辽宁省鞍山市育英学校2025届高三上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省鞍山市育英学校 2025 届高三上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数 满足(1 ) = 3 + ，则 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
1
2.已知命题“ ∈ ，使2 2 + ( 1) + ≤ 0”是假命题，则实数 的取值范围是( )
2
A. { | ≤ 1} B. { | 1 < < 3} C. { | 1 ≤ ≤ 3} D. { | 3 < < 1}
3.青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某
市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样
本的身高(单位： )近似服从正态分布 (172, 2)，且身高在168 到176 之间的人数占样本量的75%，
则样本中身高不低于176 的约有( )
A. 150人 B. 300人 C. 600人 D. 900人
1
4.已知sin( + ) = ，则cos(2 ) =( )
3 3 3
7 7 2 2
A. B. C. D.
9 9 9 9
5.在四面体 中，△ 和△ 均是边长为1的等边三角形，已知四面体 的四个顶点都在同一球
面上，且 是该球的直径，则四面体 的体积为( )
√ 2 √ 2 √ 2 √ 2
A. B. C. D.
24 12 6 4
6.“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，
其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，
其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有( )
A. 15种 B. 18种 C. 19种 D. 36种
7.已知平行四边形 中， = = 2，∠ = 60°，对角线 与 相交于点 ，点 是线段 上一
点，则 的最小值为( )
9 9 1 1
A. B. C. D.
16 16 2 2
2 2 1
8.若 为双曲线 ： = 1的左焦点，过原点的直线 与双曲线 的左右两支分别交于 ， 两点，则
4 5 | |
4
的取值范围是( )
| |
1 1 1 1 1 1 1
A. [ , ] B. [ , ] C. ( , 0] D. [ , ]
4 5 5 5 4 4 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则( )
A. 成绩的第60百分位数为122 B. 成绩的极差为36
C. 成绩的平均数为125 D. 若增加一个成绩125，则成绩的方差变小
2 2
10.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1、 2，上、下两个顶点分别为 1、 2， 1 1的
1
延长线交 于 ，且 1 = 1 1，则( ) 2
√ 3
A. 椭圆 的离心率为 B. 直线 的斜率为√ 3
3 1
C. △ 1 2为等腰三角形 D. 2： 1 = √ 11：3√ 3
11.已知函数 ( )的定义域为 ，其导函数为 ′( )，若函数 (2 3)的图像关于点(2,1)对称， (2 + )
(2 ) = 4 ，且 (0) = 0，则( )
A. ( )的图像关于点(1,1)对称 B. ( + 4) = ( )
C. ′(1026) = 2 D. ∑50 =1 ( ) = 2499
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 = {0,1,2,3}， = { , 2 1}，若 ∪ = ，则实数 的值为______．
2
13.已知定义在区间[0, ]上的函数 ( ) = 2 ( + )( > 0)的值域为[ 2, √ 3]，则 的取值范围为
3
______．
2 2
( +1) +(3 +1)
14.已知实数 > 0， > 0，则 2 2 的最大值为______． +9 +2
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知{ }是等差数列， 1 = 4，且 5 4， 5， 5 + 6成等比数列．
(1)求{ }的通项公式；
1
(2)若数列{ +1 }满足 = ，且 1 = ，求{ }的前 项和 ． +1 2
16.(本小题12分)

如图，已知四棱锥 ，底面 是平行四边形，且∠ = ， = 2 = 2， = ， 是线
3
段 的中点， ⊥ ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)下列条件任选其一，求二面角 的余弦值．

① 与平面 所成的角为 ；
4
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√ 3
② 到平面 的距离为 ．
4
注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分．
17.(本小题12分)
某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题中的正确答案或是其中2个选项、或是其中3个选项.该类型题目
评分标准如下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案是2个选项，则每选对
1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选对1个正确选项得2分.甲、乙、丙三位同学各自作答一
道此类题目，设该题正确答案是2个选项的概率为 ．
1
(1)已知甲同学随机(等可能)选择了2个选项作答，若 = ，求他既选出正确选项也选出了错误选项的概率；
2
1
(2)已知乙同学随机(等可能)选出1个选项作答，丙同学随机(等可能)选出2个选项作答，若 = ，试比较乙、
3
丙两同学得分的数学期望的大小．
18.(本小题12分)
已知圆 过点 (4,1)， (2,3)和 (2, 1)，且圆 与 轴交于点 ，点 是抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点．
(1)求圆 和抛物线 的方程；
(2)过点 作直线 与抛物线交于不同的两点 ， ，过点 ， 分别作抛物线 的切线，两条切线交于点 ，试
判断直线 与圆 的另一个交点 是否为定点，如果是，求出 点的坐标；如果不是，说明理由．
19.(本小题12分)
定义：函数 ( )满足对于任意不同的 1， 2 ∈ [ , ]，都有| ( 1) ( 2)| < | 1 2|，则称 ( )为[ , ]上
的“ 类函数”．
2
(1)若 ( ) = + 1，判断 ( )是否为[1,3]上的“2类函数”；
3
2
(2)若 ( ) = ( 1) 为[1, ]上的“3类函数”，求实数 的取值范围；
2
(3)若 ( )为[1,2]上的“2类函数”，且 (1) = (2)，证明： 1， 2 ∈ [1,2]，| ( 1) ( 2)| < 1．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1或2
5 5
13.【答案】[ , ]
6 3
14.【答案】2
15.【答案】解：(1)因为{ }是等差数列， 1 = 4，设公差为 ，
由题可得 25 = ( 5 4)( 5 + 6)，
解得 5 = 12，

则 = 5 1 = 2，
4
故 = 1 + ( 1) = 2 + 2；
1 1
(2)由 +1 = ，得 = ， +1 +1
1 1
所以 = 1( ≥ 2)， 1
1 1 1 1 1 1 1 1
所以当 ≥ 2时， = ( ) + ( ) + +( ) +
1 1 2 2 1 1
1
= 1 + 2 + + 1 + = ( + 1)， 1
1 1
又 1 = ，上式也成立，所以 = ( + 1)， 2
1 1 1
即 = = ， ( +1) +1
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1 1 1 1 1
所以 = (1 ) + ( ) + +( ) 2 2 3 +1
1
= 1 = ．
+1 +1

16.【答案】(1)证明：因为∠ = ，且 = = 1，故 B = 1，
3
2
在△ 中， = = 1,∠ = ，
3
2 2 2
由余弦定理可得： + 1cos∠ = = ，
2 2
解得 = √ 3，在△ 中， = 1, = √ 3, = 2，
所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)解：选①，取 中点为 ，连接 ， ，如图所示：
因为 = ，故 E ⊥ ，由(1)得 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，所以∠ 为 与平面 所成的角，

即∠ = ，因为∠ = ， = ，
4 3
所以△ 为等边三角形，且边长为1，所以 = 1， √ 3 = ，
2

由∠ = 可得 √ 3
4 = = ， 2
1 1
因为 √ 3 = = = ， = ，
2 2 2
所以 = = 1 = ，所以△ 为等边三角形，
以 为原点， , , 为在 ， ， 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系：
则 1 1 1 √ 3 (0, , 0), (0, , 0), ( √ 3, , 0), (0,0, )，
2 2 2 2
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1 √ 3 1 √ 3 = (0, , ), = ( √ 3, 0,0), = ( √ 3, 1,0), = (0, , )，
2 2 2 2
设 1 = ( 1, 1, 1)是平面 的法向量，
1 √ 3
= 0 = 0
则{ 1 ，即{2 1 2 1 ，
1 = 0 √ 3 1 = 0
取 1 = 1，可得平面 的法向量 1 = (0, √ 3, 1)，
设 2 = ( 2, 2, 2)为平面 的法向量，
1 √ 3
2 = 0 + = 0则{ ，即{2 2 2 2 ，
2 = 0 √ 3 2 + 2 = 0
取 2 = 1，可得平面 的法向量 2 = (1,√ 3, 1)，
| | √ 5
设二面角 所成的角为 ，则 = |cos 1 , 2 | =
1 2 = ，
| 1 || 2 | 5
所以二面角 的余弦值为√ 5．
5
选②，取 中点为 ，连接 ， ，如图所示：
因为 = ，故 E ⊥ ，由(1)得 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
设 到平面 的距离为 √ 3 = ，
4

因为∠ = ， = ，所以△ 等边三角形，
3
1
所以 = 1， = ，设 = ，则 √ 2
1，
2 = + 4
2
因为 = , ∠ = ，所以∠ = ，
3 6

因为∠ = ， 为 中点，所以∠ = ，
3 6
所以 // ，由 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，即 ⊥ ，
1
所以 △ = × × ，因为 2
= ，
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1 1
即 × △ × = × 3 3 △
× ，
1 1 1 1
即 × × × × 120° × = × × × × ，
3 2 3 2
√ 3 √ 3
解得 = ，即 = ，所以 = = 1 = ，所以△ 为等边三角形，
2 2
以 为原点， , , 为在 ， ， 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系：
所以 1 1 1 √ 3 1 √ 3 (0, , 0), (0, , 0), ( √ 3, , 0), (0,0, )， = (0, , ), = ( √ 3, 0,0), =
2 2 2 2 2 2
1 √ 3
( √ 3, 1,0), = (0, , )，
2 2
设 1 = ( 1, 1, 1)是平面 的法向量，

1 √ 3
1 = 1 1 = 0则{ 2 2 ，
1 = √ 3 1 = 0
取 1 = 1，可得平面 的法向量 1 = (0, √ 3, 1)，
设 2 = ( 2, 2, 2)为平面 的法向量，

1 √ 3
则{ 2
= 2 + 2 = 02 2 ，
2 = √ 3 2 + 2 = 0
取 2 = 1，可得平面 的法向量 2 = (1,√ 3, 1)，
√ 5
设 1 , 2 所成的角为 ，则 =
1 2 = ，
| 1 || 2 | 5
所以二面角 的余弦值为√ 5．
5

17.【答案】解：事件 为该题的正确答案是2个选项，则 为该题的正确答案是3个选项，即 ( ) = ， ( ) =
1 ，
1 1 1
(1)由 = 得， ( ) = ， ( ) = ，
2 2 2
设事件 为甲同学既选出正确选项也选出错误选项，
1 1 2 1 1
则 ( | ) = 2 2 = ， ( | ) = 3
1 1 2 1 1 1 7
2 2 = ，则 ( ) = ( | ) ( ) + ( | ) ( ) = × + × = ； 4 3 4 2 3 2 2 2 12
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1 1 2
(2)由 = 得， ( ) = ， ( ) = ，
3 3 3
设 表示乙同学答题得分，
则 的取值范围为{0,2,3}，
1 1 1 1 1 2 1
则 ( = 0) = 21 × ( ) +
1
1
× ( ) = × + × = ，
4 4 2 3 4 3 3
1 3 2 1
( = 2) = 31 × ( ) = × = ， 4 4 3 2
1 1 1 1
( = 3) = 2 × ( ) = × = ，
1 2 3 64
1 1 1 3
所以 ( ) = 0 × + 2 × + 3 × = ，
3 2 6 2
设 表示乙同学答题得分，
则 的取值范围为{0,4,6}，
2+ 1 1 1 1 5 1 1 2 11
则 ( = 0) = 2 2 2 3 12 × ( ) + 2 × ( ) = × + × = ， 4 4 6 3 2 3 18
2 3 1 2 1 ( = 4) = 2 × ( ) = × = ， 4 2 3 3
2 1 1 1
( = 6) = 2 × ( ) = × = ，
24 6 3 18
11 1 1 5
所以 ( ) = 0 × + 4 × + 6 × = ，即 ( ) < ( )，
18 3 18 3
故乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望．
18.【答案】解(1)点 (4,1)， (2,3)和 (2, 1)，
3 1
可得 的中点(3,2)， = = 1，
2 4
所以线段 的中垂线的方程为 2 = 3，即 = 1，
3 1
线段 的中垂线的方程为 = = 1，
2
= 1
联立{ ，可得 = 2， = 1，
= 1
所以圆心 (2,1)，圆的半径 = | | = 2，
所以圆 的方程为：( 2)2 + ( 1)2 = 4，
令 = 0，可得 = 1，
由题意可知抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以抛物线的方程为 2 = 4 ；
所以圆的方程为：( 2)2 + ( 1)2 = 4，抛物线的方程为 2 = 4 ；
(2)显然直线 的方程的向量存在，设直线 的方程为 = ( 4) + 1，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
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= 4 + 1
联立{ ，整理可得 22 4 + 16 4 = 0， = 4
= 16 2 4 × 1 × (16 4) > 0，可得 2 4 + 1 > 0，
且 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 16 4，
2
因为抛物线的方程 = ，则 ′ = ，
4 2

则在点 处的斜率 11 = ， 2
2 2
所以在点 处的切线方程为 1 = 1 ( )，即 = 1 1，
4 2 1 2 4
2
同理在点 处的切线方程为 = 2 2，
2 4
2
= 1

1
2 4 1+ 2 1 1+
2
联立{ 2，解得 = = 2 ， =
2 1 = 1 2 = 4 1，
2 2 2 4 4
= 2 2
2 4
即 (2 , 4 1)，
4 1 3
所以 的方程为 = ( 2) + 3，
2 2
即 = 2 1，
= 2 1
联立{ ，整理可得：5 2 12 + 4 = 0，
( 2)2 + ( 1)2 = 4
2
解得 = 或 = 2，
5
2
=
可得{ 5
= 2
或{ ，
1
= = 3
5
2 1
所以直线 与圆 的交点 ( , ).
5 5
19.【答案】解：(1)对于任意不同的 1， 2 ∈ [1,3]，不妨设 1 < 2，即1 ≤ 1 < 2 ≤ 3，
2 2
则| ( ) ( )| = |( 1 + 1) ( 2
1+ 2
1 2 + 1)| = | 1 2| < 2| 1 2|， 3 3 3
所以 ( )为[1,3]上的“2类函数”；
(2)因为 ( )为[1, ]上的“3类函数”，
对于任意不同的 1， 2 ∈ [1, ]，不妨设 1 < 2，
则| ( 1) ( 2)| < 3| 1 2| = 3( 2 1)恒成立，
可得3 1 3 2 < ( 1) ( 2) < 3 2 3 1，
即 ( 1) + 3 1 < ( 2) + 3 2， ( 2) 3 2 < ( 1) 3 1均恒成立，
构建 ( ) = ( ) + 3 ， ∈ [1, ]，则 ′( ) = ′( ) + 3，
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由 ( 1) + 3 1 < ( 2) + 3 2可知 ( )在[1, ]内单调递增，
可知 ′( ) = ′( ) + 3 ≥ 0在[1, ]内恒成立，即 ′( ) ≥ 3在[1, ]内恒成立；
同理可得： ′( ) ≤ 3[1, ]内恒成立；
即 3 ≤ ′( ) ≤ 3在[1, ]内恒成立，
又因为 ′( ) = 1 ，即 3 ≤ 1 ≤ 3，
+ 2 + +4 + 2 + +4
整理得 ≤ ≤ ，可得 + ≤ ≤ ， +
+ 2 + +4
即 + ≤ ≤ + 在[1, ]内恒成立，
令 = + ，
因为 = ， = 在[1, ]内单调递增，则 = + 在[1, ]内单调递增，
当 = 1， = 1；当 = ， = + 1；可知 = + ∈ [1, + 1]，
2 +4
可得 ≤ ≤ 在[1, + 1]内恒成立，
2 3
构建 ( ) = , ∈ [1, + 1]，则 ′( ) = ，
当1 ≤ < 3时， ′( ) > 0；当3 < ≤ + 1时， ′( ) < 0；
1
可知 ( )在[1,3)内单调递增，在(3, + 1]内单调递减，则 ( ) ≤ (3) = ，
3
+4 3
构建 ( ) = , ∈ [1, + 1]，则 ′( ) = < 0在[1, + 1]内恒成立，
+5
可知 ( )在[1, + 1]内单调递减，则 ( ) ≥ ( + 1) = ；
+1
1 +5 1 +5
可得 3 ≤ ≤ +1，所以实数 的取值范围为[ , 3 +1]；
(3)证明：( )当 1 = 2，可得| ( 1) ( 2)| = 0 < 1，符合题意，
(ⅱ)当 1 ≠ 2，因为 ( )为[1,2]上的“2类函数”，不妨设1 ≤ 1 < 2 ≤ 2，
1
①若0 < 2 1 ≤ ，则| ( 1) ( 2)| < 2| 1 2| ≤ 1， 2
1
②若 < 2 1 ≤ 1，则| ( 1) ( 2)| = | ( 1) (1) + (1) ( 2)| = | ( 1) (1) + (2) ( 2)| 2
≤ | ( 1) (1)| + | (2) ( 2)| ≤ 2( 1 1) + 2(2 2)
= 2 2( 2 1) < 1，
综上所述： 1， 2 ∈ [1,2]，| ( 1) ( 2)| < 1．
第 10 页，共 10 页