2024-2025 学年河北省省级联考高三(上)1 月期末数学试题
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { || 1| < 2}, = { | ≤ 2},则 ∩ ( ) =( )
A. ( 1,3) B. (2,3) C. ( 1,+∞) D. (2,+∞)
2.在( 2 + √ )5的二项展开式中, 4的系数为( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
3.已知等比数列{ }的前 项积为 ,若 7 = 128,则 4 =( )
A. √ 2 B. 2 C. 2√ 2 D. 4
4.已知圆 2 + 2 2 + 2 10 = 0被直线 + 2 = 0所截,则截得的弦长为( )
A. 2 B. 2√ 2 C. 2√ 3 D. 4
√ 3 1
5.设函数 ( ) = sin( + )( > 0),已知 ( ) = , ( ) = ,且| |的最小值为 ,则 =( )
2 2
1 1
A. 2 B. 1 C. D.
2 4
2
6.已知某一指数 = (其中数据 为常数,且 ≠ 2)可以用来检测某一特殊海域的水质情况,其中指数
ln
的值越大,水质越好.若数据 由 1变化为 2,对应的指数 由2.15提高到3.225,则( )
A. 1 = 2 2 B. 2
2 2 3
1 = 3 2 C. 1 = 2 D. 1 = 2
7.已知四棱锥 中,底面 为边长为2的正方形, = = 2, = = √ 3,则直线 到
平面 的距离为( )
√ 69 √ 69 √ 23 √ 23
A. B. C. D.
6 3 6 3
1
8.已知函数 ( ) = 2 2 + sin(2 4) + 4,若 ( 2) + (2
2) > 8,则实数 的取值范围是( )
3
A. (2,+∞) B. ( 2, )
2
3 3
C. ( ∞, ) D. ( ∞, ) ∪ (2,+∞)
2 2
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知复数 ,则下列说法正确的是( )
A. 若| | = 2,则 = ±2 B. 若 + 2 ∈ ,则 的虚部为 2
C. 若 2 > 0,则 ∈ D. 若| | = 1,则1 ≤ | 2| ≤ 3
10.已知正数 , 满足2 + = 8,则下列说法正确的是( )
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A. ≤ 8 B. 4 2 + 2 ≤ 32
C. 4 < + < 8 D. 2 + 3 ∈ (16,24)
3
11.已知抛物线 : 2 = 2 ( > 1),直线 : = ( ), 为坐标原点,若 (6, + 2), (24, + 8)两点
2
在抛物线 上,则下列说法正确的是( )
A. = ±4
3
B. 抛物线 的准线方程为 =
2
C. 若直线 与抛物线 交于 , 两点,则
27
=
4
D. 若直线 与抛物线 交于 , 两点,则| | + 2的最小值为6 + 2√ 6
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.已知公差大于0的等差数列{ }满足 4 + 2 1 = 3, 4 6 = 7,则数列{ }的前8项和为 .
13.在边长为2的等边三角形 中,点 为边 的中点,点 在三角形 所在的平面内,且满足| | = 1,
则 ( + )的最大值为 .
14.最近全国各地的旅游十分火爆,某旅游公司根据市场调研的情况推出了 , 两个旅游路线方案,通过实
践发现,选择方案 旅游路线与选择方案 旅游路线的游客比为3: 1,该公司为了激励大家消费,设立优惠项
目,即选择方案 旅游路线优惠200元,选择方案 旅游路线优惠100元(每位游客的选择相互独立),已知旅
游公司的总优惠金额恰为100 的概率为 , ∈
,则 的关系式为 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,已知角 为钝角, = 1,sin2 = √ 3 cosC.
(1)求角 ;
(2)若过 作 垂直 于点 ,求 的最大值.
16.(本小题15分)
如图,在四棱锥 中,底面 为直角梯形, // , ⊥ , = , = 3 ,∠ = 45 ,
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点 在线段 上,满足 = 2 ,点 为 的中点.
(1)证明: //平面 ;
(2)若 ⊥平面 ,求直线 与平面 所成角的正弦值;
(3)在(2)的条件下,求平面 与平面 所成角的余弦值.
17.(本小题15分)
2 2
已知点 1, 2分别为椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点,点 , 分别为椭圆 的左、右顶点,点 在
3
椭圆 上,且满足直线 与直线 的斜率之积为 .
4
(1)求椭圆 的离心率;
(2)若| | = 4,直线 1与椭圆 的另一个交点为 ,且直线 与直线 相交于点 , 为坐标原点,求| |
的取值范围.
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = ln( + 1) sin , ∈ , ∈ .
(1)若 = 1,函数 ( )在[0, ]上单调递减,求实数 的取值范围;
2
(2)若 = 1, = 2,求函数 ( )在[ , ]上的零点个数.
4 4
19.(本小题17分)
已知有限数列{ }满足 ∈ ,若给定一个正整数 ,在数列{ }中存在一项或一些连续项的和为 ,其中 的
值可以取遍{1,2, , }中的所有元素,则称数列{ }为 级可分解数列.
(1)数列3,1,2是否为4级可分解数列 是否为5级可分解数列 请说明理由;
(2)若有限数列{ }为8级可分解数列,则数列{ }的项数最少为多少
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(3)若有限数列{ }为20级可分解数列,且 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + < 20,判断数列{ }的项数是否
最少为6项,请说明理由.
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】8
13.【答案】2√ 3 + 3.
9 3 4
14.【答案】 × ( ) 1 + , ∈
28 4 7
15.【答案】解:(1)由sin2 = √ 3 cos 可得,2sin cos = √ 3 cos ,
sin √ 3
因为角 为钝角,所以cos ≠ 0,所以2sin = √ 3 ,即 = ,
2
sin sin √ 3 √ 3
根据正弦定理可得 = = ,因为 = 1,所以sin = ,
2 2
2
又角 为钝角,所以 = .
3
1 1 √ 3
(2)根据题意可知, △ = × × = × × × ,可得 = , 2 2 2
2+ 2
2
1 2+ 2 1
根据余弦定理可得,cos = ,即 = ,
2 2 2
1
可得1 = 2 + 2 ≥ 2 ,可得 ≤ ,当且仅当 = 时等号成立,
3
√ 3
所以 的最大值为 .
6
16.【答案】解:(1)取点 为 的中点,连接 , ,
1
因为点 为 的中点,所以 // , = ,
2
1
又 // ,且 = ,
2
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所以 // , = ,
所以四边形 为平行四边形,
所以 // ,
又 平面 , 平面 ,所以 //平面 .
(2)因为 ⊥平面 , 平面 ,
所以平面 ⊥平面 ,又 ⊥ ,平面 ∩平面 = ,
平面 ,
所以 ⊥平面 ,
所以直线 与平面 所成角为∠ ,
设 = = ,则 = 2 ,
因为∠ = 45 ,
又 ⊥ ,所以 = = 2 , = 2√ 2 ,易得 = √ 2 + 2 = 3 ,
1
所以sin∠ = = = ,
3 3
1
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
3
(3)在(2)的条件下,以 为坐标原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴,过点 作平行于 的直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
(0,0,0), ( , 0,0), ( , , 0), (0,3 , 0), (0,2 , 2 ),
= ( , 0,0), = (0,2 , 2 ), = ( , , 2 ), = ( , 2 , 0),
设平面 的法向量为 1 = ( 1, 1, 1),
= 0, = 0,
则{ 1 即{ 1
1 = 0,
2 1 + 2 1 = 0,
令 1 = 1,所以 1 = (0,1, 1),
设平面 的法向量为 2 = ( 2, 2, 2),
2 = 0, 2 + 2 + 2 2 = 0,则{ 即{ ,
= 0, 2 + 2 = 0,2 2
1
令 2 = 1,所以 2 = (2,1, ), 2
设平面 与平面 所成的角为 ,
1
· √ 42
则cos = |
1 2 | = 2 =
| , 1 || 2 | 21 42√ 2×√
4
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所以平面 与平面 所成角的余弦值为√ 42.
42
3 2 3
17【. 答案】解:(1)由题知, ( , 0), ( , 0),设点 ( 1, 1),由 = ,可得
1 × 1 = 1 = ,
4 2 21+ 1 1 4
2 2 2 ( 2 2 2 21 1 2 1) 1 3又 + = 1,即 = ,所以 2 2 2 2 2
2 2 1 2
= 2 2 = 2 = ,所以4 = 3 ,所以4 4 = 3 , 1 4
1
即 2 = 4 2, = 2 ,故椭圆 的离心率 = .
2
2 2
(2)由(1)可得 = 2 ,又因为| | = 4,可得2 = 4,所以 = 2, = √ 3, = 1,可得椭圆 的方程为 + =
4 3
1,
设 ( 2, 2),直线 : 0 =
1 ( + 2),直线 ; 0 = 2 ( 2),
1+2 2 2
0 = 1 ( + 2),
1+2 1 2 2 +2 +2 2( +2)联立{ 两式相除可得1 = × × ,即 =
1 ,
0 = 2 ( 2), 1+2 2 2 2 1( 2 2)
2 2
( +2)
当直线 的斜率不为0时,设直线 : = 1,所以 1 = 1 1, 2 = 2 1,代入可得
2 1 =
1( 2 2)
2 2
2( 1+1) 1 2+ = 2 ,联立{ + = 14 3 ,整理得(3 2 + 4) 2 6 9 = 0, > 0,所以
1( 2 3) 1 2 3 1 = 1
6
+ = 3 11 2 3 2+4 +2 ( 1+2) { ,所以 3( + ) = 2 ,所以 = 2 = 2 1
2 2 1
9 1 2 1 2 2 ( 2) 9 3
= ,解得 = 4,
= 1 2 31 2 3 2 2
1 2 2
+4
当直线 的斜率为0时, 与 重合,不满足题意,
所以点 不取( 4,0),可得点 的轨选为 = 4( ≠ 0),所以| |的取值范围为(4,+∞).
18.【答案】解:(1)当 = 1时, ( ) = ln( + 1) sin , ′( ) = cos ,
+1
因为函数 ( )在[0, ]上单调递减,
2
所以 ′( ) 0在[0, ]上恒成立,
2
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即 ′( ) = cos ≤ 0在[0, ]上恒成立,
+1 2
可得 ≤ ( + 1)cos ,
令 ( ) = ( + 1)cos ,在[0, ]上, + 1 > 0,cos ≥ 0,
2
所以 ( ) = ( + 1)cos 在[0, ]上的最小值为0,
2
所以实数 的取值范围为( ∞, 0];
1
(2)当 = 1, = 2时, ( ) = ln( + 1) sin2 ,可得 (0) = 0, ′( ) = 2cos2 ,
+1
1
令 ( ) = 2cos2 ,
+1
1
则 ′( ) = 2 + 4sin2 ,易知 ′( )在( , )上单调递增,
( +1) 4 4
1
又 ′(0) = 1 < 0, ′( ) = 4
4 2
> 0,
( +1)
4
所以 0 ∈ (0, ),使得 ′( 0) = 0, 4
所以 ′( )在( , 0)上单调递减,在( 0, )上单调递增, 4 4
1 1
又 ′(0) = 1 < 0, ′( ) =
4
> 0, ′( ) = > 0,
+1 4 +1
4 4
所以 1 ∈ ( , 0), 2 ∈ ( 0, ),使得 ′( 1) = ′( 4 4 2) = 0,
故 ( )在( , 1)上单调递增,在( 1, 2)上单调递减,在( 2, )上单调递增, 4 4
又 ( ) = ln(1 + ) 1 < 0,
4 4
由 (0) = 0得 ( 2) < 0, ( 1) > 0,
又因为 ( ) = ln(1 ) + 1 < 0,
4 4
所以 3 ∈ ( , 4 1),使得 ( 3) = 0,
综上,函数 ( )在[ , ]上有 ,0两个零点.
4 4 3
19.【答案】解:(1)数列 1 = 3, 2 = 1, 3 = 2,所以 2 = 1, 3 = 2, 1 = 3, 1 + 2 = 4,
所以该数列为4级可分解数列,
由于没有连续的项的和为5,所以不是5级可分解数列.
(2)因为有限数列{ }为8级可分解数列,
所以至少有8组数列组合,分别等于1,2,3, ,8,
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设该有限数列{ }共 项,分析可得数列组合中一个元素的共 种;
数列组合中两个连续元素的共 1种;
数列组合中三个连续元素的共 2种; ;
数列组合中 个连续元素的共1种,
( +1) ( +1)
所以 + 1 + 2 + + 1 = ,则 ≥ 8,
2 2
计算分析可得 ≥ 4;
当 取最小值4时,构造数列为1,4,1,2,
此数列 1 = 1, 2 = 4, 3 = 1, 4 = 2, 1 = 1, 4 = 2, 3 + 4 = 3,
2 = 4, 1 + 2 = 5, 1 + 2 + 3 = 6, 2 + 3 + 4 = 7, 1 + 2 + 3 + 4 = 8,
所以存在 = 4成立,所以数列{ }的项数最少为4.
( +1)
(3)由(2)可得, ≥ 20,所以 ≥ 6,
2
6(6+1)
当 = 6时, 1, 2, 3, 4, 5, 6的数列组合至多可表示 = 21组, 2
又因为 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 < 20,
分析可得其中有负数的项,从而 1, 2, 3, 4, 5, 6中的一项或一些连续项的和
可表示1 20及那个负数(恰21组),
这表明 1, 2, 3, 4, 5, 6中仅一个负的,没有0,且这个负的在 1, 2, 3, 4, 5, 6中绝对值最
小,
同时 1 6中没有两数相同,设那个负数为 ( ≥ 1),
则所有数之和≥ + 1 + + 2 + + + 5 = 4 + 15,4 + 15 ≤ 19,
所以 = 1,所以{ 1, 2, 3, 4, 5, 6} = { 1,2,3,4,5,6},
再考虑排序,排序中不能有和相同,否则不足20个,
因为1 = 1 + 2(仅一种方式),所以 1与2相邻,若 1不在两端,在第2,3,4,5之一的位置,
不妨设为“ , 1,2, , , ”的形式(其他形式同理)
若 = 6,则5 = 6 + ( 1)(有2种结果相同,方式矛盾),
所以 ≠ 6,同理 ≠ 5,4,3,
故 1在一端,不妨为“ 1,2, , , , ”的形式,
若 = 3,则5 = 2 + 3(有2种结果相同,矛盾);
若 = 4,同理不行;若 = 5,则6 = 1 + 2 + 5(有2种结果相同,矛盾),
从而 = 6,由于7 = 1 + 2 + 6,由表法唯一知3,4不相邻,
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故只能 1,2,6,3,5,4 ①或 1,2,6,4,5,3 ②,这2种情形,
对 ①:9 = 6 + 3 = 5 + 4,矛盾;
对 ②:8 = 2 + 6 = 5 + 3,也矛盾,
综上, ≠ 6.
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