4.1认识三角形 第3课时 三角形的高、中线、角平分线 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
4.1 认识三角形
第3课时 三角形的高、中线、角平分线
1. 了解三角形的高、中线、角平分线的概念并掌握其性质，会用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线；（重点）
2. 学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力与合作精神.（难点）
立
柱
横梁
A
B
C
D
立柱与横梁互相垂直.
你能试着用三角形表示吗？
线段AD叫什么？它有什么性质呢？本节课我们一起来探究.
如图所示，下面的三角形房梁中，立柱与横梁有什么特殊的位置关系？
A
B
C
D
A
B
C
F
如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点 D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置.说说你的想法并与同伴进行交流.
AF⊥BC
A
B
C
F
三角形的高的定义：
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
如图, 线段AF是△ABC的BC边上的高.
∵AF是△ABC的高,
∴∠AFB ＝∠AFC ＝90°.
∵∠AFB =90°(∠AFC =90°)
∴AF 是△ABC的高.
要标明垂直的记号和垂足的字母.
符号语言：
反之：
(1)如图，使折痕过顶点，顶点的对边边缘重合，即可得到三角形的高.
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.
(2)锐角三角形的三条高交于一点.
每人准备一个锐角三角形纸片.
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗 你能用折纸的办法得到它们吗
A
B
C
(1)画出直角三角形的三条高.
(3)直角三角形的三条高交于直角顶点.
AB
BC
BD
D
(3)直角三角形的三条高有怎样的位置关系？
在纸上画出一个直角三角形.
(2)AC边上的高是 ;
直角边BC边上的高是 ;
直角边AB边上的高是 ;
(1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？
(2)钝角三角形的三条高交于一点吗？
(2)钝角三角形的三条高不相交于一点.
(3)它们所在的直线交于一点吗？
(3)钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
A
B
C
D
F
O
E
AD
CE
BF
AC边上的高是 ;
BC边上的高是 ;
AB边上的高是 ;
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形的三条高的特性：
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
三角形的三条高所在的直线交于一点.
三角形高的性质：
AD
AE
BF
例1 如图所示,
(1)在△ABC中,BC边上的高是　　　　;
(2)在△AEC中,CE边上的高是　　　　;
(3)在△BCF中,BC边上的高是　　　　.
1.画△ABC的边AB上的高,下列画法中,正确的是(　　)
D
2.如图所示，∠CBD=∠E=∠F=90°，则线段　　　是△ABC中BC边上的高.
AE
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形纸片，你知道怎样确定这个点的位置吗？
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线.如图， AE是BC边上的中线.
三角形的中线的定义：
B
A
C
A
E
∵AE是BC边上的中线.
∴BE=EC.
让我们先看看三角形的中线有什么特点.
符号语言：
A
C
B
F
E
D
O
CF
BE
AD
例2 如图，点D，E，F分别是边BC，AC，AB上的中点.
则AB边上的中线是： ;
BC边上的中线是： ;
AC边上的中线是： .
(1)在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流．
锐角三角形的三条中线交于一点.
钝角三角形和直角三角形的三条中线也交于一点.
(2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流．
三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．
铅笔支起三角形卡片的点就是三角形的重心！
三角形中线的性质：
O
三角形的中心都在三角形的内部，如图，点O就是△ABC的重心．
B
A
C
D
提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差.
7cm
3.在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝_______.
4.如图所示，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，它们交于点O.若△ABD的面积是6，则△ACF的面积是　　　　.
6
在一张纸上任意画出一个三角形并剪下，你能通过折纸的方法得到它的一个内角的平分线吗
A
B
C
A
D
将它的一个角对折，使其两边重合折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
1
2
A
B
C
D
三角形的角平分线的定义:
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
注意:①三角形的中线、角平分线都是一条线段;
②角的平分线是一条射线.
∵如图，AD是△ABC的角平分线,
∴∠1=∠2.
符号语言：
解:∵∠B=90°,
∴∠BAC+∠C=90°.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAC=2∠BAD.
∵∠C=4∠BAD,
∴2∠BAD+4∠BAD=90°.
∴∠BAD=∠CAD=15°.所以∠C=60°,
则∠ADC=180°-∠CAD-∠C=180°-15°-60°=105°.
例2 如图所示，在△ABC中,∠B=90°，AD是△ABC的角平分线，且∠C=4∠BAD，求∠ADC的度数.
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.
(1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2)你能用折纸的办法得到它们吗
(3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系
三角形的三条角平分线交于一点．
三角形角平分线的性质：
在每个三角形中，3条角平分线都在三角形的内部.
B C
A
O
B
D
C
A
解析：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，
∴∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
110°
5.如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB的度数是 .
A
D
2.如图所示,AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有(　　)
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
1.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是(　　)
A.DE是△ABC的中线 B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=EC D.DE是△BCD的中线
50
25
1.5
3.如图所示，在△ABC中，CE是△ABC的中线，BD是△ABC的角平分线，若AB=3 cm，∠A=70°，∠ACB=60°,则∠ABD=　　　°, AE=　　　　cm.
4.如图所示，在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC.若∠1=30°,∠2=20°,则∠B=　　　　°.
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAD＝30°.
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－50°－30°＝100°.
5.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
6.已知AD是△ABC的高,∠BAD=70°, ∠CAD=20°,求∠BAC的度数.
解:分以下两种情况:
(1)如图①,若高AD在△ABC的内部,则∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.
(2)如图②,若高AD在△ABC的外部,
则∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.
综上所述,∠BAC的度数为90°或50°.
7.如图所示,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD= 2BD,BE=CE.设△ADC的面积为S1,△ACE的面积为S2.若S△ABC= 6,求S1-S2的值.
解:∵AD=2BD,
∴S1=S△ABC=×6=4.
∵BE=CE,
∴S2=S△ABC=×6=3,
∴S1-S2=4-3=1.
高
三角形的高、中线、角平分线
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线.
中线
角平分线
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.