这三个函数的性质，是因为我们已经知道它们的图像了。那么的图像我们能不能画出来？怎么画？
师生活动：学生思考并回答可以用描点法画。
追问：请在导学案上已经画好的一次函数和二次函数的同一个坐标系中画出的图像，并填写表格
师生活动：学生自主探究、作图，教师巡堂，观察学生的结果，对于学生错误的作图及时纠正，教师最后依次展示的标准图像，并同时让学生回答它们的性质，然后填入导学案的表格中。最后教师呈现五个函数全部填完后的表格。
问题5:观察表格，哪些是奇函数？哪些是偶函数？它们的指数分别有什么特点？
师生活动：学生回答：、是奇函数，它们的指数都是奇数。是偶函数，它的指数是偶数。
追问：我们能不能因此归纳出幂函数的一般性质？
师生活动：教师引导，当幂函数的指数为奇数时，这个幂函数就是？学生回答奇函数。教师引导，当幂函数的指数为偶数时，这个函数就是？学生回答偶函数。同时呈现出ppt。然后教师将该性质写在黑板上，并让学生填写导学案。
问题6：观察表格，五个函数的定义域有什么特点？
师生活动：学生回答，教师补充，五个函数都在上有定义。
追问1:那么五个函数在这个区间的单调性是怎样的？
师生活动：学生回答，在区间内，都是增函数，只有是减函数。
追问1：它们的指数各自有什么特点？
师生活动：学生回答。
追问2:我们可以继续归纳出幂函数的一般性质是？
师生活动：学生说，教师在黑板上写：指数为正时，幂函数在为增函数，指数为负时，幂函数在为减函数。
问题7:我们已经通过分析每一个幂函数的性质得到了这个表格，并由这个表格总结出了幂函数的指数不同，单调性和奇偶性也不同。那我们现在把五个图合并起来看一下，有没有五个函数都具备的性质？
师生活动：教师呈现五个函数的标准图像，让学生观察五个函数的共性。此时学生可以直观的看到它们都过点（1,1）。教师继续板书在黑板，同时呈现ppt。
设计意图：让学生通过自己亲自画图观察总结规律，让后引导学生自己归纳出幂函数的一般性质，会让学生对新知识掌握得更牢固，也更有参与感。
活动三：幂函数性质的应用
问题8：如何利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小？
师生活动：让学生先独立做题，教师巡视课堂，观察学生作业完成情况。上台展示正确答案，并对巡视过程中发现的问题进行总结。
问题9: 我们已经通过画图直观看到了的单调性，能否用代数法进行证明？
师生活动：让学生独立做题，抽学生回答证明思路。再用ppt展示正确答案。
四、课堂小结
1.所有的幂函数图象都通过点(1,1)。
2.当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数。
3.在第一象限内：当α>0时，在上为增函数；当α<0时，在上为减函数。
五、布置作业
1.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（较易）
2.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（较难）
3.证明幂函数在上是减函数。（较易）
4.若，求的取值范围。（较难）