2024-2025学年辽宁省沈阳市高三（上）教学质量监测（一）数学试题（PDF版，含答案）

2024-2025 学年辽宁省沈阳市高三（上）教学质量监测（一）数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = { ∈ || 1| < 2}，则集合 =( )
A. {1,2} B. {0,1,2} C. {0,1,2,3} D. { 1,0,1,2,3}
sin
2.函数 ( ) = 2 的图象大致是( ) lg( + )
A.
B.
C.
D.
3.已知数列{ }为等差数列， ， ， ， ∈ +，设 : + = + ， : + = + ，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若 1 +
2 2 + +


能被5整除，则 ， 的一组值可能为( )
A. = 2， = 6 B. = 4， = 6 C. = 8， = 4 D. = 14， = 4

5.已知锐角 满足3sin + 4cos = 4，则tan =( )
2
4 3 12 5
A. B. C. D.
3 4 5 12
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6.已知△ 中， = 1， = √ 3， = 2，点 ， 是线段 上的动点，则 的取值范围是( )
3 3
A. [ , 1] B. [0,1] C. [ , 3] D. [0,3]
4 4
7.已知平面直角坐标系中不同的三点 (0,5)， ( , 0)， (0, )，圆心在 轴上的圆 经过 ， ， 三点，设
点 的坐标为( , )，则 点的轨迹方程为( )
A. 2 = 5 ( ≠ 0) B. 2 = 5 ( ≠ 0) C. 2 = 5 ( ≠ 0) D. 2 = 5 ( ≠ 0)
8.三棱锥 的体积为18√ 2，△ 和△ 都是等边三角形，∠ = ∠ = 90 ，则三棱锥
的外接球的表面积为( )
A. 36 B. 54 C. 72 D. 108
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
1
A. 已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为
2
B. 马路上有依次编号为1，2，3， ，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，
但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种
C. 已知 1， 2 ∈ ， 1 2 = 0，则 1， 2中至少有一个为0
D. 袋中装有 8 个白球,2 个黑球,从中随机连续取 3 次,每次取一个球,取后不放回,设取出黑球个数为 X,则
X~H(10,3,2)
2
10.已知 1， 2分别是椭圆 : +
2 = 1的左、右焦点，点 为短轴的一个端点，点 是 上的任意一点，则
4
下列结论成立的是( )
A. 1 ≤ | 1|| 2| ≤ 4 B. 0 ≤ 1 2 ≤ 3
| 1|
C. 0 ≤ | | ≤ 2 D. 7 4√ 3 ≤ ≤ 7 + 4√ 3
| 2|
sin , 0 2,
11.对于函数 ( ) = {1 下列结论中正确的是( )
( 2), > 2,
2
3
A. 任取 1， 2 ∈ [1,+∞)，都有| ( 1) ( 2)| ≤ 2
1 5 1 1
B. ( ) + ( ) + + ( + 2 ) = 2 +1，其中 ∈ 2 2 2 2
C. ( ) = 2 ( + 2 )( ∈ )对一切 ∈ [0,+∞)恒成立
5 1
D. 方程 ( ) = ( > 0)有两个相异实根 1和 2，则 < < 36 1 2 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知直线 : 1 = ( 1)被圆 : ( 2)2 + ( 2)2 = 2( > 0)截得的最短弦长为2√ 2，则 = ．
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1
13.已知等比数列{ }的前 项的积为 ，即 = 1 2 3 1 ，又已知 1 = 4， = ，则 的最大值2
为 ．
1 1 1
14.若实数 ， 满足 + = 1，设 = ( 2 + 2) 20(ln + ln )，则 的最小值为 ．
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，∠ 的平分线交 于点 ， 为△ 的中线.若√ 3sin( +

) sin( ) = 0
6 3 ， = 1， = 2．
(1)求 的长;
(2)求 的长．
16.(本小题15分)
已知平行六面体 1 1 1 1的底面为正方形，所有棱长为2，点 1和 分别为上、下底面的中心，且

∠ 1 = ∠ 1 = 3．
(1)求证：平面 1 ⊥平面 ;
(2)求平面 1 与平面 1 1所成角的余弦值．
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17.(本小题15分)
函数 ( ) = 2 + ( 2) ．
(1)当 = 2 时，求函数 ( )的极值和极值点;
(2)若 ( ) ≥ 1在 ∈ [0,+∞)上恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系 中，若在曲线 1的方程 ( , ) = 0中，以( , )( 为正实数)代替( , )得到曲线 2的
方程 ( , ) = 0，则称曲线 1、 2关于原点“伸缩”，变换( , ) → ( , )称为“伸缩变换”， 称为伸
缩比．
2 2 1
(1)已知双曲线 1的方程为 = 1，伸缩比 = ，求 1关于原点伸缩变换后所得双曲线 2的方程; 4 3 2
2
(2)已知椭圆 21 : + = 1经“伸缩变换”后得到椭圆 2，若射线 : = √ 2 ( ≥ 0)与椭圆 1、 2分别交于4
√ 3
两点 、 ，且| | = ，求椭圆
3 2
的方程;
(3)已知抛物线 : 2 = 2 作“伸缩变换”( , ) → ( , )，得到 +1 :
2 = 2 +1 ，其中 = 1，2， ，
，若 1 = 1， = 2 ，求数列{ }的通项公式．
19.(本小题 17 分)
泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布,特别适合用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件发
生的次数,例如:某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机
器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一个产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等,因此,在管
理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量 X 服从参数为 ( >0)的泊松分布


(记作 X~ ( )),则其概率分布为 P(X=k)= ,k∈N,其中 e 为自然对数的底数.
!
(1)当 ≥20 时,泊松分布可以用正态分布来近似;当 ≥50 时,泊松分布基本上就等于正态分布,此时可认为
X~N( , ).若 X~ (100),求 P(110< X<120)的值(保留三位小数);
(2)某公司制造微型芯片,次品率为 0.1%,各芯片是否为次品相互独立.以 X记产品中的次品数.
若 X~B(n,p),求在 1000 个产品中至少有 2 个次品的概率;
若 X~ ( ), =np,求在 1000 个产品中至少有 2 个次品的概率.
通过比较计算结果, 你发现了什么规律
(3)若 X~ ( ),且 P(X>1)<0.01,求 的最大值(保留一位小数).
参考数据: 若 X~N( , 2),则有 P( - < X< + )≈0.6827 , P( -2 < X< +2 )≈0.9545,P( -3 <
1
X< +3 )≈0.9973;0. 9991000 ≈0.3676,0. 999999 ≈0.3680, ≈0.3678.

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】8
15
14.【答案】 20ln5
2

15.【答案】解：依题意得√ 3sin( + ) sin( )
6 3

= √ 3(sin cos + cos sin ) (sin cos cos sin ) 6 6 3 3
= sin +√ 3cos = 0，
解得tan = √ 3，
2
又0 < < ，故 B= ．
3
1
(1)因为 为中线，所以 = ( + )，
2
2 1 2 2 1 3 √ 3∴ = ( + +2 cos ) = (4 + 1 2) = ，∴ = ．
4 4 4 2
(2)由 △ = △ + △ ，
1 1 √ 3
可得 | |sin + | |sin = ，
2 3 2 3 4
因为 = 1， = 2，
3√ 3 √ 3
所以 | | = ，
4 2
2
解得| | = ．
3
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16.【答案】解：(1)因为 1 = = ，且∠ 1 = ∠ 1 = 3，
所以△ 1 ≌△ 1 ，
所以 1 = 1 = 2，又 为 中点，所以 1 ⊥ ，
因为 = = 2，且 ⊥ ，所以 ⊥ 且 = √ 2，
在△ 1 中，因为
2
1 = 2，所以 1 =
2
1 +
2，所以 1 ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，
因为 1 平面 1 ，
所以平面 1 ⊥平面 ．
(2)由(1)可知， ， ， 两两垂直，以 ， ， 1 1分别为 ， ， 轴正方向建立如图空间直角坐标
系 ，
则 1(0,0,√ 2)， (√ 2, 0,0)， (0,√ 2, 0)， ( √ 2, 0,0)，
因为 1为 1 1 1 1中心，
所以 1 = 1 = ( √ 2, 0, √ 2)，
所以 = ( √ 2, √ 2, 0)， 1 = ( √ 2, √ 2, √ 2)，
设 = ( 1 , 1 , 1)为平面 1 的法向量，
= √ 2 1 √ 2 1 = 0则{ ，令 1 = 1，可得 1 = 1， 1 = 0，
1 = √ 2 1 √ 2 1 + √ 2 1 = 0
所以 = (1, 1,0)，
设 = ( 2 , 2 , 2)为平面 1 1 的法向量，
因为 1 = ( √ 2, 0, √ 2)， = ( √ 2, √ 2, 0)，
1 = √ 2 2 +{ √
2
所以 2
= 0
= √ 2 2 √ 2 2 = 0
令 2 = 1，可得 2 = 1， 2 = 1，所以 = (1, 1,1)，
设平面 1 与平面 1 1所成角为 ，且 为锐角，
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| | 2 √ 6
则cos = |cos < , > | = = = ．
| || | √ 2√ 3 3
所以平面 1 与平面 1 1所成角的余弦值为
√ 6．
3
17.【答案】解：因为 ( ) = 2 + ( 2) ，
所以 ′( ) = 2 2 + ( 2) = (2 + )( 1)，
(1)当 = 2 时， ′( ) = 2( )( 1)，
由 ′( ) > 0得， < 0或 > 1，
由 ′( ) < 0得，0 < < 1，列表
( ∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
′( ) + 0 0 +
( ) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
由上表可知，函数有极大值点 = 0，
此时极大值为 ( )极大值 = (0) = 2 1，
函数有极小值点 = 1，此时极小值为 ( )极小值 = (1) =
2；
(2) ①当 ≥ 0时，2 + > 0，
由 ′( ) > 0，得 > 0，函数 ( )在[0,+∞)上为增函数，
即当 ≥ 0时， ( ) ≥ (0) = 1成立，所以 ( ) ≥ 1在[0,+∞)恒成立．

②当 < 0时，由 ′( ) = 0，解得 1 = ln( )或 = 0． 2 2
ⅰ，当 1 < 2，即 2 < < 0时，

由 ′( ) > 0，得 < ln( )或 > 0，
2

由 ′( ) < 0，得ln( ) < < 0，函数 ( )在[0,+∞)上为增函数，所以合题意．
2
ⅰ，当 1 = 2，即 = 2时， ′( ) ≥ 0恒成立，函数 ( )在[0,+∞)上为增函数，所以合题意．
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ⅰ，当 1 > 2，即 < 2时，由 ′( ) > 0，得 < 0或 > ln( )， 2

由 ′( ) < 0，得0 < < ln( )，
2

函数 ( )在区间(0,ln( ))上递减，在(ln( ),+∞)上递增，
2 2

则 (ln( )) < (0) = 1，与不等式恒成立矛盾，
2
所以综上所述：当 ≥ 2时， ( ) ≥ 1在 ∈ [0,+∞)上恒成立．
2 2
(1 ) (
1
) 2 2
18.【答案】解：(1)由条件得 2 2 = 1，所以 2的方程为 = 1． 4 3 16 12
(2)因为 1、 2关于原点“伸缩变换”
2
2
对 1作变换( , ) → ( , )( > 0)，得 2 : +
2 2 = 1，
4
= √ 2 ( ≥ 0),
{ 2 2√ 2联立 2 解得点 的坐标为( , )，
+ 2 = 1, 3 3
4
= √ 2 ( 0)
2 2√ 2
联立{ 2 2 ，解得点 的坐标为( , );
+ 2 2 = 1 3 3
4
2 2 √ 3 2 2 1 2 2 1 2
所以| | = √ 1 + 2| | = ，所以 = 或 = ，所以 = 2或 = ，
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2
2 4 2
因此，椭圆 2的方程为 + 4 = 1或 + = 1． 9 9
(3)对 : 2 = 2 作变换( , ) → ( , )，
2
得抛物线 2 2 +1 :( ) = 2 ，得 = ，
1
又因为 2 = 2 +1 ，所以 =
，即 +1 +1 = ( )
，
2
1
当 ≥ 2时， · 4 3 2 = ( )1+2+3+ +( 1)，
1 3 2 1 2
1 1
得 = ( )
( 1)
2 ， 1适用上式， 2
1 1 ( 1)
所以数列{ }的通项公式 = ( )2 ( ∈ ). 2
19.【答案】解：(1)因为当 X~ ( ),且 =100 时,可近似地认为 X∽N( , ),
即 X∽N(100,100),这里 =100, =√ 100=10,
1
所以 P(110< X<120)=P(100+10< X<100+2×10)= (0.9545-0.6827)=0.1359≈0.136；
2
(2)①若 X~B(n,p),则 P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0. 9991000- 11000(0. 999
999)(0.001)≈0.2644；
②若 X∽ ( ), =np=1,
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1 1
P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1- - ≈0.2644,

比较计算结果,可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是相等的,
说明某些特定情形下,可以用泊松分布来计算二项分布；
(3)由于 X~ ( ),
所以 P(X>1)=1-P(X=0)-P(X=1),
由泊松分布概率公式可得 P(X=0)= ,P(X=1)= ,
故 P(X>1)=1- - =1- (1+ ),
因为 P(X>1)<0.01,
即 (1+ )>0.99,
1+
构造函数 g(x)= (x>0),

则 g'(x)=-

<0,
故 g(x)在(0,+∞)上单调递减,
2 2
由于 g(1)= < =0.8<0.99,g(0)=1,
2.5
所以 0< x<1,
1+0.1
当 x=0.1 时,g(0.1)=
0 .1
,
1+0.1
需要比较 0.1 与 0.99 的大小,而 0.99=1-0. 1
2,

所以相当于比较 0.1与 1-0.1 的大小,
构造函数 h(x)= -x-1(-0.2< x<0),
所以 h'(x)= -1,
当 x∈(-0.2,0)时,h'(x)<0，y=h(x)在(-0.2,0)上单调递减,且 h(0)=0,
所以 0.1
1+0.1
>1-0.1,即 0.1 >0.99,
1+0.2
当 x=0.2 时,g(0.2)= 0 .2 ,
1+0.2
需要比较 0.2 与 0.99 的大小,而 0.99=1-0. 1
2,

0.2
所以相当于比较(1-(-0.2)) 0.2与 1-( )2的大小,
2
1构造函数 m(x)=(1-x) -(1- 2)(-0.5< x<0),m(0)=0,
4
1 1
m'(x)=- + x=x( - ),
2 2
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当 x∈(-0.5,0)时,m'(x)>0,
所以 y=m(x)在(-0.5,0)上单调递增,
0.2
即 m(-0.2)< m(0),即(1-(-0.2)) 0.2<1-( )2 ,
2
1+0.2
即
0.2
<0.99,
因此 的最大值为 0.1.
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