河北省唐山市2025届高三上学期1月期末考试数学试题（含答案）

河北省唐山市2025届高三上学期1月期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，集合，则( )
A. B.
C. D. 或
2.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若与平行，则( )
A. B. C. D.
4.甲、乙等人站成一排，要求甲在中间，乙不在两端，则不同的排列方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在三棱柱中，平面，，，则三棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆，的左焦点为，右顶点为，上顶点为，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.设，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标，记，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若事件，相互独立，则
B. 残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好
C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与没有关联”
D. 样本相关系数的绝对值越接近，成对样本数据的线性相关程度越强
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 为奇函数 B. 的一个周期为
C. 的一条对称轴为 D. 的值域为
11.已知圆心在轴上的动圆经过点，与轴的一个交点为，与轴交于，点的轨迹为，为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 的方程为
B. 上恰有三个点到焦点弦所在直线的距离为，则的倾斜角为
C. 上两点，和直线上两点，能够构成正方形的个数为
D. 过点的直线与交于，两点，过作轴的垂线与直线交于点，则线段的中点在直线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中常数项是 ．
13.已知，则的最小值为 ．
14.某同学进行投篮训练,每次投篮次数为n,n,n20,每次投篮的命中率都为p,随机变量表示投篮命中的次数,服从二项分布B(n,p),记=,当n20时,可认为服从标准正态分布N(0,1),已知该同学每次投篮的命中率均为0.5,每次投篮命中得2分,不中得0分.若n=40,则该同学投中次数的期望为 次;若保证该同学n次投篮总得分在区间(0.8n,1.2n)的概率不低于0.8,则n的最小值为 .附:~N(0,1),则P(<1.28)=0.9,P(<0.84)=0.8.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知，．
求角
若的面积为，求边上的高．
16.本小题分
某棋手依次与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为．
若，，，求
若，，求取最大值时的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，点在棱上，且．
证明：平面
若底面，直线与直线所成角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线的渐近线方程为，焦距长为．
求的标准方程
点在上，点的坐标为，为原点，求面积的最小值
过的右焦点的直线与交于，两点，以为直径的圆与直线交于，两点，若，求直线的方程．
19.本小题分
已知：对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．
已知平面内点，点，把点按已知方式绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标
若曲线上的点可以由曲线上的点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转角得到，求曲线的方程
将曲线上的所有点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转，得到曲线，证明：和有且仅有一条公切线．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.20 ； 41
15.解：因为，由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
又因为，所以．
由，得．
又因为，得，，
又，得．
设边上的高为，则由，可得，因此边上的高为．
16.解：．
．
由已知得：，，，，
，，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
所以取最大值时的值为．
17.解：证明：在上取点，使得，连接，．
因为，所以，且．
又，，
所以，且，
从而可知四边形是平行四边形，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
易知，，两两互相垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，
则，，
，，
解得．
易知平面，所以是平面的一个法向量．
，，
设平面的法向量为，
由，得可取，
设平面与平面的夹角为，
所以，，
即平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：因为双曲线的渐近线方程为，焦距长为，且，
所以且，，
解得，，
所以双曲线的标准方程为．
由题意可知直线的斜率为，且，
设过点且与平行的直线的方程为，
当直线与双曲线相切时，直线与直线之间的距离最小，此时的面积最小．
联立与得，
由即解得，
当时，与的右支相切，符合题意
当时，与的左支相切，与题意不符，舍掉．
直线与直线之间的距离，
此时面积最小为．
易知直线的斜率不为，设直线的方程为，
联立得．
记，，的中点为，的中点为，
由题意得．
由韦达定理得：，，且，
所以，
由中点坐标公式得：，，
则点到直线的距离为，
在中，得：，
即，
整理得，
解得或．
所以直线的方程为或或．
19.解：依题意，，代入公式可得，所以．
设曲线上的点为，则，
将绕原点沿逆时针方向旋转角，得到，满足．
将代入公式，可得，，
由得，，
因此，，所以或．
当时，式为：，满足题设．
当时，式为：，不满足题设．
故所求曲线的方程为．
证明：设为上一点，依题意，
又，所以，
因此，即．
，
所以在点的切线方程为．
，，为上一点，
则在点的切线方程为．
要使和有公切线，须有，且，
消去，可得．
令，，
，
显然时，，当时，
因为，所以，
从而，即，
因此，时，，即单调递减，
又，，
所以存在使得，
即有唯一实根，故和有且仅有一条公切线．
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