重庆市南开中学2025届高三上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

重庆市南开中学 2025 届高三上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = ，集合 = { | = 4 + 1, ∈ }， = { | = 4 + 3, ∈ }， ∪ =( )
A. { | = 4 , ∈ } B. { | = 2 1, ∈ }
C. { | = 4 1, ∈ } D. { | = 8 + 4, ∈ }
1
2.在复平面内，复数 = 对应的点位于( )
2+
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.如图，在正四棱锥 中， 为棱 的中点，设 = , = , = ，
则用 , , 表示 为( )
1 1
A. +
2 2
1 1
B. + +
2 2
1 1
C. +
2 2
1
D. +
2
4.已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这个班级里抽取5名学生参加年级
活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有( )
A. ( 1 4 1 114) 52种 B. ( 14)
3 214种 C. 4(
1 3 2 1 4
14) 14种 D. 2( 14)
1
52种
5.已知 > 1， > 1， = log 100，则 的最小值为( )
A. 10√ 2 B. 102√ 2 C. 104 D. 100
6.已知函数 ( )的定义域为 ， ( ) = (2 )， ( ) = ( + 4)，则下列选项一定正确的是( )
A. (1) = 0
B. (1 ) + (1 + ) = 0
C. (3 + 2 ) = (3 2 )
D. ( )的图象关于直线 = 2 ( ∈ )对称
3
7.在锐角△ 中， = ，则 的取值范围为( )
5
1 2 5 3 5 4 5
A. ( , 2) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
2 5 2 5 3 5 4
8.在正四棱台 1 1 1 1中， 1 1 = 2， = 4，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的
表面积为( )
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65 49 65√ 130
A. B. C. D. 8
2 2 24
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数 ( ) = sin(3 + )( < < )的图象关于直线 = 对称，则( )
2 2 12
2 5
A. ( )的最小正周期为 B. ( )的图象关于点( , 0)对称
3 12
7
C. ( )在(0, )上有最小值 D. ( )在( , )上有两个极值点
4 6 12
10.设等差数列{ }的前 项和为 ，公差为 ，已知 7 < 0， 7 + 8 > 0，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 7 B. 满足 > 0的最小 值是14

C. 满足 < 0的最大 值是14 D. 数列{
}的最小项为第8项

11.在棱长为4的正方体 1 1 1 1中， 为棱 中点， 为侧面 1 1的
中心， 为线段 (含端点)上一动点，平面 1 交 于 ，则( )
A. 三棱锥 1 的体积为定值
2√ 5
B. 的最小值为
5
C. = 1
D. 平面 1 将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为3：2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 | |12.已知非零向量 , 满足： , = ，且 + , = ，则 = ______．
2 3 | |
13.若(3 1)5 = + 2 3 4 50 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ，则 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 = ______．
14.已知点 (3,0)，点 ， 为圆 ：( 2)2 + 2 = 4上的动点，且 = 0.记线段 中点为 ，则| |
的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数 ( ) = ( 2 + + )在(0, (0))处的切线与直线2 3 = 0平行，其中 ∈ ．
(1)求 的值；
(2)求函数 ( )在区间[ 2,2]上的最值．
16.(本小题15分)
某科技公司研发了一种新型的 模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，
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并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图．
(1)估计这500次试验中该 模型正确识别图像数量的均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用 表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次
数，求 的分布列和数学期望．
17.(本小题15分)
在空间几何体 中，底面 是边长为2的菱形，其中∠ = 60°， // ， = 2 = 2，
= 2√ 2, = √ 5．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
18.(本小题17分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 (2,0)，渐近线方程为 = ±√ 3 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设直线 与双曲线 、圆 ： 2 + 2 = 2相切，切点分别为 ， ，与渐近线相交于 ， 两点．
( )证明：| | | |为定值；
( )若| | = 2 ，求直线 的方程．
19.(本小题17分)
集合 为集合 的子集，若数列{ }{ }满足： ∈ ， 恒为 的倍数，则称{ }与{ }“ 相关”．
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(1)若 = 2 1，请写出一个不同于数列{ }且首项为1的等差数列{ }，使得{ }与{ }“

4相关”(
无需证明)；
(2)若数列{ }满足： 1 = 3, 2 = 21, +2 = 7 +1 10 ( ∈

)．
( )证明：数列{ +1 5 }为等比数列，并求出 ；
( )若 = 12 + 3，{ }与{ }“ 9相关”，求所有满足条件的集合 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 3
12.【答案】
3
13.【答案】240
√ 7+1
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1) ′( ) = ( 2 + 3 + + 1)，
故 ′(0) = + 1，而切线的斜率是2，
故 + 1 = 2，解得： = 1．
(2)由(1)得 ( ) = ( 2 + + 1)，
′( ) = ( + 1)( + 2)，
令 ′( ) > 0，解得： > 1或 < 2，
令 ′( ) < 0，解得： 2 < < 1，
故函数 ( )在[ 2, 1)递减，在( 1,2]递增，
3 1
而 ( 2) = 2， ( 1) = ， (2) = 7
2，

1
故 ( )在[ 2,2]的最小值是 ，最大值是7 2．


16.【答案】解：(1)估计这500次试验中该 模型正确识别图像数量的均值为 = 5 × 0.1 + 15 × 0.2 + 25 ×
0.15 + 35 × 0.3 + 45 × 0.25 = 29；
(2)由频率分布直方图可知，每次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为(0.015 + 0.03 + 0.025) ×
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10 = 0.7，
7
则 ～ (3, )， 的所有可能取值为0，1，2，3，
10
7 27
则 ( = 0) = (1 )3 = ，
10 1000
7 7 189
( = 1) = 1 23 × × (1 ) = ， 10 10 1000
2 7 2 7 441 ( = 2) = 3 × ( ) × (1 ) = ， 10 10 1000
7 343
( = 3) = ( )3 = ，
10 1000
所以 的分布列为：
0 1 2 3
27 189 441 343

1000 1000 1000 1000
27 189 441 343
所以 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × = 2.1．
1000 1000 1000 1000
17.【答案】解：(1)证明：在△ 中， 2 + 2 = 2 ⊥ ，
取 中点 ，连接 ， ， = = = 1，
∵ // ，∴ ⊥ ，四边形 为平行四边形，
∴ = ，
又∵四边形 为菱形，∠ = 60°，
∴ = = = 2，
在△ 中， 2 + 2 = 2 ⊥ ，
∵ // ，∴ ⊥ ，
平面 , 平面
{ ∩ = ，
⊥ , ⊥
∴ ⊥平面 ；
(2)取 中点 ，连接 ，∵四边形 为菱形，∠ = 60°，
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∴ ⊥ ，
由(1)， ⊥平面 ，
∴ 、 、 两两垂直，
以 为坐标原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系，
则 (√ 3, 1,0)， (√ 3, 1,1)， (0,0,2)， (0,2,0)，
设平面 的法向量 1 = ( 1, 1, 1)，
又 = (0,2,1)， = ( √ 3, 1,2)，
1 = 2 1 + 1 = 0则{ ，
1 = √ 3 1 + 1 + 2 1 = 0
取 1 = (√ 3, 1,2)，
设平面 的法向量 2 = ( 2, 2, 2)， = ( √ 3, 1,1)， = ( √ 3, 1, 1)，
2 = √ 3 2 2 + 2 = 0则{ ，
2 = √ 3 2 + 2 2 = 0
取 2 = (0,1,1)，
1+2 1
∴ cos < 1 , >=
1 2
2 = = ， | 1 || 2 | √ 8×√ 2 4
记二面角 的平面角为 ，
则 1 √ 15 = √ 1 cos2 < 1 , 2 >= √ 1 ( )2 = ， 4 4
∴二面角 的正弦值为√ 15．
4
18.【答案】解：(1)因为双曲线 的右焦点为 (2,0)，渐近线方程为 = ±√ 3 ，
= 2

所以{ = √ 3 ，

2 = 2 + 2
= 2
解得{ = √ 3，
= 1
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2
则双曲线 的标准方程为 2 = 1；
3
(2)( )证明：当 与 轴垂直时，直线 的方程为 = 1，
可得 (1, √ 3)， (1, √ 3)，
此时 = 4；
当直线 与 轴不垂直时，
设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)， ( 4, 4)，
= +
联立{ 22 ，消去 并整理得(3
2) 2 2 2 3 = 0，
= 1
3
此时3 2 ≠ 0且 = 4 2 2 + 4(3 2)( 2 + 3) = 12( 2 2 + 3) = 0，
解得 2 = 2 3，
2
2 3
易知 3 = 2 = ， 3 = 3 + = = ，
3
= +
联立{ 22 ，消去 并整理得(3
2) 2 2 2 = 0，
= 0
3
2 2 2
由韦达定理得 1 + 2 = 2 = ， 1 2 = 2 = 1， 3 3
所以 = 1 2 + 1 2 = 1 2 + ( 1 + )( 2 + )
2
= (1 + 2) 1
2
2 + ( 1 + 2) + = 1 +
2 + ( ) + 2 = 1 2 + 2 = 2，

2 1
因为 = | || |cos = | || |，
3 2
所以| || | = 4，
综上所述，| || | = 4；
( )因为直线 与圆相切，
| |
所以 = ，
√ 2 1+
1
设直线 为 2： = ，
1
=
联立{ ，
= +

解得 ( 2 , 2)
1+ 1+
3
易知 ( , )，

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2
所以| |2

= ( 2)
2(√ 1 + 2)2 = 4 2， 1+ 1+
又 2 = 2 3，
所以 4 4 2 12 = ( 2 + 2)( 2 6) = 0，
所以 2 = 6， 2 = 9．
则直线 的方程为 = ±3 ± √ 6．
19.【答案】解：(1) = 6 5(满足要求即可)．
5 7 10 5
(2)( )因为 +2 +1 = +1 +1 = 2， 2 5 1 = 6 ≠ 0， +1 5 +1 5
所以{ +1 5 }是以6为首项，2为公比的等比数列，
即 5 = 6 × 2 1 = 3 × 2 +1 ，
5 3
两边同除以2 +1，有 +1 +1 ×

= ，
2 2 2 2

而 +1
5
+ 1 = ( + 1)， 1
5
+1 1 + 1 = ≠ 0， 2 2 2 2 2
5 5
因此{ + 1}是以 为首项， 为公比的等比数列， 2 2 2
5则 + 1 = ( ) ，所以 = 5 2 ． 2 2
( )当 = 1时， 1 1 = 12不是9的倍数，
5 2

12 3 (3+2) 2
12 3
当 ≥ 2时， = =
9 9 9
03 20+ 13 121+ + 1312 1 12 3
12 1 1
= = 0 2 0 1 3 1
9
3 2 + 3 2 + + ， 3
×2 1 1
故只需 为整数．
3
3 ×23 1 3 1 1
① = 3 ( ∈ )时， = × 23 1 ，不是整数．
3 3
(3 1)×2
3 2 3 +1 1 3 2
② = 3 1( ∈ )时， = × 23 2
2
，不是整数．
3 3
(3 2)×23 3 3 +1 23 2 1
③ = 3 2( ∈ )时， = × 23 3 ，
3 3
3 2 3 2 3 22 1 (3 1) 1 ( 1) 1
而 = = 0 3 3 1 3 4 3 3 3 3
3 3 3 2
3 3 23 + + 3 2 ( 1) + ， 3
3 2
( 1) 1
当3 2为偶数， = 0 ∈ ，即 = 2 ， ∈ ，
3
此时 = 6 2， ∈ ．
3 2
( 1) 1 2
当3 2为奇数， = ．
3 3
综上，满足条件集合 是{ | = 6 2, ∈ }的子集．
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