2024-2025学年河北省省级联考高三（上）1月期末数学试题（PDF版，含答案）

2024-2025 学年河北省省级联考高三（上）1 月期末数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { || 1| < 2}， = { | ≤ 2}，则 ∩ ( ) =( )
A. ( 1,3) B. (2,3) C. ( 1,+∞) D. (2,+∞)
2.在( 2 + √ )5的二项展开式中， 4的系数为( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
3.已知等比数列{ }的前 项积为 ，若 7 = 128，则 4 =( )
A. √ 2 B. 2 C. 2√ 2 D. 4
4.已知圆 2 + 2 2 + 2 10 = 0被直线 + 2 = 0所截，则截得的弦长为( )
A. 2 B. 2√ 2 C. 2√ 3 D. 4
√ 3 1
5.设函数 ( ) = sin( + )( > 0)，已知 ( ) = ， ( ) = ，且| |的最小值为 ，则 =( )
2 2
1 1
A. 2 B. 1 C. D.
2 4
2
6.已知某一指数 = (其中数据 为常数，且 ≠ 2)可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数
ln
的值越大，水质越好.若数据 由 1变化为 2，对应的指数 由2.15提高到3.225，则( )
A. 1 = 2 2 B. 2
2 2 3
1 = 3 2 C. 1 = 2 D. 1 = 2
7.已知四棱锥 中，底面 为边长为2的正方形， = = 2， = = √ 3，则直线 到
平面 的距离为( )
√ 69 √ 69 √ 23 √ 23
A. B. C. D.
6 3 6 3
1
8.已知函数 ( ) = 2 2 + sin(2 4) + 4，若 ( 2) + (2
2) > 8，则实数 的取值范围是( )

3
A. (2,+∞) B. ( 2, )
2
3 3
C. ( ∞, ) D. ( ∞, ) ∪ (2,+∞)
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 ，则下列说法正确的是( )
A. 若| | = 2，则 = ±2 B. 若 + 2 ∈ ，则 的虚部为 2
C. 若 2 > 0，则 ∈ D. 若| | = 1，则1 ≤ | 2| ≤ 3
10.已知正数 ， 满足2 + = 8，则下列说法正确的是( )
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A. ≤ 8 B. 4 2 + 2 ≤ 32
C. 4 < + < 8 D. 2 + 3 ∈ (16,24)
3
11.已知抛物线 : 2 = 2 ( > 1)，直线 : = ( )， 为坐标原点，若 (6, + 2)， (24, + 8)两点
2
在抛物线 上，则下列说法正确的是( )
A. = ±4
3
B. 抛物线 的准线方程为 =
2
C. 若直线 与抛物线 交于 ， 两点，则
27
=
4
D. 若直线 与抛物线 交于 ， 两点，则| | + 2的最小值为6 + 2√ 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知公差大于0的等差数列{ }满足 4 + 2 1 = 3， 4 6 = 7，则数列{ }的前8项和为 ．
13.在边长为2的等边三角形 中，点 为边 的中点，点 在三角形 所在的平面内，且满足| | = 1，
则 ( + )的最大值为 ．
14.最近全国各地的旅游十分火爆，某旅游公司根据市场调研的情况推出了 ， 两个旅游路线方案，通过实
践发现，选择方案 旅游路线与选择方案 旅游路线的游客比为3: 1，该公司为了激励大家消费，设立优惠项
目，即选择方案 旅游路线优惠200元，选择方案 旅游路线优惠100元(每位游客的选择相互独立)，已知旅
游公司的总优惠金额恰为100 的概率为 ， ∈
，则 的关系式为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知角 为钝角， = 1，sin2 = √ 3 cosC.
(1)求角 ;
(2)若过 作 垂直 于点 ，求 的最大值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， // ， ⊥ ， = ， = 3 ，∠ = 45 ，
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点 在线段 上，满足 = 2 ，点 为 的中点．
(1)证明： //平面 ;
(2)若 ⊥平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值;
(3)在(2)的条件下，求平面 与平面 所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
2 2
已知点 1， 2分别为椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点，点 ， 分别为椭圆 的左、右顶点，点 在
3
椭圆 上，且满足直线 与直线 的斜率之积为 ．
4
(1)求椭圆 的离心率;
(2)若| | = 4，直线 1与椭圆 的另一个交点为 ，且直线 与直线 相交于点 ， 为坐标原点，求| |
的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = ln( + 1) sin ， ∈ ， ∈ .

(1)若 = 1，函数 ( )在[0, ]上单调递减，求实数 的取值范围;
2

(2)若 = 1， = 2，求函数 ( )在[ , ]上的零点个数．
4 4
19.(本小题17分)
已知有限数列{ }满足 ∈ ，若给定一个正整数 ，在数列{ }中存在一项或一些连续项的和为 ，其中 的
值可以取遍{1,2, , }中的所有元素，则称数列{ }为 级可分解数列．
(1)数列3，1，2是否为4级可分解数列 是否为5级可分解数列 请说明理由;
(2)若有限数列{ }为8级可分解数列，则数列{ }的项数最少为多少
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(3)若有限数列{ }为20级可分解数列，且 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + < 20，判断数列{ }的项数是否
最少为6项，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】8
13.【答案】2√ 3 + 3．
9 3 4
14.【答案】 × ( ) 1 + ， ∈
28 4 7
15.【答案】解：(1)由sin2 = √ 3 cos 可得，2sin cos = √ 3 cos ，
sin √ 3
因为角 为钝角，所以cos ≠ 0，所以2sin = √ 3 ，即 = ，
2
sin sin √ 3 √ 3
根据正弦定理可得 = = ，因为 = 1，所以sin = ，
2 2
2
又角 为钝角，所以 = ．
3
1 1 √ 3
(2)根据题意可知， △ = × × = × × × ，可得 = ， 2 2 2
2+ 2
2
1 2+ 2 1
根据余弦定理可得，cos = ，即 = ，
2 2 2
1
可得1 = 2 + 2 ≥ 2 ，可得 ≤ ，当且仅当 = 时等号成立，
3
√ 3
所以 的最大值为 ．
6
16.【答案】解：(1)取点 为 的中点，连接 ， ，
1
因为点 为 的中点，所以 // ， = ，
2
1
又 // ，且 = ，
2
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所以 // ， = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
(2)因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ，又 ⊥ ，平面 ∩平面 = ，
平面 ，
所以 ⊥平面 ，
所以直线 与平面 所成角为∠ ，
设 = = ，则 = 2 ，
因为∠ = 45 ，
又 ⊥ ，所以 = = 2 ， = 2√ 2 ，易得 = √ 2 + 2 = 3 ，
1
所以sin∠ = = = ，
3 3
1
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
3
(3)在(2)的条件下，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过点 作平行于 的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
(0,0,0)， ( , 0,0)， ( , , 0)， (0,3 , 0)， (0,2 , 2 )，
= ( , 0,0)， = (0,2 , 2 )， = ( , , 2 )， = ( , 2 , 0)，
设平面 的法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
= 0, = 0,
则{ 1 即{ 1
1 = 0,
2 1 + 2 1 = 0,
令 1 = 1，所以 1 = (0,1, 1)，
设平面 的法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
2 = 0, 2 + 2 + 2 2 = 0,则{ 即{ ，
= 0, 2 + 2 = 0,2 2
1
令 2 = 1，所以 2 = (2,1, )， 2
设平面 与平面 所成的角为 ，
1
· √ 42
则cos = |
1 2 | = 2 =
| ， 1 || 2 | 21 42√ 2×√
4
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所以平面 与平面 所成角的余弦值为√ 42．
42
3 2 3
17【. 答案】解：(1)由题知， ( , 0)， ( , 0)，设点 ( 1, 1)，由 = ，可得
1 × 1 = 1 = ，
4 2 21+ 1 1 4
2 2 2 ( 2 2 2 21 1 2 1) 1 3又 + = 1，即 = ，所以 2 2 2 2 2
2 2 1 2
= 2 2 = 2 = ，所以4 = 3 ，所以4 4 = 3 ， 1 4
1
即 2 = 4 2， = 2 ，故椭圆 的离心率 = ．
2
2 2
(2)由(1)可得 = 2 ，又因为| | = 4，可得2 = 4，所以 = 2， = √ 3， = 1，可得椭圆 的方程为 + =
4 3
1，

设 ( 2, 2)，直线 : 0 =
1 ( + 2)，直线 ; 0 = 2 ( 2)，
1+2 2 2

0 = 1 ( + 2),
1+2 1 2 2 +2 +2 2( +2)联立{ 两式相除可得1 = × × ，即 =
1 ，
0 = 2 ( 2), 1+2 2 2 2 1( 2 2)
2 2
( +2)
当直线 的斜率不为0时，设直线 : = 1，所以 1 = 1 1， 2 = 2 1，代入可得
2 1 =
1( 2 2)
2 2
2( 1+1) 1 2+ = 2 ，联立{ + = 14 3 ，整理得(3 2 + 4) 2 6 9 = 0， > 0，所以
1( 2 3) 1 2 3 1 = 1
6
+ = 3 11 2 3 2+4 +2 ( 1+2) { ，所以 3( + ) = 2 ，所以 = 2 = 2 1

2 2 1
9 1 2 1 2 2 ( 2) 9 3
= ，解得 = 4，
= 1 2 31 2 3 2 2
1 2 2
+4
当直线 的斜率为0时， 与 重合，不满足题意，
所以点 不取( 4,0)，可得点 的轨选为 = 4( ≠ 0)，所以| |的取值范围为(4,+∞).

18.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = ln( + 1) sin ， ′( ) = cos ，
+1

因为函数 ( )在[0, ]上单调递减，
2

所以 ′( ) 0在[0, ]上恒成立，
2
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即 ′( ) = cos ≤ 0在[0, ]上恒成立，
+1 2
可得 ≤ ( + 1)cos ，

令 ( ) = ( + 1)cos ，在[0, ]上， + 1 > 0，cos ≥ 0，
2

所以 ( ) = ( + 1)cos 在[0, ]上的最小值为0，
2
所以实数 的取值范围为( ∞, 0]；
1
(2)当 = 1， = 2时， ( ) = ln( + 1) sin2 ，可得 (0) = 0， ′( ) = 2cos2 ，
+1
1
令 ( ) = 2cos2 ，
+1
1
则 ′( ) = 2 + 4sin2 ，易知 ′( )在( , )上单调递增，
( +1) 4 4
1
又 ′(0) = 1 < 0， ′( ) = 4
4 2
> 0，
( +1)
4

所以 0 ∈ (0, )，使得 ′( 0) = 0， 4

所以 ′( )在( , 0)上单调递减，在( 0, )上单调递增， 4 4
1 1
又 ′(0) = 1 < 0， ′( ) =
4
> 0， ′( ) = > 0，
+1 4 +1
4 4

所以 1 ∈ ( , 0)， 2 ∈ ( 0, )，使得 ′( 1) = ′( 4 4 2) = 0，

故 ( )在( , 1)上单调递增，在( 1, 2)上单调递减，在( 2, )上单调递增， 4 4

又 ( ) = ln(1 + ) 1 < 0，
4 4
由 (0) = 0得 ( 2) < 0， ( 1) > 0，

又因为 ( ) = ln(1 ) + 1 < 0，
4 4

所以 3 ∈ ( , 4 1)，使得 ( 3) = 0，

综上，函数 ( )在[ , ]上有 ，0两个零点．
4 4 3
19.【答案】解：(1)数列 1 = 3， 2 = 1， 3 = 2，所以 2 = 1， 3 = 2， 1 = 3， 1 + 2 = 4，
所以该数列为4级可分解数列，
由于没有连续的项的和为5，所以不是5级可分解数列．
(2)因为有限数列{ }为8级可分解数列，
所以至少有8组数列组合，分别等于1，2，3， ，8，
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设该有限数列{ }共 项，分析可得数列组合中一个元素的共 种;
数列组合中两个连续元素的共 1种;
数列组合中三个连续元素的共 2种; ;
数列组合中 个连续元素的共1种，
( +1) ( +1)
所以 + 1 + 2 + + 1 = ，则 ≥ 8，
2 2
计算分析可得 ≥ 4;
当 取最小值4时，构造数列为1，4，1，2，
此数列 1 = 1， 2 = 4， 3 = 1， 4 = 2， 1 = 1， 4 = 2， 3 + 4 = 3，
2 = 4， 1 + 2 = 5， 1 + 2 + 3 = 6， 2 + 3 + 4 = 7， 1 + 2 + 3 + 4 = 8，
所以存在 = 4成立，所以数列{ }的项数最少为4．
( +1)
(3)由(2)可得， ≥ 20，所以 ≥ 6，
2
6(6+1)
当 = 6时， 1， 2， 3， 4， 5， 6的数列组合至多可表示 = 21组， 2
又因为 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 < 20，
分析可得其中有负数的项，从而 1， 2， 3， 4， 5， 6中的一项或一些连续项的和
可表示1 20及那个负数(恰21组)，
这表明 1， 2， 3， 4， 5， 6中仅一个负的，没有0，且这个负的在 1， 2， 3， 4， 5， 6中绝对值最
小，
同时 1 6中没有两数相同，设那个负数为 ( ≥ 1)，
则所有数之和≥ + 1 + + 2 + + + 5 = 4 + 15，4 + 15 ≤ 19，
所以 = 1，所以{ 1, 2, 3, 4, 5, 6} = { 1,2,3,4,5,6}，
再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，
因为1 = 1 + 2(仅一种方式)，所以 1与2相邻，若 1不在两端，在第2，3，4，5之一的位置，
不妨设为“ ， 1，2， ， ， ”的形式(其他形式同理)
若 = 6，则5 = 6 + ( 1)(有2种结果相同，方式矛盾)，
所以 ≠ 6，同理 ≠ 5，4，3，
故 1在一端，不妨为“ 1，2， ， ， ， ”的形式，
若 = 3，则5 = 2 + 3(有2种结果相同，矛盾);
若 = 4，同理不行;若 = 5，则6 = 1 + 2 + 5(有2种结果相同，矛盾)，
从而 = 6，由于7 = 1 + 2 + 6，由表法唯一知3，4不相邻，
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故只能 1，2，6，3，5，4 ①或 1，2，6，4，5，3 ②，这2种情形，
对 ①:9 = 6 + 3 = 5 + 4，矛盾;
对 ②:8 = 2 + 6 = 5 + 3，也矛盾，
综上， ≠ 6.
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